高中數(shù)學2-3-2《數(shù)學歸納法》課件新人教B版選修

1、.數(shù)學歸納法（）（）證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學題證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學題, ,可用下列方法可用下列方法來證明它們的正確性來證明它們的正確性: :(1)(1)驗證驗證當當n n取第一個值取第一個值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時命題成立時命題成立, ,(2)(2)假設假設當當n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個命題對從完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。這種證明方法叫做都成立。這

2、種證明方法叫做數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法。注意注意 1.1. 用數(shù)學歸納法進行證明時用數(shù)學歸納法進行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎是遞推的基礎. . 找準找準n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時時命題成立作為必用的條件，而命題成立作為必用的條件，而n nk+1k+1時情時情況則有待況則有待利用假設利用假設及已知的定義、公式、定及已知的定義、公式、定理等加以證明理等加以證明回顧回顧例例:已知數(shù)列已知數(shù)列 計算計算 ,根據(jù)計算的結果根據(jù)計算的結果,猜想

3、猜想 的表達式的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明并用數(shù)學歸納法進行證明.n nS S1 12 23 34 4S S , ,S S , ,S S , ,S S1 11 11 11 1, , , , , ,1 14 4 4 47 7 7 71 10 0( (3 3n n- -2 2) )( (3 3n n+ +1 1) )1 12121323243431111解：當n =1時，s =解：當n =1時，s =1441441212 當n =1時，s =s +=當n =1時，s =s +=4774771313 當n =1時，s =s +=當n =1時，s =s +=71010710101414 當 當n

4、=1n =1時，s =s +=時，s =s +=101313101313n nn n猜想：s =猜想：s =3n+13n+1例例: :是否存在常數(shù)是否存在常數(shù)a a、b,b,使得等式使得等式: : 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n n都成立都成立, ,并證明你的結論并證明你的結論. .2 22 22 22 21 12 2n na an n + + n n+ + + + += =1 1 3 33 3 5 5( (2 2n n - -1 1) )( (2 2n n + +1 1) )b bn n + + 2 2點撥點撥: :對這種類型的題目對這種類型的題目, ,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值

5、, ,探求出待定系數(shù)探求出待定系數(shù), ,然后用數(shù)學歸納然后用數(shù)學歸納法證明它對一切正整數(shù)法證明它對一切正整數(shù)n n都成立都成立. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得.41,231013bababa以下用數(shù)學歸納法證明以下用數(shù)學歸納法證明: :).(24) 12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(2)(2)假設當假設當n=kn=k時結論正確時結論正確, ,即即: :2 22 22 22 21 12 2k kk k+ + k k+ + + + += =. .1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k - - 1 1) )( (2 2k k + + 1 1)

6、)4 4k k + + 2 2則當則當n=k+1n=k+1時時, ,2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 2k k( (k k + + 1 1) )+ + + + + +1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + + k k( (k k + + 1 1) )k k( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )+ + 2 2( (k k + + 1 1) )= =+ += =4 4k k +

7、 + 2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3k k + + 2 2k k + + 2 2) )( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (k k + + 2 2) )= = =2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + +

8、 3 3k k + + 2 2( (k k + + 1 1) ) + +( (k k + + 1 1) )= = =4 4k k + + 6 64 4( (k k + +. .1 1) )+ + 2 2故當故當n=k+1n=k+1時時, ,結論也正確結論也正確. .根據(jù)根據(jù)(1)(1)、(2)(2)知知, ,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,n,結論正確結論正確. .(1)(1)當當n=1n=1時時, ,由上面解法知結論正確由上面解法知結論正確. .例例: :比較比較 2 2n n 與與 n n2 2 (n(nN N* *) )的大小的大小注：注：先猜想，再證明先猜想，再證明解：當解：當n=1n=1

9、時，時，2 2n n=2,n=2,n2 2=1, 2=1, 2n nnn2 2 當當n=2n=2時，時，2 2n n=4,n=4,n2 2=4, 2=4, 2n n=n=n2 2 當當n=3n=3時，時，2 2n n=8,n=8,n2 2=9, 2=9, 2n nnnn2 2 當當n=6n=6時，時，2 2n n=64,n=64,n2 2=36, 2=36, 2n nnn2 2猜想猜想當當n n5 5時，時，2 2n nnn2 2( (證明略證明略) )例例: :平面內(nèi)有平面內(nèi)有n n條直線條直線, ,其中任何兩條不平其中任何兩條不平行行, ,任何三條不過同一點任何三條不過同一點, ,證明交點

10、的個數(shù)證明交點的個數(shù)f(n)=n(n-1)/2.f(n)=n(n-1)/2.說明說明: :用數(shù)學歸納法證明幾何問題用數(shù)學歸納法證明幾何問題, ,重難重難點是處理好當點是處理好當n=k+1n=k+1時利用假設結合幾時利用假設結合幾何知識證明命題成立何知識證明命題成立. .注注: :在上例的題設條件下還可以有如下二個結論在上例的題設條件下還可以有如下二個結論: :(1)(1)設這設這n n條直線互相分割成條直線互相分割成f(n)f(n)條線段或射線條線段或射線, ,-則則: f(n)=n: f(n)=n2 2. .(2)(2)這這n n條直線把平面分成條直線把平面分成(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2個區(qū)域個區(qū)域. .1:n1:n邊形有邊形有f(n)f(n)條對角線條對角線, ,則凸則凸n+1n+1邊形的對角線邊形的對角線 -的條數(shù)的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.2:2:設有通過一點的設有通過一點的k k