理論力學 7 剛體的基本運動

1、7 剛體的基本運動剛體的基本運動 剛體運動的兩種基本形式：剛體運動的兩種基本形式： 剛體的平行移動剛體的平行移動 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動 研究目的：研究目的： （1）基本運動在工程實際中有廣泛的應用。）基本運動在工程實際中有廣泛的應用。 （2）研究剛體復雜運動的基礎）研究剛體復雜運動的基礎 。7. .1 剛體的平動運動剛體的平動運動 7.1.1 7.1.1定義定義 剛體在運動的過程中，如其上任一直線始終剛體在運動的過程中，如其上任一直線始終保持與初始位置平行則稱這種運動為剛體的平行保持與初始位置平行則稱這種運動為剛體的平行移動，簡稱平動（移動，簡稱平動（Translation）。）。

2、 平動分為直線平動和曲線平動兩種。 例如，電梯的升降，沿直線行駛的火車車廂（見圖7-1），擺動篩AB的運動（見圖7-2），刨床工作臺的移動，等等。 B A B A 圖 7-1 B A O1 O2 圖 7-2 7.1.2 7.1.2平動剛體上各點的軌跡、速度和加速度平動剛體上各點的軌跡、速度和加速度 BAABrr （7-1） 為常矢量。因此只要把點A的軌跡沿 方向平行搬移一段距離AB，就能與點B的軌跡完全重合（見圖7-3）。 ABAB （1） 剛體平動時，其上各點的軌跡形狀相同。剛體平動時，其上各點的軌跡形狀相同。 B y z O x A ABrA rB vA aB vB aA 圖 7-3 （2

3、 2）剛體平動時，其上各點的速度相同，加速）剛體平動時，其上各點的速度相同，加速度也相同。度也相同。BAABrrddddABttrrABvv（7-2） ddddABttvvABaa（7-3） 研究剛體的平動，可以歸結(jié)為研究剛體上任一點的運動。 7. .2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體在運動過程中，其上（或其延伸部分）存剛體在運動過程中，其上（或其延伸部分）存在一條始終保持不動的直線，則這種運動稱為剛體在一條始終保持不動的直線，則這種運動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動（的定軸轉(zhuǎn)動（Rotation about a fixed axis），簡稱），簡稱轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。這條不動的直線段稱為轉(zhuǎn)軸。 轉(zhuǎn)軸上各點的

4、速度和加速度為零，轉(zhuǎn)軸外各點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動。 z M O P0 P O1 M0 圖 7-4 r O M （a） （b） M0 r S （+） v a an a 角角 稱為稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（Angle of rotation），），如圖7-4（a）所示。 按右手螺旋法則確定，或從z 軸的正向向負向看，從定平面起按逆時針轉(zhuǎn)向量得的角 取正；反之，取負。 7 7.2 2.1 1 轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動方程 剛體上平行于轉(zhuǎn)軸的任一直線均為平動，剛體上平行于轉(zhuǎn)軸的任一直線均為平動，其上各點的運動特征量相同，因此剛體的定軸轉(zhuǎn)其上各點的運動特征量相同，因此剛體的定軸轉(zhuǎn)動可以簡化為垂直于轉(zhuǎn)軸的平面圖形在自

5、身平面動可以簡化為垂直于轉(zhuǎn)軸的平面圖形在自身平面內(nèi)繞固定點的轉(zhuǎn)動，如圖內(nèi)繞固定點的轉(zhuǎn)動，如圖7-4（b）所示，定點所示，定點O是轉(zhuǎn)軸上一點，稱為轉(zhuǎn)動中心。是轉(zhuǎn)軸上一點，稱為轉(zhuǎn)動中心。 ( )f t 剛體的轉(zhuǎn)動方程剛體的轉(zhuǎn)動方程（Equation of rotation）。）。 （7-4） 剛體的角速度（剛體的角速度（Angular velocity）等于其轉(zhuǎn)）等于其轉(zhuǎn)角對時間的一階導數(shù)。角對時間的一階導數(shù)。角速度 是代數(shù)量，從 軸的正向向負向看，剛體逆時針方向轉(zhuǎn)動時角速度為正，反之為負。 7.2.2 7.2.2 角速度和角加速度角速度和角加速度 角速度：角速度：0dlimdttt （7-5）

6、z轉(zhuǎn)速 n 與角速度的關系： 26030nn（7-6） 轉(zhuǎn)速：剛體每分鐘轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。單位：r / min。 角加速度角加速度 剛體的角加速度（剛體的角加速度（Angular acceleration）等于其角速度對時間的一階導數(shù)，也等于其轉(zhuǎn)角對等于其角速度對時間的一階導數(shù)，也等于其轉(zhuǎn)角對時間的二階導數(shù)。時間的二階導數(shù)。 （7-7） 220ddlimddtttt 當當同號時，剛體作加速轉(zhuǎn)動；同號時，剛體作加速轉(zhuǎn)動；與與異號時，剛體作減速轉(zhuǎn)動。異號時，剛體作減速轉(zhuǎn)動。 當當與與7.37.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度 剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其上各點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作

7、圓周運動，設剛體上任選一點M，設它到轉(zhuǎn)軸的垂直距離（稱為轉(zhuǎn)動半徑）為r，其轉(zhuǎn)動中心為O （見圖7-4（b）。取當剛體轉(zhuǎn)角 為零時點M所在位置M0為弧坐標原點，以轉(zhuǎn)角增加的方向為弧坐標正向，則任一瞬時點M的弧坐標可表示為：Sr（7-8） 點M的速度大小為 ：（7-9）ddddSvrrtt 結(jié)論：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的速度等于剛體角結(jié)論：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的速度等于剛體角速度與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積。速度的方向垂直于轉(zhuǎn)速度與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積。速度的方向垂直于轉(zhuǎn)動半徑，指向與角速度的轉(zhuǎn)向一致。動半徑，指向與角速度的轉(zhuǎn)向一致。 點M的切向加速度為： （7-10）ddddvarrtt 點M的法向加速度為： 22

8、2()nvrarrr（7-11） 結(jié)論：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度等于剛結(jié)論：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度等于剛體角加速度與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積，其法向加速度體角加速度與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積，其法向加速度剛體角速度平方與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積。切向加速剛體角速度平方與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積。切向加速度垂直于轉(zhuǎn)動半徑，指向與角加速度的轉(zhuǎn)向一致；度垂直于轉(zhuǎn)動半徑，指向與角加速度的轉(zhuǎn)向一致；而法向加速度總是沿轉(zhuǎn)動半徑指向轉(zhuǎn)軸，又稱向心而法向加速度總是沿轉(zhuǎn)動半徑指向轉(zhuǎn)軸，又稱向心加速度。加速度。點 M 的全加速度 a 的大小和方向為 2222224()()naaarrr2tannaa（7-13） 在給定瞬時，剛

9、體的角速度和角加速度有確定的值，對剛體上任何點都是一樣。因而，在同一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度 v 和加速度 a 的大小均與該點的轉(zhuǎn)動半徑 r 成正比；各點速度 v 的方向都垂直于各點的轉(zhuǎn)動半徑，各點加速度 a 與轉(zhuǎn)動半徑的夾角都相等。轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)在垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動半徑上各點的速度和加速度的分布規(guī)律，如圖7-5所示。 v O （a） （b） 圖 7-5 a O v a 例7-1 如圖7-6所示，曲柄O1A繞O1軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為 （rad），O2B 桿繞 O2 軸轉(zhuǎn)動，且桿O1A與桿O2B平行等長，O1A = O2B = 0.6 m，試求當 ，直桿AB上D點的速度和加速度。 B D A

10、nAa O2 O1 nDa Aa vA vD Da aD 圖 7-6 23t1st 解：由于O1A與O2B平行等長，則直桿AB作平動。 曲柄O1A的角速度和角加速度為：d2d3ttrad / s d2d3trad / s2 直桿AB上D點的速度和加速度分布等于A點的速度和加速度。當 時st1120.61.2563DAvvO Am / s 120.61.2563DAaaO Am / s2 22120.62.6293nnDAaaO Am / s2 m / s2 D點的全加速度為 2222=() +() = 1.2562.6292.914nDDDaaa全加速度與轉(zhuǎn)動半徑的夾角為 2tan0.4777

11、25.5DnDaa24tt 例7-2 如圖7-7所示，一半徑為R = 0.2 m圓輪繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為 （1）當t = 1 s時，試求輪緣上M點速度和加速度； （2）若輪上繞一不可伸長的繩索，并在繩索下端懸一物體A，求當t = 1 s時，物體A的速度和加速度。 A v A a A vM aM R O nMa Ma M 圖 7-7 解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為 d24dtt rad / s d2dt rad / s2 當t = 1 s時，輪緣上任一點 M 的速度和加速度為 =0.2 20.4MvRm / s m / s2 0.2 ( 2)0.4MaR 22=0.2 20.8

12、MnaRm / s2 點M的全加速度為 m / s2 22+0.8944nMMMaaa22tan0.526.572MnMaa A物體作直線運動的速度和加速度的大小與輪緣上M點的速度大小和切向加速度大小相等，即 0.4 m/sAMvv20.4 m/sAMaa 例7-3 一飛輪由靜止（ = 0）開始作為變速轉(zhuǎn)動。輪的半徑 r = 0.4 m，輪緣上點M在某瞬時的全加速度a = 20 m / s2，與半徑的夾角 ，如圖7-8所示。當t = 0時， 。試求：（1）飛輪的轉(zhuǎn)動方程；（2）當t = 2 s時點M的速度和法向加速度。030 00 解：將點M在圖7-8所示瞬時的全加速度沿軌跡的切向和法向分解，

13、則切向加速度及角加速度為 2sin10 m/saa2/25 rad/sar a r O M 圖 7-8 ddtddtddt ddt00ddtt25rad/stt 00ddtt2112.5rad22tt 即為飛輪的轉(zhuǎn)動方程。 當t = 2 s時，飛輪的角速度為 25 250trad/st = 2 s時，點M的速度及法向加速度為 0.45020 m /svr 220.4 501000nar 2m/s 例7-4 定軸輪系如圖7-9所示，主動輪I通過輪齒與從動輪II輪齒嚙合實現(xiàn)轉(zhuǎn)動傳遞。主動輪I和從動輪II的節(jié)圓半徑分別為r1、r2，齒數(shù)分別為z1、z2。設I輪的角速度為 （轉(zhuǎn)數(shù)為n1），角加速度為

14、；II輪的角速度為 （轉(zhuǎn)數(shù)為n2），角加速度為 。試求上述各參數(shù)之間滿足的關系。 1122 2 r2 O2 M II M I O1 IMv r1 1 IIMv 圖 7-9 1 2 解：在齒輪的傳動中，齒輪相互嚙合，可看作兩輪的節(jié)圓作無相滑動的滾動，因此，兩輪節(jié)圓的相切點（齒輪的嚙合點）MI、MII的速度相等，切向加速度相等，即I、II輪作定軸轉(zhuǎn)動運動 I111130MnvrrII222230MnvrrI11MarII22Mar2211rr或 112221nrnr1122rr1221rr或 IIIMMvvIIIMMaa齒數(shù)與節(jié)圓周長成正比，即11122222zrrzrr 工程中常把主動輪與從動輪

15、的角速度（或轉(zhuǎn)數(shù)）之比稱為傳動比，并用 表示，則12i111221222211nrzinrz（7-14） 7.4 7.4 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)點的速度和加速度的矢積表示轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)點的速度和加速度的矢積表示 7.4.1 角速度和角加速度矢量 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度可以用矢量表示，如圖7-10所示，角速度矢 的大小等于角速度的絕對值，即 z k 圖 7-10 ddt （7-15） 角速度矢 沿轉(zhuǎn)軸，它的指向表示剛體轉(zhuǎn)動的方向，按照右手螺旋法則確定，即右手的四指表示剛體繞軸的轉(zhuǎn)向，大拇指的指向就表示 的指向。角速度矢 的起點可以在轉(zhuǎn)軸上任意選取，因此，定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度矢是滑動矢量。 以 k 表示剛體轉(zhuǎn)軸

16、z 的單位矢量，則 ddt kk（7-16） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度也可用一個沿軸線的滑動矢量表示 k（7-17） dd()ddddttt kk =（7-18） 即角加速度矢 等于角速度矢 對時間的一階導數(shù)。 當剛體繞定軸加速轉(zhuǎn)動時， 與 同向；減速轉(zhuǎn)動時， 與 異向，如圖7-11所示。 z k 圖 7-11 （a） z k （b） 7.4.2 速度和加速度的矢積表達式 設 M 為繞 z 軸作定軸轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)的任一點，點 M 的矢徑為 r ，矢徑 r 與 z 軸正向的夾角為。如圖7-12所示。在剛體定軸轉(zhuǎn)動的過程中，M點作圓周運動， 和r 的模 r 保持不變，但r 的方向在不斷變化，是時間的

17、函數(shù)。d0dtd0drt y x O M z k 圖 7-12 i j r v 對于Oxyz固定坐標系，設其沿三個坐標軸的單位矢量為i、j、k， i、j、k為常矢量，不隨時間變化。 0 ，kk ，kji kijd0dt ，id0dt ，jd0dtk點 M 的矢徑為r可表示成sincossinsincosrrrrijk點 M 的速度為 ddsin sinsin cosdddrrttdt rvijddtkksin sin()cos sinsin ()sincos ()cos () sincossinsincosrrrrrrr vijkjkikkkij+kr（7-19） 即繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體上任意一點的速度 v 等于剛體作定軸轉(zhuǎn)動的角速度矢 與該點矢徑 r 的矢積。 點 M 速度的大小為 sinvr方向垂直于和 r 所組成的平面，指向按右手法則確定，如圖7-12所示。 式（7-19）對時間求一階導數(shù)得 dddd()ddddt