第二節(jié)直線的交點與距離公式

1、欄目索引第二節(jié) 直線的交點與距離公式課標版課標版 文數文數欄目索引1.兩條直線的交點兩條直線的交點教材研讀教材研讀ccc欄目索引點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2|=點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=222121(xx )(yy )0022|Axy|ABBC1222|CC |AB2.三種距離三種距離ccc欄目索引1.兩條直線l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交點為()A.B.C.D.答案B解方程組得所以兩直線的交點為.2.原點到直線x+2y-5=0的距離為()A.1

2、B.C.2D.2 9,5 52 9,5 529,5529,55210,240,xyxy 2,59,5xy 2 9,5 535c欄目索引答案D由相應距離公式易得d=.3.已知直線l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,則l1,l2之間的距離為()A.1B.C.D.2答案B由題意可知l1與l2平行,故l1與l2之間的距離d=,故選B.4.若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一點,則b=.答案-解析由解得將其代入x+by=0,得b=-.| 5|55231222|CCAB|1 ( 1)|2 2122380,10 xyxy 1,2.xy 12cc欄目索引5.已知坐標平面內

3、兩點A(x,-x)和B,那么這兩點之間距離的最小值是.答案解析由題意可得兩點間的距離d=,即最小值為.22,0212222( 2)2xx23 21244x1212c欄目索引直線的交點直線的交點典例典例1(1)經過直線l1:x+y+1=0與直線l2:x-y+3=0的交點P,且與直線l3:2x-y+2=0垂直的直線l的方程是.(2)已知三條直線l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它們不能圍成三角形,則m的取值構成的集合是.答案(1)x+2y=0(2)解析(1)解法一:由方程組解得即點P(-2,1),由題意知直線l的斜率存在,設直線l的方程為y-1=k(x+2)

4、,l3l,k=-,1 21,46 3 10,30 xyxy 2,1,xy 12考點突破考點突破c欄目索引直線l的方程為y-1=-(x+2),即x+2y=0.解法二:因為直線l過直線l1和l2的交點,所以可設直線l的方程為x+y+1+(x-y+3)=0,即(1+)x+(1-)y+1+3=0.因為l與l3垂直,所以2(1+)-(1-)=0,所以=-,所以直線l的方程為x+y=0,即x+2y=0.(2)由已知易知l2與l3相交,且交點為,若l1、l2、l3交于一點,則易得m=-1或;若l1l2,則m=4;若l1l3,則m=-.綜上可得,m=-1或或4或-.121323432244,2323mmm23

5、162316欄目索引經過兩條直線交點的直線方程的設法經過兩相交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(這個直線系不包括直線A2x+B2y+C2=0).欄目索引1-1若將本例(1)的“垂直”改為“平行”,試求l的方程.解析由方程組解得即點P(-2,1).設直線l的方程為y-1=k(x+2),因為ll3,所以k=2,故直線l的方程為y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. 距離問題距離問題典例典例2正方形的中心為點C(-1,0),一條邊所在直線的方程為x+3y-5=0,求其他三邊所在直線的方程.解析點C到直線x

6、+3y-5=0的距離d1=.10,30 xyxy 2,1,xy | 1 5|1 9 3 105cc欄目索引設與直線x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程是x+3y+m=0(m-5),則點C到直線x+3y+m=0的距離d2=,解得m=-5(舍去)或m=7,所以與直線x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程是x+3y+7=0.設與x+3y-5=0垂直的邊所在直線的方程是3x-y+n=0,則點C到直線3x-y+n=0的距離d3=,解得n=-3或n=9,所以與直線x+3y-5=0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x-y-3=0和3x-y+9=0.| 1|1 9m 3 105| 3|1 9n 3 105欄目

7、索引正方形的四條邊兩兩平行或垂直,設平行直線系和垂直直線系可以較方便地解題.運用點到直線的距離公式時,需把直線方程化為一般式;運用兩平行線間的距離公式時,需先把兩平行線方程中x,y的系數化為相同的形式.欄目索引2-1已知點P(2,-1).(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程;(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程,并求出最大距離;(3)是否存在過P點且與原點距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在,請說明理由.解析(1)過P點的直線l與原點距離為2,又P點坐標為(2,-1),可見,過P(2,-1)且垂直于x軸的直線滿足條件.此時l的斜率不存在,其方程為x=2.若斜率存在,則設l

8、的方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.c欄目索引則=2,解得k=.此時l的方程為3x-4y-10=0.綜上,直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0.(2)由題意可知過P點且與原點距離最大的直線l是過P點且與PO(O為坐標原點)垂直的直線,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由點斜式得直線l的方程為y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以2x-y-5=0是過P點且與原點距離最大的直線的方程,最大距離為=.2| 21|1kk341OPk| 5|55欄目索引(3)不存在.由(2)可知,過P點不存在與原點距離超過的直線,因此不存在過P點且與原點距離為6的直線.

9、對稱問題對稱問題命題角度一點關于點的對稱命題角度一點關于點的對稱典例典例3過點P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,求直線l的方程.解析設l1與l的交點為A(a,8-2a),則由題意知,點A關于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,將其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,則A(4,0),又P(0,1),所以由兩點式可得直線l的方程為x+4y-4=0.5c欄目索引命題角度二點關于線的對稱命題角度二點關于線的對稱典例典例4求點A(-1,-2)關于直線l:2x-3y+1=0的對稱點A的坐標.解析設A(x,y)

10、,則由已知得解得A.命題角度三線關于點的對稱命題角度三線關于點的對稱典例典例5求直線l:2x-3y+1=0關于點A(-1,-2)對稱的直線l的方程.解析設P(x,y)為l上任意一點,則P(x,y)關于點A(-1,-2)的對稱點為P(-2-x,-4-y),點P在直線l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,2 21,1 3122310,22yxxy 33,134.13xy 33 4,13 13cc欄目索引即2x-3y-9=0.則直線l的方程為2x-3y-9=0.命題角度四線關于線的對稱命題角度四線關于線的對稱典例典例6求直線m:3x-2y-6=0關于直線l:2x-3y+1=0的對稱直線m的方

11、程.解析在直線m上任取一點,如點M(2,0),則點M(2,0)關于直線l的對稱點M必在直線m上.設點M的對稱點M的坐標為(a,b),則解得故點M的坐標為.202310,22021,23abba 6,1330,13ab6 30,13 13c欄目索引設直線m與直線l的交點為N,由解得則N(4,3).由兩點式可得直線m的方程為9x-46y+102=0.命題角度五對稱問題的應用命題角度五對稱問題的應用典例典例7(2013湖南,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點.光線從點P出發(fā),經BC,CA反射后又回到點P(如圖).若光線QR經過ABC的重心,則AP等于(

12、)2310,3260 xyxy 4,3,xyA.2B.1C.D.8343欄目索引答案D解析以AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立如圖所示的坐標系,由題意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),則直線BC的方程為x+y-4=0.欄目索引設P(t,0)(0t4),由對稱知識可得點P關于直線BC的對稱點P1的坐標為(4,4-t),點P關于y軸的對稱點P2的坐標為(-t,0),根據反射定理可知直線P1P2就是光線RQ所在直線.由P1、P2兩點坐標可得直線P1P2的方程為y=(x+t),設ABC的重心為G,易知G.因為重心G在光線RQ上,所以=,即344tt4 4,3 34 4,3 34344tt43tt2-4t=0,解得t=0或t=,因為0t4,所以t=,即AP=,故選D.434343欄目索引常見對稱問題的求解方法:(1)中心對稱若點M(x1,y1)與N(x,y)關于P(a,b)對稱,則由中點坐標公式得若直線關于點對稱,則在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式求出直線方程,或者求出一個對稱點,再利用原直線與其關于點對稱的直線平行,由點斜式得到所求直線方程.112,2.xaxyby欄目索引(2)軸對稱點關于直線的對稱若兩