第二章二維線性系統(tǒng)

1、第二章第二章 二維線性系統(tǒng)二維線性系統(tǒng)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1、線性系統(tǒng)2、線性不變系統(tǒng)3、抽樣定理1 1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng),g x yf x y L L用算符用算符 描述系統(tǒng)的作用！描述系統(tǒng)的作用！ L L1）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示1 1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng)2）線性系統(tǒng)的定義 若對于任意兩個輸入函數(shù)若對于任意兩個輸入函數(shù)f1和和f211,gx yfx y L L22,gx yfx y L L1 1221 122,a fx ya fx ya fx ya fx yLLLLLL11221122,afx yafx ya gx ya gx yLLLL對于任意復(fù)數(shù)常數(shù)對于任意復(fù)數(shù)常數(shù)a a1 1和和a a2

2、 2，均有如下關(guān)系成立：，均有如下關(guān)系成立：則表明該系統(tǒng)是則表明該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)！1 1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng)圖例：線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)1 1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng)3 3）基元函數(shù)基元函數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)（系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)）（系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)）一系列的一系列的“基元函數(shù)基元函數(shù)”的和的和分分解解（傅里葉級數(shù)展開）（傅里葉級數(shù)展開）1,miiif x ya fx y（這些基元函數(shù)可能是 函數(shù)函數(shù)、階躍函數(shù)階躍函數(shù)、余弦函數(shù)余弦函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)等形式）對應(yīng)的對應(yīng)的“基元函數(shù)基元函數(shù)”響應(yīng)的和響應(yīng)的和合合成成1,miiia gx yg x y,iiiia fx ya gx yL

3、L如何確定基元函數(shù)的響應(yīng)？如何確定基元函數(shù)的響應(yīng)？1 1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng) 舉例：舉例：選取基元函數(shù)為選取基元函數(shù)為脈沖函數(shù)脈沖函數(shù) ( ( 函數(shù)函數(shù)) )根據(jù)脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)，可將任意函數(shù)分解為： ,f x yfxyd d 任意函數(shù)都可以看作xy平面上不同位置處的很多函數(shù)的線性組合，而每一個位于(,)坐標(biāo)的函數(shù)的權(quán)重因子就是函數(shù)在該點(diǎn)的數(shù)值f(,)。這種分解方法稱為脈沖分解脈沖分解。于是系統(tǒng)的輸出為：于是系統(tǒng)的輸出為： ,g x yf x yfxyd d LLLL由于系統(tǒng)是線性的，系統(tǒng)算符由于系統(tǒng)是線性的，系統(tǒng)算符 可以寫進(jìn)積分號內(nèi)可以寫進(jìn)積分號內(nèi)(與積分算符交換順序與積分算符交換順序)

4、，直，直接作用到各個基元函數(shù)上：接作用到各個基元函數(shù)上： L L,g x yfxyd d L L1 1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng),g x yfxyd d L L若令若令 , ; ,h x yxy L L它表示系統(tǒng)輸出平面(x,y)點(diǎn)對應(yīng)于輸入平面坐標(biāo)(,)點(diǎn)的函數(shù)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。 , ; ,g x yfh x yd d 系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)輸出： 上式描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的關(guān)系，稱其為“疊加積分疊加積分”； 只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能點(diǎn)的脈沖響應(yīng)，就可以通過疊加積 分完全確定系統(tǒng)的輸出； 若系統(tǒng)輸入和輸出滿足上述疊加積分關(guān)系，該系統(tǒng)必然是線性系統(tǒng)。2 2、線性不變系統(tǒng)

5、、線性不變系統(tǒng)1 1）線性不變系統(tǒng)）線性不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)的一個子類線性系統(tǒng)的一個子類根據(jù)“疊加積分”原理，只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能點(diǎn)的脈沖只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能點(diǎn)的脈沖響應(yīng)，就可以通過疊加積響應(yīng)，就可以通過疊加積 分完全確定系統(tǒng)的輸出分完全確定系統(tǒng)的輸出。但是，要得到輸入平面上所有可能位置上的脈沖響應(yīng)是非常困難的非常困難的，甚至是不可能的甚至是不可能的。2 2）線性不變系統(tǒng)的定義）線性不變系統(tǒng)的定義若若, ; ,xyh x yh xy L L一個空間脈沖在輸入平面位移，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式不變，只是產(chǎn)生了相應(yīng)位移，這樣的系統(tǒng)稱為空間不變系統(tǒng)空間不變系統(tǒng)或位移不變系統(tǒng)

6、位移不變系統(tǒng)。若若,th tL L若輸入脈沖延遲時間，其相應(yīng)h僅僅有相應(yīng)的時間延遲，而函數(shù)形式不變，這樣的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)。2 2、線性不變系統(tǒng)、線性不變系統(tǒng) , ; ,g x yfh x yd d ,g x yfh xyd d 疊加積分：疊加積分：, ; ,h x yh xy ,f x yh x y卷積積分：卷積積分：對于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的作用可以用對于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的作用可以用統(tǒng)一的一個脈沖響應(yīng)函數(shù)統(tǒng)一的一個脈沖響應(yīng)函數(shù)來表征，系來表征，系統(tǒng)的分析得到簡化！統(tǒng)的分析得到簡化！2 2、線性不變系統(tǒng)、線性不變系統(tǒng)3 3）線性不變系統(tǒng)的）線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù),g x

7、yf x yh x y ,xyxyxyG ffHffFff卷積定理卷積定理輸入頻譜輸入頻譜輸出頻譜輸出頻譜,xyFfff x yF,xyG ffg x y=F,xyHffh x y=F傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)從空間域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出從空間域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出從頻率域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出從頻率域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出* 傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換.2 2、線性不變系統(tǒng)、線性不變系統(tǒng)對于線性不變系統(tǒng)，可以找到更適合的對于線性不變系統(tǒng)，可以找到更適合的“基元函數(shù)基元函數(shù)”，即，即復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)。根據(jù)傅里葉逆變換有：,exp2xyxyxyf x yFffjf

8、 xf ydf df 當(dāng)f(x,y)作為輸入時，系統(tǒng)輸出為：上式表明函數(shù)f(x,y)可以看成是很多不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，F(xiàn)(fx,fy)表示各種頻率成分的權(quán)重，這種分解方法稱為傅里葉分解傅里葉分解。,exp2xyxyxyg x yf x yFffjf xf ydf df LLLL同理，根據(jù)線性疊加性質(zhì)，有,exp2xyxyxyg x yFffjf xf ydf df L L根據(jù)傅里葉逆變換有,exp2xyxyxyg x yG ffjf xf ydf df ？2 2、線性不變系統(tǒng)、線性不變系統(tǒng) ,xyxyxyG ffHffFff,exp2xyxyxyg x yG ffjf xf ydf

9、 df ,exp2xyxyxyxyg x yFffHffjf xf ydf df ,exp2xyxyxyg x yFffjf xf ydf df L Lexp2,exp2xyxyxyjf xf yHffjf xf yL L把輸入函數(shù)分解為各種不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，各個基元復(fù)指數(shù)函數(shù)通過線性不變系統(tǒng)，仍然還是同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)仍然還是同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)，但是可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的幅值變化和相移，這些變化取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2 2、線性不變系統(tǒng)、線性不變系統(tǒng)4 4）線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)）線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)什么叫本征函數(shù)？對于線性不變系統(tǒng)，輸入某一函數(shù)，如果相應(yīng)的輸出函數(shù)僅等于輸入函

10、數(shù)與一個復(fù)比例常數(shù)的乘積，那么這個輸入函數(shù)就稱為這種系統(tǒng)的本征函數(shù)。,g x yf x yKf x yL L(K(K是一復(fù)比例常數(shù)是一復(fù)比例常數(shù)) )課后思考題課后思考題試證明：復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)，即試證明：復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)，即exp2,exp2abaaabjf xf yHffjf xf yL L2 2、線性不變系統(tǒng)、線性不變系統(tǒng)5 5）線性不變系統(tǒng)作為濾波器）線性不變系統(tǒng)作為濾波器（濾波函數(shù)）（濾波函數(shù)）系統(tǒng)級連（濾波器相連）系統(tǒng)級連（濾波器相連）212121,xyxyxyxyxyxyGffGffHffHffHffFff3 3、抽樣定理、抽樣定理,sxy

11、gx ycombcombg x yXY,*,sxysxyxyGffgx ycombcombG ffXYFF*,xyxyXYcomb Xfcomb YfG ff1）在實(shí)現(xiàn)信息的記錄、存儲、發(fā)送和處理時，由于物理器件有限的信息容量，一個連續(xù)函數(shù)往往要用它在一些分立的取樣點(diǎn)上的函數(shù)值，即抽樣值表示。如何選擇抽樣間隔，不丟失信息，并能恢復(fù)出原有連續(xù)函數(shù)？這就是抽樣定理要研究的問題。2）函數(shù)的抽樣利用梳狀函數(shù)對連續(xù)函數(shù)g(x,y)抽樣，有抽樣函數(shù)由函數(shù)的陣列構(gòu)成，各個空間脈沖在x方向和y方向的間距分別是X和Y。根據(jù)卷積定理，抽樣函數(shù)的頻譜為,*,xyxynmnmffG ffXY ,xynmnmGffXY

12、 3 3、抽樣定理、抽樣定理1122xyBBXY及原函數(shù)的頻譜原函數(shù)的頻譜抽樣函數(shù)的頻譜抽樣函數(shù)的頻譜2Bx2By假定g(x,y)是限帶函數(shù)，其頻譜Gs僅在頻率平面一個有限區(qū)域R內(nèi)不為零。若2Bx和2By分別表示包圍R的最小矩形在fx和fy方向上的寬度，則只要或1122xyXYBB及Gs中各個頻譜區(qū)域就不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象；這樣，就可以使用濾波的方法，從Gs中抽取出原函數(shù)的頻譜G，從而恢復(fù)出原函數(shù)。3 3、抽樣定理、抽樣定理因此，能由抽樣值還原原函數(shù)的條件就是：1)g(x,y)是限帶函數(shù)；2)在x,y方向抽樣點(diǎn)最大允許間隔分別是1/2Bx和1/2By，其中2Bx和2By是包圍G(fx,fy)的最小

13、矩形在fx和fy上的寬度。3）函數(shù)的還原選擇一個合適的濾波器，將抽樣函數(shù)作為輸入，可使輸出為原函數(shù)，即恢復(fù)出原函數(shù)。3 3、抽樣定理、抽樣定理,22yxxyxyffHffrectrectBB,4sin2sin222yxxyxyxyffh x yrectrectB BcB xcB yBBF,sin2sin22222xynmxyxynmnmg x ygcBxcByBBBB 假設(shè)選擇矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)，即根據(jù)卷積定理，可得到,4,sin2sin2xyxynmg x yB B XYg nX mYcBxnXcBymY 若取最大允許的抽樣間隔，則即只要滿足抽樣的條件，在每個抽樣點(diǎn)上放置一個抽樣值為權(quán)重的

14、sinc函數(shù)作為內(nèi)插函數(shù)，由這些sinc函數(shù)的線性組合就可復(fù)原原函數(shù)。上式稱為惠特克-香農(nóng)抽樣定理。,sxygx ycombcombg x yXY3 3、抽樣定理、抽樣定理4）空間帶寬積,g x yxxfByyfBxXyY若限帶函數(shù)在頻域、以外恒等于零，考慮函數(shù)在空域、的區(qū)間上抽樣數(shù)目最少應(yīng)為 22161122xyxyXYSWXYB BBB* * 空間帶寬積空間帶寬積SWSW定義為函數(shù)在空域和頻域中所占面積之積定義為函數(shù)在空域和頻域中所占面積之積44xyXYB B 空間帶寬積用來描述空間信號（如圖像）的信息量以及光學(xué)成像系統(tǒng)、信息處理系統(tǒng)能夠傳遞或處理的信息容量。 本章小結(jié)本章小結(jié)1）線性系統(tǒng)理論是傅里葉光學(xué)的理論基礎(chǔ)。傅里葉光學(xué)研究的就是光信息在線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)中的傳遞、處理、變換和存儲等。2）線性系統(tǒng)滿足疊加積分的關(guān)系，利用這一關(guān)系，只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能