初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題(帶答案及解析)

1、精選初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PAD=PDA=15°求證：PBC是正三角形（初二）2（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F求證：DEN=F3（10分）如圖，分別以ABC的邊AC、BC為一邊，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半4（10分）設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBA=PDA求證：PAB=PCB5（10分）P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a，PB=2a，PC=

2、3a，求正方形的邊長6（10分）一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開頭用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分求兩根水管各自注水的速度7（10分）（2009郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得OBQ與OAP面積相等？假如存在，懇求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假如不存在，請說明理由；（3）如圖

3、2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值8（10分）（2008海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在線段BC上，且PE=PB（1）求證：PE=PD；PEPD；（2）設(shè)AP=x，PBE的面積為y求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值9（10分）（2010河南）如圖，直線y=k1x+b與反比例函數(shù)（x0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)（1）求k1、k2的值（2）直接寫出時(shí)x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，

4、BCOD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CEOD于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請推斷PC和PE的大小關(guān)系，并說明理由10（10分）（2007福州）如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求AOC的面積；（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題參考答案與試題解析一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PAD=PDA=15

5、6;求證：PBC是正三角形（初二）考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定。1097743專題：證明題。分析：在正方形內(nèi)做DGC與ADP全等，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出PDG為等邊，三角形，依據(jù)SAS證出DGCPGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，依據(jù)等邊三角形的判定求出即可解答：證明：正方形ABCD，AB=CD，BAD=CDA=90°，PAD=PDA=15°，PA=PD，PAB=PDC=75°，在正方形內(nèi)做DGC與ADP全等，DP=DG，ADP=GDC=DAP=DCG=15°，PDG=90°15&#

6、176;15°=60°，PDG為等邊三角形（有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形），DP=DG=PG，DGC=180°15°15°=150°，PGC=360°150°60°=150°=DGC，在DGC和PGC中，DGCPGC，PC=AD=DC，和DCG=PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，PCB=90°15°15°=60°，PBC是正三角形點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等學(xué)問點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)

7、鍵是正確作出幫助線，又是難點(diǎn)，題型較好，但有肯定的難度，對同學(xué)提出了較高的要求2（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F求證：DEN=F考點(diǎn)：三角形中位線定理。1097743專題：證明題。分析：連接AC，作GNAD交AC于G，連接MG，依據(jù)中位線定理證明MGBC，且GM=BC，依據(jù)AD=BC證明GM=GN，可得GNM=GMN，依據(jù)平行線性質(zhì)可得：GMF=F，GNM=DEN從而得出DEN=F解答：證明：連接AC，作GNAD交AC于G，連接MGN是CD的中點(diǎn)，且NGAD，NG=AD，G是AC的中點(diǎn)，又M是AB的中點(diǎn)，MGB

8、C，且MG=BCAD=BC，NG=GM，GNM為等腰三角形，GNM=GMN，GMBF，GMF=F，GNAD，GNM=DEN，DEN=F點(diǎn)評：此題主要考查平行線性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明GNM為等腰三角形3（10分）如圖，分別以ABC的邊AC、BC為一邊，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半考點(diǎn)：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。1097743專題：證明題。分析：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則PQ=（ER+FS），易證RtAERRtCAT，則ER=AT，F(xiàn)S=BT，ER+FS=AT+BT=AB

9、，即可得證解答：解：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則ERPQFS，P是EF的中點(diǎn)，Q為RS的中點(diǎn)，PQ為梯形EFSR的中位線，PQ=（ER+FS），AE=AC（正方形的邊長相等），AER=CAT（同角的余角相等），R=ATC=90°，RtAERRtCAT（AAS），同理RtBFSRtCBT，ER=AT，F(xiàn)S=BT，ER+FS=AT+BT=AB，PQ=AB點(diǎn)評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)，幫助線的作法很關(guān)鍵4（10分）設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBA=PDA求證：PAB=PCB考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓；平行四邊

10、形的性質(zhì)。1097743專題：證明題。分析：依據(jù)已知作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使PE=AD=BC，利用ADEP，ADBC，進(jìn)而得出ABP=ADP=AEP，得出AEBP共圓，即可得出答案解答：證明：作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使PE=AD=BC，ADEP，ADBC四邊形AEPD是平行四邊形，四邊形PEBC是平行四邊形，AEDP，BEPC，ABP=ADP=AEP，AEBP共圓（一邊所對兩角相等）BAP=BEP=BCP，PAB=PCB點(diǎn)評：此題主要考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，嫻熟利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵5（10分）P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a，

11、PB=2a，PC=3a，求正方形的邊長考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。1097743專題：綜合題。分析：把ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BEC，依據(jù)勾股定理得到PE=2a，再依據(jù)勾股定理逆定理證明PEC是直角三角形，從而得到BEC=135°，過點(diǎn)C作CFBE于點(diǎn)F，CEF是等腰直角三角形，然后再依據(jù)勾股定理求出BC的長度，即可得到正方形的邊長解答：解：如圖所示，把ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BEC，APBCEB，BE=PB=2a，PE=2a，在PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，PEC是直角三角形，PEC=90°，BEC=45&

12、#176;+90°=135°，過點(diǎn)C作CFBE于點(diǎn)F，則CEF是等腰直角三角形，CF=EF=CE=a，在RtBFC中，BC=a，即正方形的邊長為a點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，作出幫助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵6（10分）一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開頭用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分求兩根水管各自注水的速度考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用。1097743分析：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為4x，一個(gè)圓柱形容器的容

13、積為V立方米，開頭用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分可列方程求解解答：解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x立方米/分，則大水管進(jìn)水速度為4x立方米/分由題意得：解之得：經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程解小口徑水管速度為立方米/分，大口徑水管速度為立方米/分點(diǎn)評：本題考查理解題意的力量，設(shè)出速度以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解7（10分）（2009郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和

14、反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得OBQ與OAP面積相等？假如存在，懇求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假如不存在，請說明理由；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。1097743專題：壓軸題。分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；（2）由于P（1，2）為雙曲線Y=上的一點(diǎn)，所以O(shè)BQ、OAP面積為1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)Q在雙曲線上，即符合條件的點(diǎn)存在，

15、是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；（3）由于四邊形OPCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（1，2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，將點(diǎn)M（2，1）坐標(biāo)代入得k=，所以正比例函數(shù)解析式為y=x，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（m，m），于是SOBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，而SOAP=|（1）×（2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（2，1）

16、和Q2（2，1）；（3）由于四邊形OPCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（1，2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）由于點(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（n，），由勾股定理可得OQ2=n2+=（n）2+4，所以當(dāng)（n）2=0即n=0時(shí)，OQ2有最小值4，又由于OQ為正值，所以O(shè)Q與OQ2同時(shí)取得最小值，所以O(shè)Q有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4（10分）點(diǎn)評：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)

17、要留意對各個(gè)學(xué)問點(diǎn)的機(jī)敏應(yīng)用8（10分）（2008海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在線段BC上，且PE=PB（1）求證：PE=PD；PEPD；（2）設(shè)AP=x，PBE的面積為y求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。1097743專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解過點(diǎn)P作GFAB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PEPD在直角三角形AGP中，由于CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那

18、么AG=PG，而PB=PE，PFBE，那么依據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對應(yīng)邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等可得出PD=PE，GDP=EPF，而GDP+GPD=90°，那么可得出GPD+EPF=90°，由此可得出PDPE（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，F(xiàn)E的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CDGP，也就可求出PF的長，可依據(jù)三角形的面積公式得出x，y的函數(shù)關(guān)系式然后可依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變

19、量的取值范圍求出y的最大值以及對應(yīng)的x的取值解答：（1）證明：過點(diǎn)P作GFAB，分別交AD、BC于G、F如圖所示四邊形ABCD是正方形，四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90度又PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS）PE=PD1=21+3=2+3=90度DPE=90度PEPD（2）解：過P作PMAB，可得AMP為等腰直角三角形，四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，AP=x，PM=x，BF=PM=，PF=1SPBE=BE×PF=BFPF=x×（1x）=x2+x即y=

20、x2+x（0x）y=x2+x=（x）2+a=0，當(dāng)x=時(shí)，y最大值=點(diǎn)評：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等學(xué)問點(diǎn)，通過構(gòu)建全等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵9（10分）（2010河南）如圖，直線y=k1x+b與反比例函數(shù)（x0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)（1）求k1、k2的值（2）直接寫出時(shí)x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BCOD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CEOD于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請推斷PC和PE的大小關(guān)系，并說明理由考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的

21、性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。1097743專題：綜合題。分析：（1）先把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)求得反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)B代入反比例函數(shù)解析式求得a的值，再把點(diǎn)A，B代入一次函數(shù)解析式利用待定系數(shù)法求得k1的值（2）當(dāng)y1y2時(shí)，直線在雙曲線上方，即x的范圍是在A，B之間，故可直接寫出范圍（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m2，OD=m+2，利用梯形的面積是12列方程，可求得m的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，依據(jù)線段的長度關(guān)系可知PC=PE解答：解：（1）由題意知k2=1×6=6反比例函數(shù)的解析式為y=（x0）x0，反比例函數(shù)的圖象只在第一象限，又B（

22、a，3）在y=的圖象上，a=2，B（2，3）直線y=k1x+b過A（1，6），B（2，3）兩點(diǎn)故k1的值為3，k2的值為6；（2）由（1）得出3x+90，即直線的函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，由圖象可知，此時(shí)1x2，則x的取值范圍為1x2；（3）當(dāng)S梯形OBCD=12時(shí)，PC=PE設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），過B作BFx軸，BCOD，CEOD，BO=CD，B（2，3），C（m，3），CE=3，BC=m2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2S梯形OBCD=，即12=m=4，又mn=6n=，即PE=CEPC=PE點(diǎn)評：此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，留意反比例函數(shù)上

23、的點(diǎn)的特點(diǎn)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法要機(jī)敏的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長度，從而確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵10（10分）（2007福州）如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求AOC的面積；（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。1097743專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）先依據(jù)直線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的解析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，由于AOC的面積無法直接求出，因此可通過作幫助線，通過其他圖形面積的和差關(guān)系來求得（解法不唯一）；（3）由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)當(dāng)是平行四邊形，那么POA的面積就應(yīng)當(dāng)是四邊形面積的四分之一即6可依據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出POA的面積，由于POA的面積為6，由