八年級數(shù)學第四章二次根式復習與小結湘教版知識精講

1、初二初二數(shù)學數(shù)學第四章第四章 二次根式復習與小結二次根式復習與小結湘教版湘教版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內容： 第四章 二次根式復習與小結二. 教學目標： 1. 了解二次根式有意義的條件，發(fā)展學生的符號感。 2. 經歷探索掌握積的算術平方根性質及商的算術平方根的性質，并會用性質來化簡。 3. 掌握二次根式的乘法、除法法則，并會進行二次根式的乘除運算。 4. 會進行二次根式的加、減運算。 5. 會把實數(shù)運算律及乘法公式應用于二次根式的混合運算中。三. 教學重點和難點： 重點：二次根式意義及二次根式的運算。 難點：二次根式的化簡及運用乘法公式和實數(shù)運算律進行二次根式運算。四. 本章知識

2、要點歸納： 1. 二次根式的定義： 形如的式子叫二次根式，其中 叫作被開方數(shù)，是一個非負數(shù)時，a aa() 0a才有意義 2. 二次根式的性質： ()()| |()()()aa aaaaaaa a2200000 ，abab abababab()()0000 3. 二次根式的運算 二次根式的乘法：，abab ab()00 二次根式的除法：，ababab()00 二次根式的加減： 需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。 二次根式的混合運算： 先乘方（或開方） ，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的； 能利用運算律或乘法公式進行的，可適當

3、改變運算順序進行簡便運算。 有理化因式： 一般常見的互為有理化因式有如下幾類： 1) aa與 2) abab與 3)abab與 4)m an bm an b與 利用有理化因式的特點可以將分母有理化。五. 方法規(guī)律指點： 如果是二次根式，則一定有aa 0 當時，必有aa00 當時，表示 的算術平方根，因此有，反過來，也可將aaaaa02()一個非負數(shù) 寫成的形式aa()2 表示的算術平方根，因此有， 可以是任意實數(shù)aaaaa222| | 區(qū)別和的不同：()| |aaaa22 aaaaa22中的 可以取任意實數(shù)，中的 只能是一個非負數(shù)，否則無意()義。 簡化二次根式的被開方數(shù)，主要有兩個途徑： 1

4、)因式的內移 因式內移時，若 m0，則將負號留在根號外。 即m xm x 2 2)因式外移時，若被開數(shù)中字母取值范圍未指明時，則要進行討論。即： x yxyxyxxyx200| |()() 二次根式的比較： 10)若，則有abab 2)若，則有abab 一般情況下，將根號外的因式都移到根號里面去后再進行比較?！镜湫屠}典型例題】第一部分：基礎知識題 例 1. 在實數(shù)范圍內分解因式：5x315x 解：解：5153xx 5353533222x xx xx xx()() ()() 例 2. 已知，求|()xyyzzxyz2022 分析：分析：、均為非負數(shù)|()xyyzz 22 即，|()xyyzz0

5、0202 根據(jù)非負數(shù)的和為零，則每一個非負數(shù)必為 0。 解：解：，|()xyyzz00202 又|()xyyzz202 且且|()xyyzz00202 即xyyzzxyz0020222 xyz222228 例 3. xxx為何值時，式子在實數(shù)范圍內有意義？53 解：解：由二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)及分式分母不能為零的性質得： xx5030 解之得：5x3 當時，有意義5353xxx 例 4. 化簡二次根式xyyx yx yxxyyxy43342220() 分析：分析：化簡被開方數(shù)比較復雜的二次根式時，先對分子、分母因式分解，能約分的就約分，能開方的就開方，或先對被開方數(shù)進行通分，然后再通過分母

6、有理化進行化簡。 解：解：，00 xyxy xyyx yx yxxyy4334222 xyyx yxyxyxyyxyxyxy xy332()()|() xyyxyxyx yxy()22 x x yxy22 例 5. 計算：()()23623622 分析：分析：此題符合平方差公式的特點，因此利用平方差公式分解因式可簡化運算。 解：解：原式 ()()236236 ()()236236 2 22364 64 264 68 3()第二部分：技能技巧題 方法技巧一：巧拆項法 例 6. 化簡12 23122334532 25()()()() 分析：分析：此題如果按常規(guī)的方法來解顯然很麻煩，觀察題目特點，將

7、分子適當組合，然后約分，再將分母有理化，即可迅速化簡。 解：解：原式 ()()()()()()()()12231223322532 25 1231121251323221522351()()()() 方法技巧二：逆用運算法則法： 例 7. 化簡 3535 分析：分析： 35350 可利用進行化簡aaa20() 解：解：原式 ()35352 35235 3535642()() 方法技巧三：取倒數(shù)法 例 8. 化簡：()()533152 31 分析：分析：此題如果按常規(guī)的方法分母有理化，則會使解題陷入麻煩，考慮取其倒數(shù)，再利用例 6 的巧拆項法可使運算簡便。 解：解：設A ()()533152 3

8、1 則152 315331A()() ()()()()53315331 131153312532512 A 251512 原式 512第三部分：規(guī)律探索題 例 9. ( ) 1322143325443比較大小：與；與；與 （2）由（1）中比較的結果猜想。 （3）對（2）中的猜想給出證明。 分析：分析：二次根式比較大小的方法較多，習慣上我們?yōu)楸容^兩個二次根式的大小，一般將分母變?yōu)橛欣頂?shù)，把分母化成一樣，然后通過比較它們分子的大小來判定二次根式的大小。 而本題反其道而行之，將分子變成一樣；通過比較分母的大小來判定其大小，另外，本題設置的層層遞進的 3 問，正好反映了人們認識事物的規(guī)律。 解：解：（

9、 )() 又132121 1321210 即 3221 同理4332 5443 （ ）猜想211nnnn （3）證明： nnnnnnnnnn111111()() 同理： nnnn111 又 nnnn11 1111nnnn nnnn 11【模擬試題模擬試題】（一）填空題： （1）若，化簡_xy 0 x y2 （2）已知，則_xx13xx221 （3）若，則_35x|xxx7962 （4）已知實數(shù) a、b 在數(shù)軸上對應點的位置如下圖所示，化簡_bba()2 （5）若在實數(shù)范圍內有意義，則 a 的取值范圍是（ ）1231aaa （6）把根號外面的因式移入根號內得_()()1

10、51mm m （7）在實數(shù)范圍內分解因式_xx4221 （8）比較大小：_3 22 3 _14131312 （9）已知ABC 的三邊分別是 a、b、c，則 _()|abcbac2 （10）如果，則_ab 0aaabba1（二）選擇題： （1）化簡的結果為_a3 A. B. C. D. a aaaaaa a （2）若，即么 a、b 的關系是（ ）ab13232， A. B. C. D. abab 0ab 1ab 1 （3）已知，化簡二次根式的正確結果為（ ）xy 0 xyx2 A. B. C. D. yyy y （4）代數(shù)式的值等于（ ）xx2211 A. 非正數(shù)B. 負數(shù)C. 0D. 正數(shù) （

11、5）若，則 x 的取值范圍是（ ）x 138187176165 A. B. C. D. x 101x12xx 2 （6）如果成立，則（ ）x xxx()66 A. B. C. D. x 為任意實數(shù)x 606xx 0 （7）已知 x、y 為實數(shù)，且，則（ ）yxx13121112xy A. B. C. 4D. 121413 （8）若為實數(shù)，且，那么的值是（ ）ab、()ab21202ba A. 4B. C. D. 41414 （9）已知，那么 x 的取值范圍是（ ）()21122xx A. B. C. D. x 12x 12x 12x 12 （10）已知的值等于（ ）xxx32321012，則

12、A. B. 0C. D. 10 630 618 6（三）已知，求的值。x 512xxx331（四）已知：abab224250 求的值。()ababaab24（五）求的值。635635（六）在ABC 中，三邊分別為 a、b、c 且滿足，abc3 22abc22232試探求ABC 的形狀。（七）解方程：xyzxyz1212()【試題答案試題答案】（一） （1）（2）7（3）4xy （4）a（5）aa113且 （6）（7）512m m()() ()xx1122 （8），（9）0（10）1（二） （1）C（2）B（3）B（4）C（5）B （6）A（7）A（8）C（9）D（10）B（三） 解：xx512251， ，21521522xx()() xx21 原式xxxxxxxxx32323431512()（四）解：abab224250 ，()()abab2102122 原式()214 22232 2222 ()()212212121222（五）設，x 635635x 0 將上式兩邊平方得： 6356352