同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版上冊定積分

1、第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法定積分的換元法和分部積分法和分部積分法二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 根據(jù)根據(jù)微積分基本公式微積分基本公式定積分法，定積分法，不定積分法不定積分法且使用方法與相應(yīng)的不定積分法類似。且使用方法與相應(yīng)的不定積分法類似。設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；函函數(shù)數(shù))(tx 滿滿足足條條件件 定理（2 2）)(t 在在, 或或, 上上單單調(diào)調(diào)，且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 則有 （1 1）a )( 、b )( ； 一、定積分的換元法證因為因為)(xf在在 ,ba上連續(xù)，故原函數(shù)存在，設(shè)上連續(xù)，故原函數(shù)存在，設(shè))(xF是是)(

2、xf的一個原函數(shù)，則有的一個原函數(shù)，則有 注意:(1)應(yīng)用定積分的換元法時,與不定積分比較，多一事：換上下限；少一事：不必回代； )(tx 應(yīng)應(yīng)單單調(diào)調(diào), ,當(dāng)當(dāng)t從從 變變到到 時時, , x從從a變變到到b, ,不不重重復(fù)復(fù), ,不不遺遺漏漏； (2)(3)逆用上述公式,即為“湊微分法”,不必?fù)Q限. 換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限上限對上限上限對上限、下限對下限下限對下限例例1.1. 計算解解: 令則 原式 =且 例例2 2 205sincos xdxxxu cos 1066u .61 015duu 205sincos xdxx或或為為積積分分變變量量以以xcos 205coscos xxd206|

3、cos61 x .61 例3 30)1(dxxx 301d2xx302arctant .32 例4 202d1xxx401t.15 2022d1121xx320dt21txt 42011dt21txt 例5 計算解令.1d8 0 3 xx，tx 3，ttxd3d2 , 80:x，20: t原式 202d13ttt 202d1113ttt 20d)111(3ttt202) |1|ln21(3ttt .3ln3 ，3tx 例6 計算解令原式.d1e2ln0 xx，tx 1e，21etx ，)1ln(2tx ，tttxd12d2 ，2ln0:x，10:t 102d12tttt 102d)111(2t

4、t10arctan22t .22 例7解設(shè)設(shè),0 ,110 ,2 )( xxxxxxf 求求 20)d1(xxf. . 令，tx 1原式 11d)(ttf 11d)(xxf 0110d11d2xxxxx.2ln2 01102d)121(xxx01)1ln(211 x證設(shè)設(shè))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù), ,那那么么 ( (1 1) ) 若若)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù), ,則則 aaaxxfxxf0d)(2d)(； ( (2 2) ) 若若)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), ,則則 0d)( aaxxf. . ， 00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf 0d)(axxf， axxf0d)(，

5、aaaxxfxfxxf0d)()(d)( 利用函數(shù)的對稱性簡化計算利用函數(shù)的對稱性簡化計算. .tx attf0d)( 偶倍奇零偶倍奇零(1) (1) )(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 則則 ),()(xfxf ( (2 2) ) )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), 則則 ),()(xfxf aaaxxfxfxxf0d)()(d)( aaaxxfxxf0d)(2d)( .0d)( aaxxfyxo)(xfy yx)(xfy o奇函數(shù)奇函數(shù)例例8 8 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1

6、(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積 1122d)1(xxx 11222d)112(xxxxx 11211d12d1xxxx.2 例9 xxbxaxxdcossin1cossin2222.0 奇函數(shù) 112d)1ee (xxxx 102d2xx.32 設(shè)設(shè))(xf是是以以T為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，證證明明： 證 Taaxxfd)(,d)(d)(d)(00 TaTTaxxfxxfxxf TaTxxfd)( tTx atTtf0d)( attf0d)(,d)(0 axxf.d)(d)( 0 TTaaxxfxxf例10 TTaa

7、xxfxxf0d)(d)(. . .d)(cosd)(sin2/02/0 xxfxxf證令，xt 2 2/0d)(sin xxf 02/d)2sin( ttf.d)(cos2/0 xxf例11設(shè)設(shè))(xf在在10 ，上上連連續(xù)續(xù), ,證證明明： 201010dcossin1cossin xxxxx0 二、定積分的分部積分法定理 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(),(xvxu在在,ba上上連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則 例1例2 e1dlnxx e1e1lndlnxxxx.1)1e (e e1d1exxx 10dexxx 10dexx1010deexxxx101 -e-ex.e21 定積分的分部積分公式的用法與不定

8、積分的分部定積分的分部積分公式的用法與不定積分的分部積分公式的用法類似。積分公式的用法類似。 e13dlnxxx e121dln21xx e12e12lnd121ln21xxxx e132d121e21xxe12241e21x .e43412 例3例4 02dsinxxx 02cosdxx 002dcos2cosxxxxx 02sind2xx 002dsin2sin2xxxx.42 例例5 5 計算計算.arcsin210 xdx解解 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 12 為積分變量為積分變量換元：以換元：以x)1(112120221xdx 12

9、 21021x . 12312 另解另解 210arcsinxdx 60sin tt分分部部積積分分 60sin tdt216 60cos t . 12312 60sinarcsinsin tdttxxt則則換換元元：例例5 5 計算計算.arcsin210 xdx例例6 6 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例7 計算分部積分法與換元法結(jié)合.de10 xx解令,tx ,2tx ,d2dttx ,10:t原式 10de2ttt 10

10、de2tt 1010de2e2tttt.2e2e210 t* *例例8 8 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因為因為ttsin沒有初等形式的原函數(shù)（沒有初等形式的原函數(shù)（積分正弦積分正弦)， 無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 1 0 2)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 1 0 222 2sin 21dxxxxx 1022)(sin21xdx 102cos21x ).11(cos21 102sin221dxxx三、小結(jié)三、小結(jié)1、使用定積分的換元法時要注意、使用定積分的換元法時要注意積分限的對積分限的