Chapter5-6(電磁波的衍射)

1、15.6 電磁波的衍射電磁波的衍射 2衍射現(xiàn)象：當(dāng)電磁波在傳播過(guò)程中遇到衍射現(xiàn)象：當(dāng)電磁波在傳播過(guò)程中遇到障礙物或者透過(guò)屏幕上的小孔時(shí)，會(huì)導(dǎo)障礙物或者透過(guò)屏幕上的小孔時(shí)，會(huì)導(dǎo)致偏離原來(lái)入射方向的出射電磁波。致偏離原來(lái)入射方向的出射電磁波。衍射現(xiàn)象的研究對(duì)于光學(xué)和無(wú)線電波的傳衍射現(xiàn)象的研究對(duì)于光學(xué)和無(wú)線電波的傳播都是很重要的。衍射理論的一般問(wèn)題就播都是很重要的。衍射理論的一般問(wèn)題就是要計(jì)算通過(guò)障礙物或小孔后的電磁波角是要計(jì)算通過(guò)障礙物或小孔后的電磁波角分布，即求出衍射圖樣。分布，即求出衍射圖樣。 1 1衍射問(wèn)題衍射問(wèn)題: : 3 在光學(xué)中衍射理論的基礎(chǔ)是惠在光學(xué)中衍射理論的基礎(chǔ)是惠更斯原理。這原

2、理假設(shè)開始光波面更斯原理。這原理假設(shè)開始光波面上的每一點(diǎn)可以看作次級(jí)光源，它上的每一點(diǎn)可以看作次級(jí)光源，它們發(fā)射出子波，這些子波疊加后得們發(fā)射出子波，這些子波疊加后得到向前傳播的光波。現(xiàn)在我們從電到向前傳播的光波?，F(xiàn)在我們從電動(dòng)力學(xué)基本原理出發(fā)導(dǎo)出惠更斯原動(dòng)力學(xué)基本原理出發(fā)導(dǎo)出惠更斯原理。理。4圖示典型圖示典型的衍射問(wèn)的衍射問(wèn)題題設(shè)屏幕上有一小孔，電磁波從左邊人射，設(shè)屏幕上有一小孔，電磁波從左邊人射，我們要計(jì)算通過(guò)小孔后在屏幕右邊空間各我們要計(jì)算通過(guò)小孔后在屏幕右邊空間各點(diǎn)上的電磁波場(chǎng)強(qiáng)。點(diǎn)上的電磁波場(chǎng)強(qiáng)。5 這種普遍的解法是很復(fù)雜的這種普遍的解法是很復(fù)雜的, ,實(shí)際所用的衍實(shí)際所用的衍射理論

3、都是一些近似解法。近似的主要點(diǎn)在于射理論都是一些近似解法。近似的主要點(diǎn)在于假設(shè)小孔上和屏幕右側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)為已知，由此求假設(shè)小孔上和屏幕右側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)為已知，由此求出右半空間各點(diǎn)上的場(chǎng)強(qiáng)這種求解方法實(shí)質(zhì)上出右半空間各點(diǎn)上的場(chǎng)強(qiáng)這種求解方法實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)用其邊界上的值表示是把一個(gè)區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)用其邊界上的值表示出來(lái)以下我們將推導(dǎo)這種關(guān)系。出來(lái)以下我們將推導(dǎo)這種關(guān)系。這問(wèn)題嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)該作為邊值問(wèn)題求解這問(wèn)題嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)該作為邊值問(wèn)題求解 電磁場(chǎng)由兩個(gè)互相耦合的矢量場(chǎng)電磁場(chǎng)由兩個(gè)互相耦合的矢量場(chǎng)E和和B構(gòu)成，用嚴(yán)格構(gòu)成，用嚴(yán)格的矢量場(chǎng)理論來(lái)討論衍射問(wèn)題較為復(fù)雜。的矢量場(chǎng)理論來(lái)討論衍射問(wèn)題較為復(fù)雜。

4、6 下面我們只推導(dǎo)標(biāo)量衍射公下面我們只推導(dǎo)標(biāo)量衍射公式，而不去討論較嚴(yán)格的矢量場(chǎng)式，而不去討論較嚴(yán)格的矢量場(chǎng)衍射公式。衍射公式。 一般在光學(xué)中常忽略場(chǎng)的矢量一般在光學(xué)中常忽略場(chǎng)的矢量性質(zhì)而把電磁場(chǎng)的每一直角分量看性質(zhì)而把電磁場(chǎng)的每一直角分量看作標(biāo)量場(chǎng)，用標(biāo)量場(chǎng)的衍射理論來(lái)作標(biāo)量場(chǎng)，用標(biāo)量場(chǎng)的衍射理論來(lái)求解。當(dāng)衍射角不大時(shí)這種方法是求解。當(dāng)衍射角不大時(shí)這種方法是較好的近似。較好的近似。7電磁場(chǎng)的任一直角分量電磁場(chǎng)的任一直角分量 滿足滿足亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程022 k2.基爾霍夫（基爾霍夫（Kirchhoff）公式）公式 如果我們忽略電磁場(chǎng)其它分量的影響，如果我們忽略電磁場(chǎng)其它分量的影響，而孤

5、立地把而孤立地把 看作一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，用邊界上看作一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，用邊界上的的 和和 /n值表出區(qū)域內(nèi)的，這種理論值表出區(qū)域內(nèi)的，這種理論就是標(biāo)量衍射理論。就是標(biāo)量衍射理論。8)(),()(xxxxGk 422 和靜電情形一樣和靜電情形一樣,用格林公式和格林函數(shù)方法可以用格林公式和格林函數(shù)方法可以把把 (x) 與邊界上的值聯(lián)系起來(lái)。設(shè)與邊界上的值聯(lián)系起來(lái)。設(shè) G(x，x)是亥姆是亥姆霍茲方程的格林函數(shù)霍茲方程的格林函數(shù)可以看出具有出射波形式的格林函數(shù)為可以看出具有出射波形式的格林函數(shù)為rexxGikr ),(tietQ 04)( 9把把G和和 代入格林公式，并以撇號(hào)表代入格林公式，并以撇號(hào)表示積分變量

6、，得示積分變量，得22)(),(),()()(),(),()(SdxxxGxxGxdVxxxGxxGxSV 其中其中S是區(qū)域是區(qū)域V的邊界的邊界, dS是從區(qū)域是從區(qū)域V內(nèi)指向外內(nèi)指向外部的面元。設(shè)部的面元。設(shè)n指向區(qū)域指向區(qū)域V內(nèi)的法線內(nèi)的法線,即即 dS = ndS 。10得基爾霍夫公式得基爾霍夫公式d )1(e41d)(ee)(41)(SrrriknrSxrrxxSikrSikrikr 基爾霍夫公式是惠更斯原理的基爾霍夫公式是惠更斯原理的數(shù)學(xué)表示。數(shù)學(xué)表示。11它把區(qū)域它把區(qū)域V內(nèi)的任一點(diǎn)內(nèi)的任一點(diǎn) x 處的場(chǎng)處的場(chǎng) (x) 用用V邊邊界面界面S上的上的 和和 /n 表示出來(lái)。在被積表示

7、出來(lái)。在被積式中，因子式中，因子eikr/r 表示由曲面表示由曲面S上的點(diǎn)上的點(diǎn)x向向V內(nèi)內(nèi)x 點(diǎn)傳播的波，波源的強(qiáng)度由點(diǎn)傳播的波，波源的強(qiáng)度由 x 點(diǎn)上的點(diǎn)上的 和和 /n 值確定。因此，曲面上的每一點(diǎn)值確定。因此，曲面上的每一點(diǎn)可以看作次級(jí)光源，區(qū)域可以看作次級(jí)光源，區(qū)域V內(nèi)的光波可以看內(nèi)的光波可以看作由面上所有點(diǎn)上的次級(jí)光源發(fā)射的子波的作由面上所有點(diǎn)上的次級(jí)光源發(fā)射的子波的疊加。疊加。d )1(e41)(SrrriknrxSikr 12 必須指出，上式不是邊值問(wèn)必須指出，上式不是邊值問(wèn)題的解題的解,它只是把它只是把 用邊界值表出的用邊界值表出的積分表示式，當(dāng)問(wèn)題完全解出之前，積分表示式，

8、當(dāng)問(wèn)題完全解出之前，邊界上的邊界上的 和和 /n值是不知道的，值是不知道的，而且也不是能任意規(guī)定的。而且也不是能任意規(guī)定的。d )1(e41)(SrrriknrxSikr 13只有在某些特殊情況下，當(dāng)我們可以只有在某些特殊情況下，當(dāng)我們可以合理地估計(jì)在邊界合理地估計(jì)在邊界S上的上的 和和 /n 值時(shí)，才能應(yīng)用此式求區(qū)域值時(shí)，才能應(yīng)用此式求區(qū)域V內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。衍射問(wèn)題通常屬于這種情況衍射問(wèn)題通常屬于這種情況d )1(e41)(SrrriknrxSikr 143. 小孔衍射小孔衍射以小孔以小孔衍射為衍射為例說(shuō)明例說(shuō)明基爾霍基爾霍夫公式夫公式的應(yīng)用的應(yīng)用 設(shè)無(wú)窮大平面屏設(shè)無(wú)窮大平面屏幕中有一小

9、孔。幕中有一小孔。V為屏幕右邊空間，為屏幕右邊空間，其界面其界面S包括三個(gè)包括三個(gè)部分：小孔表面部分：小孔表面S0，屏幕右側(cè)屏幕右側(cè)S1和無(wú)窮和無(wú)窮大半球面大半球面S2 （如（如圖）。為了應(yīng)用基圖）。為了應(yīng)用基爾霍夫公式，必須爾霍夫公式，必須對(duì)界面上的對(duì)界面上的 和和 n值作合值作合理的假定。理的假定。15（）在孔面（）在孔面S0上，上， 和和 n 等于原來(lái)入射波的值，即和等于原來(lái)入射波的值，即和沒(méi)有屏幕存在時(shí)的值相同。沒(méi)有屏幕存在時(shí)的值相同。（）屏幕右側(cè)（）屏幕右側(cè)S上，上， = n =0我們假設(shè)我們假設(shè)這兩假設(shè)都是近似的。因?yàn)橛缮厦娴挠懻摚?dāng)有屏幕存這兩假設(shè)都是近似的。因?yàn)橛缮厦娴挠懻?，?dāng)

10、有屏幕存在時(shí)，必然對(duì)原來(lái)入射波產(chǎn)生擾動(dòng)，特別是孔邊緣附近，入在時(shí)，必然對(duì)原來(lái)入射波產(chǎn)生擾動(dòng)，特別是孔邊緣附近，入射波受到的擾動(dòng)是比較大的，因而在孔面上射波受到的擾動(dòng)是比較大的，因而在孔面上 和和 n 值不可能與原入射波的相應(yīng)值完全相同。值不可能與原入射波的相應(yīng)值完全相同。16但是當(dāng)孔半徑遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí)，孔面大部但是當(dāng)孔半徑遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí)，孔面大部分的場(chǎng)所受的擾動(dòng)不大，則假設(shè)（）分的場(chǎng)所受的擾動(dòng)不大，則假設(shè)（）不會(huì)導(dǎo)致很大的誤差。不會(huì)導(dǎo)致很大的誤差。 在屏幕右側(cè)，在屏幕右側(cè)，實(shí)際上只有在小孔邊緣附近處實(shí)際上只有在小孔邊緣附近處 和和 n 才可能顯著地不為零，則假設(shè)（）才可能顯著地不為零，則假設(shè)（）也

11、可以近似地成立。也可以近似地成立。 17 為了計(jì)算為了計(jì)算 (x)還必須知道無(wú)窮遠(yuǎn)半球面還必須知道無(wú)窮遠(yuǎn)半球面S2 上的上的 。如圖。如圖 ，取坐標(biāo)原點(diǎn)在小孔中心處，取坐標(biāo)原點(diǎn)在小孔中心處，以以x 表示表示S2 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，x為區(qū)域內(nèi)距離小孔有限遠(yuǎn)為區(qū)域內(nèi)距離小孔有限遠(yuǎn)處任一點(diǎn)。令處任一點(diǎn)。令 ),()(RefxikR 由于在右半空間的波是由于在右半空間的波是由小孔區(qū)出射的波，因此在無(wú)由小孔區(qū)出射的波，因此在無(wú)窮遠(yuǎn)處應(yīng)有形式窮遠(yuǎn)處應(yīng)有形式,xR,xRxxr18 )1()(RikxRn 在基爾霍夫公式中，在基爾霍夫公式中，r為由為由x 到到x的距離，當(dāng)?shù)木嚯x，當(dāng) r 時(shí)時(shí) ， r/ r n，

12、而且有，而且有 1/ r 1/R ，因此，因此在在 S2 上到上到O (r -2) 有有0)1( rrriknf ( , )代表與方向有關(guān)的代表與方向有關(guān)的某一函數(shù)。在某一函數(shù)。在 S2 上，內(nèi)法上，內(nèi)法線為線為n = eR，因而因而),()(RefxikR 19則基爾霍夫公式式在無(wú)窮大半則基爾霍夫公式式在無(wú)窮大半球面球面S2 上的積分趨于零。其中上的積分趨于零。其中只剩下對(duì)孔面只剩下對(duì)孔面S0 的積分的積分)1(41)(0dSrrriknrexSikr 由假設(shè)（由假設(shè)（1），在孔面上，場(chǎng)強(qiáng)），在孔面上，場(chǎng)強(qiáng)可取為入射波場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)入射波可取為入射波場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)入射波 i是平面波，其波矢量為是平面波，

13、其波矢量為10)(xk iiex 其中其中 0為原點(diǎn)為原點(diǎn)處的處的 值。值。20上式右邊被積函數(shù)中上式右邊被積函數(shù)中 可用可用 i 代代入，并有入，并有101)(xk iek ix 21設(shè)我們?cè)谄聊挥疫呥h(yuǎn)處設(shè)我們?cè)谄聊挥疫呥h(yuǎn)處觀察向觀察向k2方向傳播的衍方向傳播的衍射波射波實(shí)際觀察時(shí)可用實(shí)際觀察時(shí)可用透鏡把衍射波聚焦，稱透鏡把衍射波聚焦，稱夫朗和費(fèi)夫朗和費(fèi)(Fraunhofer)衍射衍射。如圖，。如圖，x為小孔為小孔面上一點(diǎn)，面上一點(diǎn)，x為空間遠(yuǎn)為空間遠(yuǎn)處一點(diǎn)，處一點(diǎn)，k2 沿沿R方向，方向，r = R- x k2/k, k r/r= k2。2221)(021)(0d)cos(cos4d)(4

14、)(021021SeReikSnkkeReixSxkkiikRSxkkiikR 其中其中 1為入射波矢為入射波矢k1與法線與法線n 的夾角，的夾角， 2為衍射為衍射波矢波矢k2與與n的夾角。的夾角。cos 1 +cos 2 稱為傾斜因子。稱為傾斜因子。在上述積分式中略去在上述積分式中略去1/r高次項(xiàng)，得高次項(xiàng)，得23 以以 2代表衍射光波的強(qiáng)度，由上代表衍射光波的強(qiáng)度，由上式可算出衍射光強(qiáng)與式可算出衍射光強(qiáng)與 2 的關(guān)系，由此可得的關(guān)系，由此可得衍射圖樣衍射圖樣 。在小孔衍射情況下，實(shí)驗(yàn)測(cè)得。在小孔衍射情況下，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的衍射圖樣與計(jì)算結(jié)果相符，說(shuō)明我們所的衍射圖樣與計(jì)算結(jié)果相符，說(shuō)明我們所作的

15、假設(shè)作的假設(shè)(1)和和(2)是近似正確的是近似正確的 。 在通過(guò)裂縫的微波輻射問(wèn)題中，由于涉及較在通過(guò)裂縫的微波輻射問(wèn)題中，由于涉及較大的波長(zhǎng)和較大的衍射角，標(biāo)量理論不是很好的近大的波長(zhǎng)和較大的衍射角，標(biāo)量理論不是很好的近似似 。在這情形下我們必須從電磁場(chǎng)矢量方程出發(fā)，。在這情形下我們必須從電磁場(chǎng)矢量方程出發(fā)，導(dǎo)出矢量場(chǎng)的衍射公式導(dǎo)出矢量場(chǎng)的衍射公式 。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題在此不作。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題在此不作詳細(xì)討論。詳細(xì)討論。24例例 波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為 的平面電磁波垂直的平面電磁波垂直射入屏的長(zhǎng)方形小孔上，設(shè)小射入屏的長(zhǎng)方形小孔上，設(shè)小孔邊長(zhǎng)為孔邊長(zhǎng)為a和和b（a，b ），），求夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。求夫瑯和費(fèi)衍

16、射圖樣。25取小孔中心為原點(diǎn)，取小孔中心為原點(diǎn)，z軸與孔面垂直。入射波沿軸與孔面垂直。入射波沿z軸方向，有軸方向，有cos 1 =1?？酌嫔?。孔面上z= 0，因而，因而 k1 x= 0 。由于。由于 1和和 2 與積分變數(shù)無(wú)關(guān)，可以與積分變數(shù)無(wú)關(guān)，可以抽出移至積分號(hào)外，因此抽出移至積分號(hào)外，因此2002)cos1(4)(dSeReikxSxk iikR 解解 26積分為積分為bkakkkdyedxeyxyxbbyikaaxikyx2222sinsin422 設(shè)設(shè)k2與與x軸的夾角為軸的夾角為 /2 ，與，與y軸的夾軸的夾角為角為 /2 ， 和和 即為衍射波偏離即為衍射波偏離yz面和面和xz面的角。因面的角。因 和和 為小角，為小角，,sin2 kkkx kkky sin227 2為光強(qiáng)為光強(qiáng)I，以