人口增長連續(xù)模型

1、1人口增長連續(xù)模型 人口問題是當(dāng)今世界人們最關(guān)心的問題之一,從我們建國以來的歷史和當(dāng)前的現(xiàn)實已經(jīng)證明.這個問題也是我們國家必須認(rèn)真思考和慎重對待的重大問題.過去曾認(rèn)為人多好辦事,對呼吁人口增長的經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬寅初錯誤地開展批評,結(jié)果造成人口超過13億,背上了沉重的包袱.因此要實現(xiàn)四個現(xiàn)代化,應(yīng)有效地控制人口增長,就必須制定正確的人口政策,為此就要建立人口增長的數(shù)學(xué)模型,用以描述人口增長過程,通過分析對人口增長進(jìn)行預(yù)測,制定相應(yīng)的人口政策以控制人口增長. 2 影響人口增長的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年齡組成情況,工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平高低,各民族的風(fēng)俗習(xí)慣,自然災(zāi)害,戰(zhàn)爭,

2、人口遷移等等.如果一開始把眾多因素全考慮,則無從下手.我們先把問題簡化,只考慮影響人口的主要因素增長率(出生率減去死亡率),其余因素暫不考慮,建立一個較粗的數(shù)學(xué)模型.在這個模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響,從而建立一個與實際更加吻合的數(shù)學(xué)模型. 初看起來人口增長是按整數(shù)變化的,不是時間的可微函數(shù),是不能用微分方程來描述的.但是若人口總數(shù)很大時,可以近似認(rèn)為它是時間的連續(xù)函數(shù),甚至是可微的函數(shù).所以人口增長可以用微分方程來描述. 3設(shè) , 表示t時刻人口總數(shù)和增長率, )(tx)(,(txtr只考慮增長率,其它因素的影響不考慮. 則在t至t+ 這段時間內(nèi)人口總數(shù)增長為 tttxtxtrtxtt

3、x)()(,()()(兩端同除以 ,并令 ,得 tt0)()()(,(1txtxtrdtdx我們將逐步深入討論上面這個模型 4一,馬爾薩斯(malthus)模型(指數(shù)增長模型) 英國人口學(xué)家馬爾薩斯(17661834)根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料,于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長模型. 基本假設(shè) 人口增長率是常數(shù), 或者說,單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時人口成正比. 在（1）式中令 =r(常數(shù)) 得 )(,(txtr002xtxtxrdttdxtt)()()()(其解: (3)()(00ttrextx5 (2)式是一個線性方程,稱為馬爾薩斯人口模型,人口以 為公比,按幾何級數(shù)增加. re002x

4、txtxrdttdxtt)()()()( 據(jù)統(tǒng)計,1961年世界人口總數(shù)為3.06 , 而在此之前的十來年間人口按每年2%的速率增長.因此 9109001961,3.0610 ,0.02txr)(.)()(.41006319610209tetx 公式(4)能非常準(zhǔn)確地反映了在1700-1961年間世界估計人口總數(shù), 6但當(dāng)t=2510年, = (2萬億), x14102t=2635年, = (18萬億), x151081.t=2670年, = (36萬億), x151063. 顯然,這些數(shù)字說明馬爾薩斯人口模型對長期的預(yù)測是不正確的. 由上可以看出,馬爾薩斯人口增長模型對1700-1961年的

5、人口總數(shù)是對的,但對未來的人口總數(shù)預(yù)測不正確,應(yīng)予以修正. 二、logistic模型(阻滯增長模型) 由上面分析,馬爾薩斯人口模型對1700-1961年間人口總數(shù)的檢驗是對的,而未來的人口總數(shù)預(yù)測又是錯的,原因何在? 7 產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是:隨著人口的增加,自然資源,環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著.如果當(dāng)人口較少時(相對于資源而言),人口增長率還可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后,增長率就會隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少,許多國家人口增長的實際情況完全證實了這一點(diǎn). 看來為了使人口預(yù)報,特別是長期預(yù)報更好地符合實際情況,必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這

6、個基本假設(shè). 8 荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù) ,用來表示自然資源和環(huán)境條件所允許的最大人口,并假定人口增長率 mx)()()(,(51mxtxrtxtr即人口增長率隨著 的增加而減少,當(dāng) 時，人口增長率趨于零 )(txmxtx)(其中： 是根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗確定的常數(shù); mxr,因子 體現(xiàn)了對人口增長的阻滯作用. )(mxtx1由此得：Logistic模型 )(| )()(6100 xtxxxxrdtdxttm9解之得： )()()()(71100ttrmmexxxtx 根據(jù)(6), (7)兩式可畫出 和 曲線圖如: 圖1及圖2： xdtdxtx 圖1 圖2 10 如圖1, 是一

7、條拋物線，他表示人口增長率 隨著人口數(shù)量的增加而先增后減，在 處達(dá)到最大值。 xdtdxdtdxx2mxx 如圖2， 是一條 型曲線 ，拐點(diǎn)在 處，當(dāng) 時， tx s2mxx tmxx 本世紀(jì)初人們曾用這個模型預(yù)報美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較，直到1930年計算結(jié)果都相吻合，后來的誤差越來越大，一個明顯原因是到1960年美國實際人口已突破了過去確定最大人口 。 mx11 這個模型改進(jìn)了Mslthus模型，但不易準(zhǔn)確得到 ，事實上，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展和人們認(rèn)識能力的改變， 也是可以改變的。 mxmx 關(guān)于人口模型這方面的內(nèi)容是很豐富的，我國學(xué)者為了解決我國人口迅速增長的問題，作了大量的調(diào)查研究，建立了不少的人口模型，為我國政府指定相應(yīng)的人口政策提供依據(jù)。 人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。