理論力學(xué) 十一 動(dòng)量矩定理

1、12345vrvMmmO)( MO(mv) =2OAQ MO(mv)定位矢量定位矢量)()(vvMmMmzzO ()OMm vvv q O x y z A A ()zMm vv rv Q Q j m vv ()xym vv6Oriviyxzm1mim2ii)(vrvMLmmiiOO)(iizzmMLvzzOLL7rimi22)(iiiiiiiiizzrmrmrvmmMLv令：令：z2iiJrmzzJL 8)()()()(FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd)()(FMvMOOmdtd ()OMm vvv O x y z A rv Q m vv Fv ( )OMFv

2、v9)()(FMvMOOmdtd)()()()()()(FvFvFvzzyyxxMmMdtdMmMdtdMmMdtd0)(.FzM若若2 2恒恒矢矢量量)(vMmO量量 恒恒)(vmMz0)(.FMO若若1 110rmvFMOh0)(OFM恒恒矢矢量量vrvMmmO)(constmvhmO)( vM11)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)(eiOdtdFMLO0)()(iiOFM其中：其中：)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)()()(e)izz(e)iyy(e)ixxMLdtdMLdtdMLdtdFFF12eeeddddddOzOzOyOyOx

3、OxMtLMtLMtL000eeeOzOyOxMMM321CLCLCLOzOyOxeddOOtMLCLO，0eOM13PvRgWJLOOWRMe)(RvvRgWRJLOO)()(eOMtdLdWRdtdvRgWRJO)()(22RgWJWRaO14abcd15abcdABabCDcdABCDabcdzLLLLdL111222coscosrvdtqLrvdtqLVABabVCDcd)(ddezzMtL)coscos(111222rvrvqMVz)coscos(111222rvrvqMnMVzzVqn16zaallABCDzABCD 0)(ezM恒恒量量zL020122maamaLz22)sin(

4、2lamLz022)sin(laa12zzLL=170)(e)izM F: :解解0 0量量 恒恒zL0rvmrvmBaBAaAuvvuvvBrBaArAaBaAavv2BrArvvu2BrArBaAavvvv18ziiiiiiiiOzJr )rm(r )m(LviiizrmJ2rimi)()(izzMJdtdF)(22FzzzzMdtdJdtdJJ19)(FzzMJFa mconstM(e)iz0)(.F若若1 1constconstM(e)iz)(.F若若2 220aCOsin22mgadtdJOsin022OJmgadtd)sin(0tJmgaOmgaJTO221OFNFRfFFRdtd

5、JNOdtRfFdJtNO000RFfJtNO022 M1M2M2M1FFnFFn11112222JMF RJF RMaa=-=-1111122222211RRRRRRawaawa=)()(2122112211iJJiMMFF=232iizrmJ)(FzzMJ24ROz222201212C zi ilJm rmdxxm ll=231mlJAz22mRrmJiiCz x dx l z A B C25RO22022212mRdRmrmJRiiCz2zzmJ慣慣性性半半徑徑( (回回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)半半徑徑) )mJzz26)(212121yxmrmJiizCiiiiiizmdymdyxmdyxmyxmrmJ2

6、1212121212222)()()(01iiCmymy2mdJJzCz27CBAzCzlOCdm1m2)83(3122221ldldmlmJO2231)2(mllmJJCzz盤桿OOOJJJ2131lmJO桿)83()2(22222ldldmdlmJJCO盤28OCmgFOyFOxmgRJO2222321mRmRmRJORg32CyOyeyCxOxexmaFmgFmaFF)()(gRaaCyCx23,0mgFFOyOx21029解：解：研究對象為輪、物體A和B。分析受力，運(yùn)動(dòng)分析 已知：半徑為r，滑輪重為G，將其視為圓環(huán)。A物重為P，B物重為Q，且PQ。 求：兩重物的加速度及輪的角加速度。A

7、BOQPxFyFGABi對O點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理)(tdd)(eiOOFML30)(GQPgrLz則有)(tdd)(eizzFML由QrPrtGQPgrdd)(得rGQPgQPraGQPgQPdtda)()(,)(OBAzJrgQrgPLABOQPxFyFGABirrgGmrJO2231解解： 受力分析受力分析運(yùn)動(dòng)分析：繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)心不動(dòng)。運(yùn)動(dòng)分析：繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)心不動(dòng)。均質(zhì)圓柱半徑為r，質(zhì)量為m，置該圓柱于墻角，初時(shí)角速度0，由于摩擦阻力，使轉(zhuǎn)動(dòng)減速，摩擦因數(shù) f求：使圓柱停止所需的時(shí)間。BFNBFAFNAF應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程)()(eizzFMJ32

8、補(bǔ)充方程，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理補(bǔ)充方程，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 )3(0)2(0mgFFFFFymFxmFmaANBBNAycxcc BFNBFAFNAF)5()4(fFFfFFNBBNAA) 1 (dd212rFrFtmrBA未知量NBNABAFFFF,33)1 (2)1 (d)1 ()1 (2d020200fgfrfttfrffgt積分未知量NBNABAFFFF,解得2221,1ffmgFfmgfFBA)1 ()1 (2dd2frfgft代入（1）式，得BFNBFAFNAF34解：受力分析xFyFQ 已知桿OA長為l，重為P?？衫@過O點(diǎn)的水平軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的A端用鉸鏈鉸接一半徑為R、重為Q的均

9、質(zhì)圓盤，若初瞬時(shí)OA桿處于水平位置，系統(tǒng)靜止。略去各處摩擦，求OA桿轉(zhuǎn)到任意位置（用角表示）時(shí)的角速度及角加速度。QP35取圓輪為研究對象，受力如圖，JA0因此，00，在桿下擺過程中，圓盤作平移運(yùn)動(dòng)分析QPxFyFQ求OA桿的角加速度研究整體,對O點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理)(tdd)(eizzFML36cos2332lgQPQP由上式解出cos2332ddlgQPQPt求OA桿的角速度2220333lgQPlgQlgPLcos22coscos2332lQPQllPlgQP應(yīng)用動(dòng)量矩定理QP寫出系統(tǒng)對O點(diǎn)的動(dòng)量矩37cos2332ddddddcos2332ddlgQPQPtlgQPQPt分離變量 dco

10、s2332dlgQPQPdcos2332d00lgQPQP積分sin332lgQPQP得 38CmiCririrCCCOLrL m對任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對 質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系。由動(dòng)量矩定理iiCiiCCCOFrrFrLrL)()(dddd mttiiiCCCCCCFrFrLrrtmtmtdddddd 39這表明，以質(zhì)點(diǎn)的相對速度或以絕對速度計(jì)算質(zhì)這表明，以質(zhì)點(diǎn)的相對速度或以絕對速度計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系對于質(zhì)心的動(dòng)量矩，其結(jié)果是相等的。點(diǎn)系對于質(zhì)心的動(dòng)量矩，其結(jié)果是相等的。質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量 ，有兩種定義式()CCi iii iLMm vrm v=邋vvvvv0 (0)i ii CCm rm rr

11、=邋vvvQCLv和()CCi irii irLMm vrm v=邋vvvvv()CCi iii ii iCi iirLMm vrm vm rvm rv=+邋邋vvvvvvvvv其中得Cii iii irLrm vrm v=邋vvvvvCmiCririrO40CmiCririrO這表明，質(zhì)點(diǎn)系對任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系隨質(zhì)心平移時(shí)對點(diǎn)O的動(dòng)量矩加上質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩。OCCCLrm vL=+vvvv()()OOi iii iCii iCi iii iLMm vrm vrrm vrm vrm v=+=+邋邋vvvvvvvvvvvvi iCm vm v=vv質(zhì)點(diǎn)系對任一點(diǎn)的動(dòng)量矩其中得4

12、1其中有得質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理Cii iii iCi iLrm vrm vrm v=-邋vvvvvvvddddddCiiii iiiCi iCiLvvvm vrmvm vrmttt=+-邋邋vvvvvvvvv(i )0iirF =vvdd,ddiiiiiiCiCivvrmrFrmrFtt創(chuàng)=邋邋vvvvvvvv0,0ii iCi ivm vvm v=邋vvvv(i )(e)ddCiiCiiiiiiiLrFrFrFtrFrF=-=+邋邋vvvvvvvvvvv由于最后得(e)(e)d()dCiiCiLrFMFt=邋vvvvv42 對于作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)

13、動(dòng)定理和相對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，得)()(dd)(CCC)(CeieiFJJtFmaM或)(dddd)(C22C)(2C2eieiMtJtmFFr剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程434kg的均質(zhì)板靜止懸掛。求：B點(diǎn)的繩或彈簧被剪斷的瞬時(shí)，質(zhì)心加速度各為多少。1.考慮第一種情況，作受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，如圖所示。AaCAanCAaAamgTC)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程44)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycxAaCAanCAaAamgTC初瞬時(shí)00ncAa又由(1)知acx0 則有25. 0coscosACaaacAcyc所以(4)聯(lián)立解(2)(3)(4)式 2m/s92. 61712,25. 01712gagc45初瞬時(shí)彈簧還未變形，彈簧力為mgT21mgT2.考慮第二種情況，受力分析如下，由(2)式得 9 . 42gaacycm/s2 )3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程46CFNmgaC00cossin)()()(eCCCyNeyCCxexMJmaFmgFmamamgFcos0sinmgFgaNC47RaFRJFmgFmaFmgFCCNeyCex0cossin)()(cossin31sin32sin32mgFmgF