多面體外接球教學(xué)資料

1、多面體外接球精品資料6.求多面體的外接球半徑一般需確定球心的位置；長(zhǎng)方體（正方體）的對(duì)角線是其外接球的直徑；將多面體“補(bǔ)”成長(zhǎng)方體（正方體）是研究多面體外接球的常用的辦法舉例1三棱錐P-ABC中，PA，平面ABC AB± BC 若 PA=AC= 2 ,貝U該三棱僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝5錐的外接球的體積是PB解析：思路一：“找球心”（到三棱錐 四個(gè)頂點(diǎn)距離相等等的點(diǎn)）。注意到 PC是 Rt / PAC?口 Rt / PBC的公共的斜邊，記它的中點(diǎn)為O,.1貝U OA=OB=OP=OPC=1,即該二棱錐2的外接球球心為0,半彳全為1,故它的體積為：43方法二：“補(bǔ)體

2、”，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖所示；它的對(duì)角線PC是其外接球 的直徑。舉例2正四棱錐P-ABCD勺五個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,若該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為2舵,則 這個(gè)球的表面積為 解析：正四棱錐P-ABCD勺外接球的球心在它的高PO上，記為 O, PO=AO=RPO=4, OO=R-4,或 OO=4-R （此時(shí) O在PO的延長(zhǎng)線上），在 Rt/AOO中，R2=8+（R-4） 2得R=3, 球的表面積S=36鞏固1如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6 cm2、4 cm2 和3cm2 ,那么它的外接球的體積是鞏固2 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該

3、球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是：（）（07高考陜西理6）(A) 3-3(B) 噂 (C).3(D)12遷移點(diǎn)P在直徑為2的球面上，過(guò)P兩兩垂直的3條弦，若其中一條弦長(zhǎng)是另 一條的2倍，則這3條弦長(zhǎng)之和的最大值是 8.球的內(nèi)接正多面體和外切正多面體的中心均為球心。球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，球的外切正方體的邊長(zhǎng)是球的直徑，與邊長(zhǎng)為a的正方體各6條棱都相切的球的直徑為72 a；邊長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為a12 1（正四面體圖的一）,外接球的半徑為 4.6a o4舉例已知棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD有內(nèi)切球O,經(jīng)過(guò)該棱錐A-BCD三側(cè)棱 中點(diǎn)的截面為，則O到平面的距離為。1，一、

4、解析：記棱錐 A-BCD的圖為AO1,。在AO1上且OO1= AO1; AO1與面 父4于 M , WJMO1 = AO1,故 MO= O01 = - AO1= - a24121.鞏固1P在面ABC上的射影為O,則OA=OB=OC=OP=R ,S ABCabsinC = 2abc4RVpabc 1 S ABC R 畫(huà)=10,故選 B;鞏固 2；2、鞏固450; 3、鞏 312固11 : 2;鞏固2B; 4、鞏固匿;5、鞏固3 : 16; 6、鞏固129,29，鞏固2C,遷移設(shè)三條弦長(zhǎng)分別為x,2x,y,則：x2+(2x)2+y2=4,用橢圓的參數(shù)方程求3x+y 的最大值為紅70; 7、鞏固B;

5、 8、鞏固C5四面體外接球的球心、半徑求法在立體幾何中，幾何體外接球是個(gè)?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)這是一個(gè)難點(diǎn)，一方面圖形不會(huì)畫(huà)，另一方面在畫(huà)出圖形的情況下無(wú)從下手，不知道球心在什么位置，半徑是多少而無(wú)法解題。本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問(wèn)題。、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體。2,22a b c【原理】：長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,則體對(duì)角線長(zhǎng)為Va2 b2 c2 ,幾何體的外接球直徑2R為體對(duì)角線長(zhǎng)l即R【例題】：在四面體ABCD中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為1 , V6,3,若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積解：

6、因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所以：四面體外接球的直徑為 AE的長(zhǎng)即：4R2 AB2 AC 2 AD2 c cc24R2 12 32 66 16 所以 R 2球的表面積為S 4 R2 16二、出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論。【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 O的球面上，AB BC且PA 7,PB 5, PC 兩,AC 10,求球。的體積。解：AB BC 且 PA 7, PB 5, PC 551 , AC 10, 2因?yàn)?2 屈 102所以知AC2 PA2 PC2， 一，P所以PA PC 所以可得圖形為：

7、入在Rt ABC中斜邊為AC在Rt PAC中斜邊為ACAB取斜邊的中點(diǎn)O ,一、在 Rt ABC 中 OA OB OCO在 Rt PAC 中 OP OB OC所以在幾何體中OP OB OC OA,即O為該四面體的外接球的球心 1所以該外接或勺體積為V43500-R 33R -AC 5【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。三、出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解設(shè)球心坐標(biāo)為O(x,y,z)則AO BO CODO ,由空間兩點(diǎn)間距離公式知222222x y z (x 2) y z2222z x y (z 2)2222：22x y z (x 1) (y 3) z解

8、得 x 1 y 3 z 13所以半徑為R卜爭(zhēng)1詈【結(jié)論】：空間兩點(diǎn)間距離公式:PQ ,(、x2)2 (yi 3 (zi z?)2四、四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn),精品資料根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為 a時(shí)，它的外接球半徑為 a0 45. （2012唐山模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖 是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為（）A 8b16兀C. 4V3D. 2V3 兀解析根據(jù)三視圖還原幾何體為一個(gè)如圖所示的三棱錐D -ABC,其中平面ADC，平面ABC, MDC為等邊三角形.取AC的中點(diǎn)為E,連接DE、BE,則有 DELAC,所以 DE

9、，平面 ABC,所以DE，EB.由圖中數(shù)據(jù)知 AE=EC=EB=1, DE = J3, AD = AE2+DE2 =2= DC = DB, AB=BC=V2, AC =2.設(shè)此三棱錐的外接球的球心為O,則它落在高線 DE上，連接 OA,則有 AO2 = AE2 + OE2=1 +OE2, AO=BO=DE-OE= V3-OE,所以AO = ,故球O的半徑為，3,故所求幾何體的外接球的表面積S= 4兀？3）2= "3"兀，故選B.答案B2012 廣州模擬一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直 底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積,9為9,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為 8答案:439解析：正六棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)h=8/3=#, 6盜 球心在六棱柱的最長(zhǎng)體對(duì)角線上,球的直徑、正棱柱的側(cè)棱、底面正六邊形的最長(zhǎng)對(duì)角線構(gòu)成 直角三角形,.-2R=cV3)2+12 = 2,.樂(lè)=1,.同球=鼻*兀xi3=.333. 2012 南昌模擬如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，