三角形的證明復(fù)習(xí)課

1、 三角形三角形的有關(guān)證明的有關(guān)證明復(fù)習(xí)課復(fù)習(xí)課在本章中你學(xué)到了什么？在本章中你學(xué)到了什么？w角的平分線角的平分線w通過探通過探索索, ,猜想猜想, ,計(jì)算和證計(jì)算和證明得到定明得到定理理與等腰三角形與等腰三角形, ,等邊三角形有關(guān)的結(jié)論等邊三角形有關(guān)的結(jié)論與直角三角形有關(guān)的結(jié)論與直角三角形有關(guān)的結(jié)論w命題的逆命題及其真假命題的逆命題及其真假w線段的垂直平分線線段的垂直平分線 全等三角形全等三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 1、會(huì)判定兩個(gè)三角形全等、會(huì)判定兩個(gè)三角形全等2 2、會(huì)用等腰三角形、等邊三角形、會(huì)用等腰三角形、等邊三角形直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明。直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明。3 3、

2、會(huì)用反證法證明命題的成立、會(huì)用反證法證明命題的成立. .4 4、會(huì)用線段垂直平分線、角平分線、會(huì)用線段垂直平分線、角平分線定理及其結(jié)論解決問題。定理及其結(jié)論解決問題。重點(diǎn)：重點(diǎn)：探索證明的思路和方法；探索證明的思路和方法；難點(diǎn)：難點(diǎn)：準(zhǔn)確地表達(dá)推理證明過程。準(zhǔn)確地表達(dá)推理證明過程。怎么證明幾何怎么證明幾何命題？命題？w證明命題的一般步驟證明命題的一般步驟:(1)理解題意理解題意:分清命題的條件分清命題的條件(已知已知),結(jié)論結(jié)論(求證求證);(2)根據(jù)題意根據(jù)題意,畫出圖形畫出圖形;(3)結(jié)合圖形結(jié)合圖形,用符號(hào)語言用符號(hào)語言寫出寫出“已知已知”和和“求證求證”;(4)分析題意分析題意,探索證

3、明思路探索證明思路(可以可以由由“因因”導(dǎo)導(dǎo)“果果”綜合法或者由綜合法或者由“果果”逆推逆推“因因”分析法分析法);(5)依據(jù)思路依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理清晰地條理清晰地寫出證明過程寫出證明過程;(6)檢查表達(dá)過程檢查表達(dá)過程是否正確是否正確,完善完善.知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形一般三角形一般三角形 全等的條件：全等的條件：1.1.定義（重合）法；定義（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的條件：的條件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不

4、包括其它形不包括其它形狀的三角形狀的三角形解題解題中常中常用的用的4 4種種方法方法分析：本題利用邊角邊公理證明兩個(gè)三角形全分析：本題利用邊角邊公理證明兩個(gè)三角形全等等.由題目已知只要證明由題目已知只要證明AFCE，AC例例1如圖如圖2，AECF，ADBC，ADCB，求證：求證： 說明：本題的解題關(guān)鍵是證明說明：本題的解題關(guān)鍵是證明AFCE，A C，易錯(cuò)點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是將是將AE與與CF直接作為對(duì)應(yīng)邊，而錯(cuò)誤地寫為：直接作為對(duì)應(yīng)邊，而錯(cuò)誤地寫為： 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳DBC ，（ ？ ）（ ？ ）例例2已知：如圖已知：如圖3，ABC A1B1C1，AD、A1D1分分別是別是ABC和和A1B1C1的高的高

5、.求證：求證：AD=A1D1圖圖3證明：證明：ABC A1B1C1（已知）（已知）AB=A1B1，B=B1（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）等）AD、A1D1分別是分別是ABC、A1B1C1的高（已知）的高（已知）ADB=A1D1B1= 90. 在在ABC和和A1B1C1中中B=B1（已證）（已證）ADB=A1D1B1（已證）（已證）AB=A1B（已證）（已證）ABC A1B1C（AAS）AD=A1D1（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線角平分線呢？12、如圖、如圖6，已知：，已知：A90， AB=BD，EDBC于于 D.求

6、證：求證：AEED 提示：找兩個(gè)全等三角形，需連結(jié)提示：找兩個(gè)全等三角形，需連結(jié)BE.圖圖6知識(shí)點(diǎn)一：等腰三角形的性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)一：等腰三角形的性質(zhì)定理性質(zhì)性質(zhì)：1、等腰三角形的、等腰三角形的 相等，即等邊對(duì)相等，即等邊對(duì) 2、等腰三角形的、等腰三角形的 、 、 互相重合；即互相重合；即“三線合一三線合一”3、等腰三角形兩底角的平分線等腰三角形兩底角的平分線 ，兩腰上的中，兩腰上的中 線線 ,兩腰上的高兩腰上的高 ；判定判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。即等角：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。即等角對(duì)對(duì) 。兩個(gè)底角兩個(gè)底角等角等角頂角平分線頂角平分線底邊上的中線底邊上的中線底邊上的高底

7、邊上的高等邊等邊相等相等相等相等相等相等F知識(shí)點(diǎn)二、等邊三角形性質(zhì)和判定定理知識(shí)點(diǎn)二、等邊三角形性質(zhì)和判定定理性質(zhì)定理性質(zhì)定理：等邊三角形的等邊三角形的 都相等，都相等， 都相等，并且每個(gè)角都等于都相等，并且每個(gè)角都等于 ；判定定理判定定理： 一個(gè)角等于一個(gè)角等于 的的 為等邊為等邊三角形。三角形。 三個(gè)內(nèi)角都為三個(gè)內(nèi)角都為 的三角形是等邊的三角形是等邊三角形。三角形。三條邊三條邊三個(gè)角三個(gè)角60等腰三角形等腰三角形6060ABCDEF已知：如圖，在等邊三角形已知：如圖，在等邊三角形ABC的三邊上分的三邊上分別取點(diǎn)別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得，使得AD=BF=CE.求證：求證：DEF是等邊三角形。是

8、等邊三角形。ABCDEF知識(shí)點(diǎn)三、與直角三角形有關(guān)的定理知識(shí)點(diǎn)三、與直角三角形有關(guān)的定理1、直角三角形的、直角三角形的 互余。互余。2、有兩個(gè)銳角、有兩個(gè)銳角 的三角形是直角三角形。的三角形是直角三角形。 3、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于那么它所對(duì)的直角邊等于 的的 ；4 、勾股定理：直角三角形、勾股定理：直角三角形 的平方和等的平方和等于于 的平方。的平方。5、 和和 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。形全等。( ) 6、勾股定理的逆定理：、勾股定理的逆定理： 兩銳角兩銳角互余互余斜邊斜邊一半一半斜邊斜邊一直

9、角邊一直角邊HL兩條兩條直角邊直角邊斜邊斜邊如果三角形兩邊的平方和如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。這個(gè)三角形是直角三角形。1、如下圖,在 ABC中， ACB=900， A=300，CD AB于點(diǎn)D,試著推導(dǎo)出BD與AD的數(shù)量關(guān)系。ABCD2、如圖，已知ACB=BDA=900,要使ACB BDA，還需要添加什么條件？請(qǐng)你選擇其中的一個(gè)加以證明。知識(shí)點(diǎn)四、反證法知識(shí)點(diǎn)四、反證法反證法的步驟是什么？反證法的步驟是什么？第一步是假設(shè)命題結(jié)論不成立；第一步是假設(shè)命題結(jié)論不成立；第二步是推導(dǎo)，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理第二步是推導(dǎo)，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得

10、出與定義、基本事實(shí)、已有的定理或得出與定義、基本事實(shí)、已有的定理或者已知條件相矛盾的結(jié)果。者已知條件相矛盾的結(jié)果。第三步是下結(jié)論，得出假設(shè)命題不成立第三步是下結(jié)論，得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證命題成立。是錯(cuò)誤的，即所求證命題成立。 求證：等腰三角形的底角必為銳角。求證：等腰三角形的底角必為銳角。A已知：ABC中，AB=AC。求證：B. C均為銳角BC 我思考我思考, ,我進(jìn)步我進(jìn)步w定理定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等距離相等. .wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一點(diǎn)意一點(diǎn)( (已知已知)

11、,),wPA=PB(PA=PB(線段垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等相等).).ACBPMNw逆定理逆定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這條在這條線段的垂直平分線上線段的垂直平分線上. .w如上圖如上圖, ,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w點(diǎn)點(diǎn)P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上( (到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)離相等的點(diǎn), ,在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上).).知識(shí)點(diǎn)五：線段垂直平分線定理定理: :三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)三角形

12、三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn), ,并并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. .如圖如圖, ,在在ABCABC中中, ,c,a,bc,a,b分別是分別是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平的垂直平分線分線, ,c,a,bc,a,b相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn)P,P,且且PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三條邊的垂直平三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)分線相交于一點(diǎn), ,并且這一點(diǎn)到三并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等個(gè)頂點(diǎn)的距離相等).). A AB BC CP Pa ab bc c2.2.如圖如圖, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=27,ABAC=27,AB的垂

13、直平的垂直平分線交分線交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E,E,BCEBCE的周長(zhǎng)等的周長(zhǎng)等于于50,50,求求BCBC的長(zhǎng)的長(zhǎng). . BAEDC3.3.如圖所示，在如圖所示，在ABCABC中，中，B B22.522.5,AB,AB的垂直平的垂直平分線交分線交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，DFACDFAC于點(diǎn)于點(diǎn)F,F,并與并與BCBC邊上的高邊上的高AEAE交交于于G. G. 求證：求證：EGEGEC. EC. 1如圖如圖S11，在，在ABC中，中，DE垂垂直平分直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，則，則BCE_.5050 知識(shí)點(diǎn)六：角平分線w定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩

14、邊距離相等. OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PDOA,PEOB,垂足分別是D,E. PD=PE.OCB1A2PDEw逆定理 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.w如圖,wPA=PB, PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知),w點(diǎn)P在AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).如圖,AN,CM,BO分別是ABC的角平分線PDAB,PEBC,PFAC,AN,BO,CM交于P點(diǎn), PD=PE=PF.1、如圖、如圖S18，ADBC，點(diǎn)，點(diǎn)E在線段在線段AB上，上，ADECDE，DCEECB.求證：求證：CDADBC.圖S18解析解析 結(jié)論是結(jié)論是CDADBC，可考，可考慮用慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的中的“截長(zhǎng)截長(zhǎng)”，即，即在在CD上截取上截取CFCB，只要再證，只要再證DFDA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問題的目的的問題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問題的目的圖圖S19證明：在證明：在CD上截取上截取CFBC，如圖，如圖S19，在在FCE與與BCE中，中，F(xiàn)CE BCE(SAS)，21.ADBC，ADC+BCD180.又又ADECDE，DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE與與ADE中，中，F(xiàn)DE ADE(ASA)，DFDA.CD