通信原理課件第2章

1、西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)本章要求本章要求一、隨機(jī)過程的基本概念一、隨機(jī)過程的基本概念二、平穩(wěn)隨機(jī)過程二、平穩(wěn)隨機(jī)過程三、高斯隨機(jī)過程三、高斯隨機(jī)過程四、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)四、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)五、窄帶隨機(jī)過程五、窄帶隨機(jī)過程六、正弦波加窄帶高斯過程六、正弦波加窄帶高斯過程七七.白噪聲和帶限白噪聲白噪聲和帶限白噪聲西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)隨機(jī)過程的基本概念和數(shù)字特征（均值、方差、隨機(jī)過程的基本概念和數(shù)字特征（均值、方差、相關(guān)函數(shù)）；相關(guān)函數(shù)）；平穩(wěn)、高斯、窄帶、正弦波加窄帶高斯過程的平穩(wěn)、高斯、窄帶、正弦波加窄帶高斯過程的統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系

2、統(tǒng)高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)一、隨機(jī)過程的基本概念一、隨機(jī)過程的基本概念1 1隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的定義: : 無窮多個(gè)樣本函數(shù)的集合構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程，無窮多個(gè)樣本函數(shù)的集合構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程，記為記為( (t t) )。 其屬性：其屬性： ( (t t) )是一個(gè)時(shí)間函數(shù)；是一個(gè)時(shí)間函數(shù)； 在某一觀察時(shí)刻在某一觀察時(shí)刻t t1 1 上，全體樣本在上，全體樣本在t t1 1 時(shí)刻時(shí)刻 的取值的取值( (t t1 1 ) ) 是一個(gè)隨機(jī)變量。是一個(gè)隨機(jī)變量。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)2 2分布函數(shù)和概率密度分布函數(shù)和概率密度 設(shè)設(shè) 表示一個(gè)

3、隨機(jī)過程，在任意給定的時(shí)刻表示一個(gè)隨機(jī)過程，在任意給定的時(shí)刻t t1 1 T，t t1 1其取值，其取值， 是一個(gè)一維隨機(jī)變量，是一個(gè)一維隨機(jī)變量，則則 小于或等于某一數(shù)值小于或等于某一數(shù)值 x x1 1 的概率的概率 叫做隨機(jī)過程叫做隨機(jī)過程 的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。如果存在如果存在 則稱則稱 為為 的一維概率密度，維數(shù)的一維概率密度，維數(shù)n n越越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分。大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(),(11111xtPtxF),(),(1111111txfxtxF),(111txf)(t)(t)(t)(1t)(1t3 3

4、 . . 數(shù)字特征數(shù)字特征 均值（數(shù)學(xué)期望）均值（數(shù)學(xué)期望） 它表示隨機(jī)過程的它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。 方差方差 它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值對(duì)于均值a(t)的偏離程度。的偏離程度。當(dāng)當(dāng)a(t)=0時(shí)，方差時(shí)，方差 。 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(),()(1tadxtxxftE )()()()()()(2222ttatEtatEtD )()(22tEt （3）相關(guān)函數(shù)）相關(guān)函數(shù) 描述隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻的隨機(jī)變量之間描述隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻的隨機(jī)變量之間的 關(guān) 聯(lián) 程 度 時(shí) ， 常 用 相 關(guān) 函 數(shù)的 關(guān) 聯(lián)

5、 程 度 時(shí) ， 常 用 相 關(guān) 函 數(shù) 或或 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù) 來表示：來表示： 若若 。 若若 令令 則則 可表示為可表示為 這說明，相關(guān)函數(shù)是起始時(shí)刻這說明，相關(guān)函數(shù)是起始時(shí)刻t1 和和 的函數(shù)。的函數(shù)。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)),(21ttR),(21ttB2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR )()()()(),(221121tattatEttB)()(),(2121tatattR則或, 0)(0)(21tata),(),(2121ttRttB,12tt,12tt),(21ttR),(11ttR二、平穩(wěn)隨機(jī)過程二、平穩(wěn)隨機(jī)過

6、程 1 .平穩(wěn)性平穩(wěn)性 （1）狹義平穩(wěn)：對(duì)任意的）狹義平穩(wěn)：對(duì)任意的n和和h，隨機(jī)過程，隨機(jī)過程 的的n維概率密度函數(shù)滿足維概率密度函數(shù)滿足西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(t),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn 則稱則稱 是平穩(wěn)隨機(jī)過程。含義：隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。含義：隨機(jī)過程 的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，即當(dāng)取樣的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，即當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過程的所有點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)不變。且有有限維分布函數(shù)不變。且有 一維分布則與時(shí)間一維分布則與時(shí)間t t無關(guān)：無關(guān)： 二維

7、分布只與二維分布只與有關(guān)有關(guān)： 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(t)(t)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf （2 2）廣義平穩(wěn)：若隨機(jī)過程）廣義平穩(wěn)：若隨機(jī)過程 的數(shù)學(xué)期望與的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔時(shí)間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，有關(guān)，即即 則稱則稱 廣義平穩(wěn)。廣義平穩(wěn)。 注意注意：狹義平穩(wěn)一定是廣義平穩(wěn)的，反之不：狹義平穩(wěn)一定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。一定成立。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(t)(),()(11RttRata)(t西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué) 2. 各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）各態(tài)歷經(jīng)性（遍

8、歷性） 設(shè)設(shè) 是平穩(wěn)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程 的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為 如果平穩(wěn)過程如果平穩(wěn)過程 依概率依概率1使下式成立使下式成立 )(tx2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)(t)()(RRaa 則稱平穩(wěn)過程則稱平穩(wěn)過程 具有各態(tài)歷經(jīng)性。具有各態(tài)歷經(jīng)性?！案鲬B(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）都經(jīng)歷含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，欲求過程的數(shù)了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，欲求過

9、程的數(shù)字特征，無需作無限多次的觀察，只需做一次觀察，字特征，無需作無限多次的觀察，只需做一次觀察，用用 時(shí)間平均值時(shí)間平均值 代替代替 統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)平均值 即可，從而使計(jì)算即可，從而使計(jì)算大為簡(jiǎn)化。大為簡(jiǎn)化。 注意注意：各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)過程，反之：各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。不一定成立。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(t3 . 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)設(shè) 為實(shí)平穩(wěn)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)為實(shí)平穩(wěn)過程，則它的自相關(guān)函數(shù) 具有如下主要性質(zhì)：具有如下主要性質(zhì)：（1） 平均功率（2） 直流功率（3） 當(dāng)均值為當(dāng)均值為0時(shí)，有時(shí)，有 （4） 的偶函數(shù) （5）

10、 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(t)()()(ttERStER)()0(2)()(2tER()()0(2方差）交流功率 RR2)0(R)()(RR)()0()(的上界RRR)(t)(t 4. 頻譜特性頻譜特性 隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的?？梢宰C明：平穩(wěn)過程的功率譜密度的。可以證明：平穩(wěn)過程的功率譜密度 和自和自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系：即是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系：即 簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記 時(shí)域時(shí)域 頻域頻域 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 平均功率平均功率西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(P)(RdePRdeRPjj)(21)()()()(

11、)(PR0dffPdPR)()(21) 0 ( 功率譜密度功率譜密度 性質(zhì)：性質(zhì)： （1） ，非負(fù)性，非負(fù)性 （2） ，偶函數(shù)，偶函數(shù) 歸納：歸納： 滿足滿足 平穩(wěn)平穩(wěn) 性質(zhì)性質(zhì)西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(P0)(P)()(PP)(t各態(tài)經(jīng)歷：時(shí)間平均各態(tài)經(jīng)歷：時(shí)間平均 統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均)()(PR時(shí)域時(shí)域 頻頻 域域)(R三、高斯隨機(jī)過程三、高斯隨機(jī)過程 1 1 定義：定義： 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程 的任意的任意n n維（維（n=1,2,.n=1,2,.）分布都）分布都服從正態(tài)，則稱它為高斯過程。服從正態(tài)，則稱它為高斯過程。 2 2 重要性質(zhì)：重要性質(zhì)： （1 1）若高斯過程是廣義平穩(wěn)

12、的，則也是狹義平穩(wěn)）若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的；的；西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(t （2 2）若高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相）若高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相 關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的； （3 3）若干個(gè)高斯過程的代數(shù)和的過程仍是高）若干個(gè)高斯過程的代數(shù)和的過程仍是高 斯型；斯型； （4 4）高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)） 后的過程仍是高斯型后的過程仍是高斯型。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué) 3. 一維概率密度和正態(tài)分布函數(shù)一維概率密度和正態(tài)分布函數(shù) 高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)高斯隨機(jī)高斯過程在任一

13、時(shí)刻上的取值是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為 式中式中 a 、 分別為期望，方差。分別為期望，方差。 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)222)(exp21)(axxf2曲線如圖曲線如圖：21西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)圖圖2-1 正態(tài)分布的概率密度正態(tài)分布的概率密度 的特性如下：的特性如下： （1）對(duì)稱于）對(duì)稱于 的直線的直線 （2） 圖圖1 和和 （3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示集中程度，表示集中程度， 圖圖 形形 將隨著將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)?shù)臏p小而變高和變窄。當(dāng) 時(shí)，稱時(shí)，稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密

14、度函數(shù)。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(xfax 1)(dxxfaadxxfdxxf21)()()(xf1,0a)(xf正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù) 引入：誤差函數(shù)引入：誤差函數(shù) 它是自變量的遞增函數(shù)：它是自變量的遞增函數(shù)： ， 且且西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)dzazxPxFx222)(exp21)()(dtexerfxt022)(0)0(erf1)(erf)()(xerfxerf 互補(bǔ)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù) 它是自變量的遞減函數(shù)：它是自變量的遞減函數(shù)： ， 且且 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)dtexerfxerfcxt22)(1)(1)0(erfc0)(erfc)(2)(xerfcx

15、erfc 作變量代換，令作變量代換，令 ，有，有 則分布函數(shù)則分布函數(shù)F(x)可用誤差函數(shù)表示，它簡(jiǎn)明的可用誤差函數(shù)表示，它簡(jiǎn)明的 特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)2/ )(aztdtdz2四、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)四、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 設(shè)線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為設(shè)線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為 輸入隨機(jī)過程為輸入隨機(jī)過程為 ，則輸出隨機(jī)過程，則輸出隨機(jī)過程 若輸入有界且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則若輸入有界且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則 或或 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))()(Hth)(tidththttii)()()()()(0

16、dthtti)()()(000)()()(dthti 利用以上關(guān)系可以證明：利用以上關(guān)系可以證明： （1） 若輸入若輸入 平穩(wěn)，則輸出平穩(wěn)，則輸出 也平穩(wěn)，且也平穩(wěn)，且 有有西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(ti)(0t)(E) 0 ()(EOtHti （2 2） （3 3）若輸入若輸入 高斯過程，則輸出高斯過程，則輸出 也是高斯過程。即高斯過程經(jīng)線性也是高斯過程。即高斯過程經(jīng)線性 后的過程仍為高斯型。后的過程仍為高斯型。 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))()()(i20PHP)(ti)(0t五、窄帶隨機(jī)過程五、窄帶隨機(jī)過程其頻譜和樣本如圖其頻譜和樣本如圖 （a）西安電子科技大學(xué)西安電子科

17、技大學(xué)圖圖2-2 2-2 窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶過程的頻譜和波形示意西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué) 窄帶過程窄帶過程 可表示為可表示為 等價(jià)式等價(jià)式 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)0ccfff窄帶)(t0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()( 其中其中 同相分量同相分量 正交分量正交分量 結(jié)論結(jié)論1：一個(gè)均值為零，方差為：一個(gè)均值為零，方差為 的平穩(wěn)高斯的平穩(wěn)高斯窄帶過程窄帶過程 ，它的同相分量，它的同相分量 正交分量正交分量 同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差也相同。也相同。西安電子科技大學(xué)西

18、安電子科技大學(xué))(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats2)(tc)(ts 即：即： 且且 （互不相關(guān)或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）（互不相關(guān)或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立） 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)0)()()(tEtEtEsc222sc0)0(SCR 結(jié)論結(jié)論2 ：一個(gè)均值為零，方差為：一個(gè)均值為零，方差為 的平穩(wěn)高斯的平穩(wěn)高斯窄帶過程窄帶過程 ，其，其 包絡(luò)包絡(luò) 瑞利分布：瑞利分布： 相位相位 均勻分布：均勻分布： 且且 （統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）（統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)2)0( ,2exp)(222aaaaf)20(,21)(f)(ta)(t)()(),(fafaf六、正弦波加窄帶高斯過程六、正

19、弦波加窄帶高斯過程 信號(hào)在傳輸過程中總會(huì)受到噪聲的影響，信號(hào)在傳輸過程中總會(huì)受到噪聲的影響，接收信號(hào)往往是信號(hào)與噪聲的合成波。正弦波接收信號(hào)往往是信號(hào)與噪聲的合成波。正弦波加窄帶高斯噪聲是通信系統(tǒng)中常見的一種情況。加窄帶高斯噪聲是通信系統(tǒng)中常見的一種情況。 設(shè)合成信號(hào)為設(shè)合成信號(hào)為西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))()cos()(tntAtrc 式中式中 ， 為窄帶高斯為窄帶高斯噪聲，其均值為零；正弦波的振幅噪聲，其均值為零；正弦波的振幅A和頻率和頻率 均為常數(shù)，均為常數(shù)， 在在 上均勻分布，則上均勻分布，則西安電子科技大西安電子科技大學(xué)學(xué)ttnttntncsccsin)(cos)()(c)(

20、cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc 式中式中 合成信號(hào)合成信號(hào) 的包絡(luò)和相位分別為的包絡(luò)和相位分別為 西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))(sin)()(cos)(tnAtztnAtzsscc)(tr)20(,)()()(0,)()()(122tztztgtztztztzcssc 可以證明：包絡(luò)可以證明：包絡(luò) 服從廣義瑞利分布，也稱萊斯服從廣義瑞利分布，也稱萊斯分布。其概率密度函數(shù)為分布。其概率密度函數(shù)為 式中，式中， 是零階修正貝塞爾函數(shù)，當(dāng)是零階修正貝塞爾函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 是單調(diào)上升函數(shù)，且有是單調(diào)上

21、升函數(shù)，且有 。如果。如果A=0,則上式變?yōu)槿鹄植?。則上式變?yōu)槿鹄植?。西安電子科技大西安電子科技大學(xué)學(xué))(tz0)(21exp)(202222zAzIAzzzf)(0 xI0 x)(0 xI1)0(0I七七. .白噪聲和帶限白噪聲白噪聲和帶限白噪聲 1. 白噪聲白噪聲 定義：在整個(gè)頻域內(nèi)，功率譜密度是一個(gè)常數(shù)。定義：在整個(gè)頻域內(nèi)，功率譜密度是一個(gè)常數(shù)。 式中式中 為一常數(shù)，單位是（瓦為一常數(shù)，單位是（瓦/赫）。赫）。 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué))/(2)(0HzWnP0n)(2)(0nR圖圖2-3 白噪聲的譜密度和自相關(guān)函數(shù)白噪聲的譜密度和自相關(guān)函數(shù)西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué) 討論討論： 白噪聲只有在白噪聲只有在 （同一時(shí)刻）時(shí)才（同一時(shí)刻）時(shí)才相關(guān)，而在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是不相關(guān)，而在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。相關(guān)的。