7第6講雙曲線

1、第6講雙曲線理教材T尊雙基教材回顧,基礎(chǔ)官測(cè)1 .雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|FiF2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.集合P=M|MFi|MF2|=2a,|FiF2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.(1)當(dāng)2a<|FF2l時(shí),P點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(2)當(dāng)2a=|FFzl時(shí),P點(diǎn)的軌跡是兩條射線.(3)當(dāng)2a>-1臼時(shí),P點(diǎn)不存在.2 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程xyb=1(a>0,b>0)22上A1(a>0,b>0)圖形4性質(zhì)范圍x&

2、gt;a或xwa,yCRywa或y>a,xCR對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)Ai(a,0),A2(a,0)Ai(0,a),A2(0,a)漸近線y=套離心率e=c,eC(1,+8)a實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|=2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|BiB2|=2b;a叫做雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的半虛軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)3.等軸雙曲線及性質(zhì)(1)等軸雙曲線：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫作等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫作:x2y2=乂f0).(2)等軸雙曲線？離心率e=亞？?jī)蓷l漸近

3、線y=女相互垂直.導(dǎo)師提醒關(guān)注雙曲線的幾個(gè)常用結(jié)論1 .雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.2 .若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PFi|min=a+c,|PF2|min=C-a.2b23 .同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦），其長(zhǎng)為異支的弦中a最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a.4 .設(shè)P,A,B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線PA,PBb2斜率存在且不為。，則直線PA與PB的斜率之積為了5 .P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),1貝USAPFiF2=b2-,其中。為/FiPF2.etanV診

4、斷自測(cè)O判斷正誤（正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”）平面內(nèi)到點(diǎn)Fi（0,4）,F2（。，一4）距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.（）（2）橢圓的離心率eC（。，i）,雙曲線的離心率eC（i,十8）.（）22方程Hi（mn。）表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.（）（4）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于血.（）答案：（i）X（2），（3）X（4）V園（教材習(xí)題改編）雙曲線2x2y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是（）A. 2B.2V2C. 4D.4.222解析：選C.雙曲線2x2y2=8的標(biāo)準(zhǔn)方程為21=i,故實(shí)軸長(zhǎng)為4.心（教材習(xí)題改編）雙曲線方程x2-2y2=i,則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.箕。C.D.

5、(.3,°)解析：選C.因?yàn)樵匠炭苫癁槎?1,112所以a2=1,b2=2,所以c2=a2+b2=|,所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為堂a220若方程y=1表示雙曲線，則m的取值范圍是.2+mm+122解析：因?yàn)榉匠蘺=1表示雙曲線，所以（2+m）（m+1）>0,即m>1或m<2+mm+1-2.答案：m>-1或m<-222圖設(shè)P是雙曲線急一20=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9,則|PF2|=.解析：由題意知|PF1|=9<a+c=10,所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF|+8=17

6、.答案：17國(guó)以橢圓W+E=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為.43解析：設(shè)要求的雙曲線方程為與3=1（a>0,b>0）,由橢圓3+4=1,得焦點(diǎn)為（土，ab430）,頂點(diǎn)為（g0）.所以雙曲線的頂點(diǎn)為（土，0）,焦點(diǎn)為（立，0）.所以a=1,c=2,所以b2=c2a2=3,所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y:=1.3答案：x2-y-=1析考點(diǎn),3分類講解化解疑煌_1M1M-一>-*考點(diǎn)*雙曲線白勺定義（多維探究）c角度一利用定義求軌跡方程例1已知圓C1：（x+3）2+y2=1和圓C2:（x-3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.【解析

7、】如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓Ci及圓C2分別外切于A和廠卡B.根據(jù)兩圓外切的條件，得，|MCi|-|ACi|=|MA|:二'''三/|MC2|BC2|=|MB|,因?yàn)閨MA|=|MB|,所以|MCi|-|ACi|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|MCi|=|BC2|ACi|=2,所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)Ci、C2的距離的差是常數(shù)且小于CiC2|=6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與Ci的距離小)，其中a=i,c=3,則b2=8.2故點(diǎn)M的軌跡方程為x2-y=i(x<-i).82【答案】x2-y-=i(x<-i)8口角度二利用定

8、義解決“焦點(diǎn)三角形”問(wèn)題H3已知Fi,F2為雙曲線C:x2y2=2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PFi|=2|PF2|,貝Ucos/FiPF2=.【解析】由雙曲線的定義有|PFi|-|PF2|=|PF2|=2a=2V2,所以|PFi|=2|PF2|=4.2,|PFi|2+|PF22一|FiF2|2貝Ucos/FiPF2=2|PFi|PF2|(42)2+(2業(yè)2423=FF=一一2X4.2X2-243【答案】34遷移探究i(變條件)將本例中的條件“|PFi|=2|PF2|"改為“/FiPF2=60°”，則F1PF2的面積是多少？解：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PFi|-|P

9、F2|=2a=2V2,在45滬52中，由余弦定理，得|PFi|2+|PF2|2-|FiF2|21cosZF1PF2=弓,2|PFi|PF2|2所以|PFi|PF2|=8,，一.1所以SzTiPF2=2|PFi|PF2|sin60=273.遷移探究2(變條件)將本例中的條件“|PFi|=2|PF2|"改為“pFi蘇2=0”，則FPF2的面積是多少？解：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PFi|PF2|=2a=2而，由于靛蘇2=0,所以pFiJpF2,所以在4552中，有222|PFi|+|PF2|=|FiF2|,即|PFi|2+|PF2|2=i6,所以|PFi|PF2|=4,i所以SzT

10、iPF2=2|PFi|PF2|=2.c角度三利用定義求解最值問(wèn)題22例國(guó)若雙曲線器一點(diǎn)一的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(i,4),則|PF|十|PA|的最小值是()A.8B.9C.i0D.i222【解析】由題意知，雙曲線寧一12=i的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(一4,0),設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B,則B(4,0),由雙曲線的定義知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|>4+AB|=4+q(4-D2+(04)2=4+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,B三點(diǎn)共線且P在A,B之間時(shí)取等號(hào).所以|PF|十|PA|的最小值為9.【答案】B雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，

11、進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程.(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PFi|PF2|=2a,運(yùn)用平方的方法，建立|PFi|與|PF2|的關(guān)系.提醒在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支.變式訓(xùn)練:1 .設(shè)雙曲線x2、=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi,F2,P是雙曲線上的一點(diǎn)，且|PFi|:|PF2|=3：4,8則PF1F2的面積等于()A.10#B.873C. 8.5D,16.5解析：選C.依題意|F1F2|=6,|PF2|PF1|=2,因?yàn)閨PF1|：昨|=3:4,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等

12、腰三角形PF1F2的面積S=2x8X62!?=875.2. 4ABC的頂點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是.解析：如圖，4ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為G,E,F.|AG|=|AE|=8,|BF|=|BG|=2,|CE|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.2根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為亳一92擾1(x>3).22答案：3=1(x>3)23. (2019福建福州模擬)已知F是雙曲線C：x2一1=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,646).當(dāng)APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為

13、.解析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為Fi,連接PFi.由雙曲線方程x21=1可知，a=1,c=3,8故F（3,0）,Fi（-3,0）.當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF|-|PFi|=2,所以|PF|=|PFi|+2,從而APF的周長(zhǎng)為|AP|+|PF|+|AF|=|AP|十|PFi|+2+|AF|.因?yàn)閨AF|=.32+（6乖）2=15為定值，:所以當(dāng)AP|十|PFi|最小時(shí)，/MPF的周長(zhǎng)最小.-力注F由圖象可知，此時(shí)點(diǎn)P在線段AFi與雙曲線的交點(diǎn)處（如圖,所示）.由題意可知直線AFi的方程為y=246x+6，6,y=2>/6x+6乖,2x2-y"=i,得y2+6

14、71;6y-96=0,解得y=2，6或y=-8/6（舍去），所以Szapf=SZAFiF-SZPFiFii-=2X6X66-26X2/6=i276.答案：i26考點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（師生共研）X22.A.4-y=i22xy“/-A例M（一題多解）（i）與橢圓亍+y2=i共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P（2,i）的雙曲線方程是（）x22.Bqy=iD. x2-y-=i2（2）若雙曲線的漸近線方程為y=gx,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,也），則雙曲線的方程為.【解析】（i）法一：橢圓、+y2=i的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（班，0）.設(shè)雙曲線方程為x2-2=4abi（a>0,b>0）,所以？一$=i,a2+b2=3,解得a2=2,

15、b2=i,所以所求雙曲線方程是2y2=i.22法二：設(shè)所求雙曲線方程為，+'一=1(1<«4),將點(diǎn)P(2,1)的坐標(biāo)代入可得4一人1一人1=1,解得42(甘一2舍去)，所以所求雙曲線方程為1一入X22萬(wàn)y=1.,一八、1(2)法一：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=弓x,所以可設(shè)雙曲線的方程為x2-4y2=K芹0).因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4,3),所以入=16-4X(/3)2=4,2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為X4-y2=1.1法一：因?yàn)闈u近線y=x過(guò)點(diǎn)(4,2),而43<2,11所以點(diǎn)(4,。3)在漸近線y=x的下萬(wàn)，在y=x的上萬(wàn)(如圖).22所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)

16、雙曲線方程為石=ab1(a>0,b>0).12'；a=由已知條件可得aMfa2=4,解得2b=1,x22所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=1.2【答案】(1)B(2)4-y2=1律方求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的答題模板(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線今y2=1共漸近線的方程可設(shè)為x2-y2=N/0)；abab若雙曲線的漸近線方程為y=£,則雙曲線的方程可設(shè)為2-2=0)；aab若雙曲線過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)，則雙曲線的方程可設(shè)為變式訓(xùn)練:1.過(guò)雙曲線C:22£一1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A,O兩點(diǎn)

17、（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則雙曲線C的方程為()2xA.1C.2y-=1122y=12xB.一一722y-=19D.x1242y=1解析：選A.因?yàn)闈u近線y=：x與直線x=a交于點(diǎn)人(2,功”=4且4(4a)2+b2=4,22x+y=1(mn<0)或mx2+ny2=mn6也7）,所以9m+28n=1,解得l72m+49n=1,1m=-75,1n=2?故所求雙曲線方程為2575=1.答案:25753.焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10,且與雙曲線2y-x2=1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程42解析：設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：一x2=XQ0）,22xy即匚=1,則有4人十仁25,解入4人得Q5,所以所求雙曲線

18、的標(biāo)準(zhǔn)方程為既太=1.52022答案Xt2r1考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)（多維探究）G角度一求雙曲線的焦點(diǎn)（距卜實(shí)、虛軸長(zhǎng)22解得a2=4,b2=12,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為'1=1.2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,2幣）,Q（6乖，7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為P(3,2mQ(-例5已知離心率為W5的雙曲線C:發(fā)一y22ab=1(a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,解析：設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1（mn<0）,因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OMLMF2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$OMF2=16,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是（）A. 32B.16C.84D.4【解析】由

19、題意知F2（c,0）,不妨令點(diǎn)M在漸近線y=bx上，由題意可知|F2M1=5=絲=a/a2+b2=b,所以|OM|=c2b2=a3SzT>MF2=16,可得2ab=16,即ab=32,又a2+b2=c；|4,所以a=8,b=4,c=4弧所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B.口角度二求雙曲線的漸近線方程2222例（1）（2019武漢調(diào)研）已知雙曲線C：m2y2=1（m>0,n>0）的離心率與橢圓2+木;1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為（）A.4x±3y=0B. 3x±4y=0C. 4x±3y=0或3xi4y=0D. 4x±5y=

20、0或5xi4y=022（2）過(guò)雙曲線皋p=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)F作圓O:x2+y2=a2的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,雙曲線左頂點(diǎn)為C,若/ACB=120°,則雙曲線的漸近線方程為（）A.y=±73xB.y=±7-xC.y=班x【解析】（1）由題意知，橢圓中a=5,b=4,所以橢圓的離心率所以雙曲線的離心率為1+2=5，所以：=4，所以雙曲線的漸近線方程為y=事III3III3III=gx,即4xi3y=0.故選A.（2）如圖所示，連接OA,OB,22設(shè)雙曲線x2£=1(a>0,b>0)的焦距為2c(c>0),則C(-a

21、,0),F(-c,0).ab1 1由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則/ACO=/BCO=2CB=2X120°=60°.因?yàn)閨OA|=|OC|=a,所以ACO為等邊三角形，所以ZAOC=60°.因?yàn)镕A與圓O切于點(diǎn)A,所以O(shè)ALFA,在RtMOF中，ZAFO=90°士AOF=90°-60°=30°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b="xjc2a2=(2a)2a2=事a,22故雙曲線，=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x,即y=N§x.【答案】(1)A(2)Ac角

22、度三求雙曲線的離心率(或范圍)例(1)(2019惠州*II擬)已知雙曲線C：x-y2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x,ab2則雙曲線C的離心率為()53A.yB.-2C.2D.5(2)(2018高考全國(guó)卷出)設(shè)Fi,F2是雙曲線C:與y2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)，Oab是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PFi|=46|OP|,則C的離心率為()A.V5B.2C.3D.2【解析】(1)由題意得，雙曲線C的漸近線方程為y=±bx,彳#b='又a2+b2=c2,aa2所以5a2=4c2,所以e=c=坐，故選A.a2(

23、2)不妨設(shè)一條漸近線的方程為y=bx,則F2至1Jy=bx的距離d=&cL=b，在RtAFzPOaa山（2019河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬）設(shè)雙曲線C:多一3=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為abF,直線4x3y+20=0過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P,O為原點(diǎn)，|OP|=|OF|,則雙曲線C的離心率為（）A.5+仔中，|F2O|=c,所以|PO|=a,所以|PFi|=46a,又|FiO|=c,所以在aFiPO與Rtk2PO中，根據(jù)余弦定理得cosZPOF1=a+C(6a)=_cosZPOF2=-a,即3a2+c2-(J6a)2=0,2acc得3a2=c；所以e=看=

24、3.【答案】(1)A(2)C與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略（1）求雙曲線的離心率（或范圍）：依據(jù)題設(shè)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得.（2）求雙曲線的漸近線方程：依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a,b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程.（3）求雙曲線方程：依據(jù)題設(shè)條彳%求出a,b的值或依據(jù)雙曲線的定義，即可求雙曲線的方程.求雙曲線焦點(diǎn)（焦距）、實(shí)虛軸的長(zhǎng)：依題設(shè)條件及a,b,c之間的關(guān)系求解.變式訓(xùn)練:1.（2019山東青島模擬）直線l:x-2y5=0過(guò)雙曲線$2=1（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)ab且與其一條漸近線平行，則該雙曲線的

25、方程為（）x2y2x2_y2_>12吟-y2=1A.2o-5=B'520=D.x2-y-=14解析：選A.根據(jù)題意，令y=0,則x=5,即c=5.又b=所以a2=20,b2=5,所以a22 2雙曲線的方程為77-y=1.205c.3D.5解析：選A.根據(jù)直線4x3y+20=0與x軸的交點(diǎn)F為(5,0),可知半焦距c=5,設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F2,連接PF2,根據(jù)|OF2|=|OF|且|OP|=|OF|可得，APFFz為直角三角形,MFF2|2TPF2|2=6,故結(jié)合雙曲線的定義可知1PF2L|pF|=2a=2,所以a=1,故e=a=5.故選A.223 .設(shè)雙曲線京一#=1(a&g

26、t;0,b>0)的右焦點(diǎn)是F,左、右頂點(diǎn)分別是Ai,A2,過(guò)F作AqB.的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn).若AiB±A2C,則該雙曲線的漸近線方程為()“,1A.y=12xC.y=±xD.y=±/2x解析:選C.如圖,不妨令B在x軸上方，因?yàn)锽C過(guò)右焦點(diǎn)F(c,直于x軸,所以可求得B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又Ai,A2的坐標(biāo)分別為(一a,0),(a,0).0),且垂c,-b2.廣b!所1以AiB=g+a,aJ,A2C=ca,一因?yàn)锳1BIA2C,所以AiBA2c=0,b2b2即(c+a)(c-a)=0,aa即c2a2b2=0a，所以b24=。，故%1,即2.又雙曲線

27、的漸近線的斜率為a,a故該雙曲線的漸近線的方程為y=女.高效演練分層突破.基礎(chǔ)題組練22*<9”是“方程占+出=1表示雙曲線”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件22解析：選A.因?yàn)榉匠淌?1表示雙曲線，所以(25-k)(k-9)<0,所以k<9或25kk-9k>25,22所以k<9”是“方程+一=1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.25kk-92.(2018高考全國(guó)卷n)雙曲線x2-卜=1(a>0,b>0)的離心率為正，則其漸近線方程為ab()A.y=±T2xB.y=±/3x解析：選

28、A.法一：由題意知，e=c=V3,所以c=ma,所以b=ylc2-a2=42a,所以ab=&所以該雙曲線的漸近線方程為y=gx=土亞x,故選A.aa法二：由e=：=71+簟=V3,得?=版所以該雙曲線的漸近線方程為y=x=蚯x,故選A.223.(一題多解)已知方程總7丁卜二=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為m+n3mn4,則n的取值范圍是()A.(-1,3)B.(-1,V3)C.(0,3)D,(0,V3)解析：選A.法一：由題意可知：c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c為半焦距，所以2c=2X|2m|=4,所以|m|=1,22因?yàn)榉匠?-t-=i表示雙曲線，m+n

29、3mn所以(m2+n)(3m2n)>0,所以一m2<n<3m2,所以1<n<3.故選A.法二：因?yàn)樵匠瘫硎倦p曲線，且焦距為4,m2+n>0,所以3m2n>0,Im2+n+3m2-n=4,m2+n<0,或3m2n<0,I-(3m2-n)-(m2+n)=4,由得m2=1,nC(1,3).無(wú)解.故選A.22224.若雙曲線C1：5一5=1與C2：|-b2=1(a>0,b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4*，則b=()A.2B.4C.6D.8解析：選B.由題意得，b=2?b=2a,C2的焦距2c=45?c=/a2+b2=275

30、?b=4,a故選B.225.（一題多解）（2019開(kāi)封*II擬）過(guò)雙曲線均一y2=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)F（-c,0）作圓O:abx2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P,若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線.5B.2,51D.一的離心率為（）A.5C.V5+1解析：選A.法一：如圖所示，不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)'為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE,PF',1因?yàn)镻F是圓O的切線，所以O(shè)ELPE,又E,O分別為PF,FF'的中點(diǎn)，所以|OE|=2|PF|,又|OE|=a,所以|PF'|=2a,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，|PF|PF'42a,所以

31、|PF|=4a,所以|EF|=2a,在RtOEF中，|OE|2+|EF|2=|OF2,即a2+4a2=c；所以e=g故選A.法二：連接OE,因?yàn)閨OF|=c,|OE|=a,OEJEF,所以|EF|=b,設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF',因?yàn)镺,E分別為線段FFFP的中點(diǎn)，所以|PF|=2b,|PF'|=2a,所以|PF|-|PFM2a,所以b=2a,所以e=6.(2018高考全國(guó)卷I)已知雙曲線C:=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn),過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,比若OMN為直角三角形，則|MN|=()a.2C. 23B.3D. 4解析：選B.因?yàn)殡p曲線：一y2=1

32、的漸近線方程為y=雪x,所以/MON=60°.不妨設(shè)3、.過(guò)點(diǎn)F的直線與直線ynx交于點(diǎn)M,由4OMN為直角三角形，不妨設(shè)ZOMN=90,則ZMFO=60°,又直線MN過(guò)點(diǎn)F(2,0),所以直線MN的方程為y=J3(x2),y=-V3(x-2),x=2，/由走得出所以喧，1y=3x,ly=o，*i所以|OM|=y©+曾,：=03,所以|MN|=43|OM|=3,故選B.7.(2019遼寧五校協(xié)作體聯(lián)合模擬22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:x2-y2=ab1(a>0,b>0)的離心率為器,從雙曲線的面積為1,則雙曲線C的方程為(22xy_“A

33、.2-8=1C'-f=1C.416C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A,若AFO2B.xT-y2=1D.x2-y-=14解析：選D.因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又雙曲線C的離心率為此所以Ajl+p=5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4,所以雙曲線C的方程為x2-y-=1,故選D.48.（2019河北邯鄲聯(lián)考）如圖，F(xiàn)i,F2是雙曲線C:與y-2=l（a>0,b>0）的左、右兩個(gè)ab焦點(diǎn)，若直線y=x與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為（）解析：選D.由題意可得，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，將

34、直線y=x代入雙曲線C方程，可得x=土-2-I2b-72，所以d2A12=c,所以2a2b2=c2(b2a2),即2(e2-1)=e4-2e2,所以ba.bae44e2+2=0.因?yàn)閑>1,所以e2=2+42,所以e=2+2,故選D.229. （2019貴陽(yáng)模擬）過(guò)雙曲線C:拿一衿1缶>0,b>0）的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點(diǎn)為M）,交y軸于點(diǎn)P,若疝=2前，則雙曲線的離心率為（）B»B.2C.3D.2解析：選B.設(shè)P（0,3m）,由PM=2mF,可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為gc,m!,因?yàn)镺M，PF,所以m幽=1,所以m2=|c2,所以M!2c,土2c933

35、c2Cj由|OM|2+MF|2=OF|2,OM|=a,|OF|=c得，a2+3；:+29L=c2,a2=|c2,所以e=C=，故選B.2210. （2019石家莊模擬）雙曲線x2y2=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為abFi,F2,過(guò)Fi作傾斜角為30。的直線，與y軸和雙曲線的右支分別交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A平分線段FiB,則該雙曲線的離心率是（）A. .3C.2B. .23D.y解析：選A.由題意可知Fi（-c,0）,設(shè)A（0,y0）,因?yàn)锳是FiB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B的橫坐木不為c,又點(diǎn)B在雙曲線的右支上,所以昨白因?yàn)橹本€FiB的傾斜角為M,所奉化簡(jiǎn)整理得息著,又b2=c2-a

36、2,所以3c2-3a2-2乒=0,兩邊同時(shí)除以a2得3e22y3e3=0,解得e=43或6=坐（舍去），故選A.一，X2211.已知M（x0,y。）是雙曲線C：或一y=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn).若,3-J36,6mFi漏2<0,則y0的取值范圍是（）B.D.（-孝智A.G孝旬C.b嚕甯解析：選A.由題意知a=W，b=1,c=-J3,設(shè)Fi（毒，0）,F2（*,0）,則MFi=(J3X0,y0),MF2=(''/SX0,y0).因?yàn)镸FiMF2<0,所以(一43X0)(>/3X0)+y0<0,即X2-3+y0<0.因?yàn)辄c(diǎn)M（X0,y

37、0）在雙曲線C上，2所以:一y2=1,即X2=2+2y2，所以2+2y03+y2<0,所以3<y0<3.2212. （2019四川南充模擬）過(guò)雙曲線芻一%=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)且垂直于X軸的直線與ab雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，D為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為（）A.（1,亞）b.（近，"J2+a/2）C.（亞，2）D.(1,*)U(2+72,+8)解析：選D.設(shè)雙曲線：x21(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為Fi(-c,0),ab令x=c,可得y=a，可設(shè)Ac,又設(shè)D(0,b),可得AD=c,_2一c2b

38、oAB=0,-a-FDB=一c,bb-.a-b-b2a)由ABD為鈍角三角形，可得/DAB為鈍角或/ADB為鈍角.,化為a>b,即有a2>b2=c2169，一口一一r，2b2當(dāng)/DAB為鈍角時(shí)，可得ADABv0,即為0-百a2.可得c2<2a：即e=c</2.又e>1,可得1<e<42;當(dāng)ZADB為鈍角時(shí)，可得DADB<0,a即為c2與+bb<0,化為c44a2c2+2a4>0,由e="|,可得e44e2+2>0.又e>1,可得e>42+72.綜上可得，e的范圍為(1,42)"，2"2,

39、+8).故選d.13 .若雙曲線x-y=1(a>0,b>0)的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率ab為.解析：由雙曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)(3,4)知b=£a3b216P所以丁=或.又即e21=16,所以e2=25,所以e=5.9935答案：5314 .雙曲線x2-y2=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,ab點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.22解析：雙曲線x2-七2=1的漸近線方程為y=乎x,由已知可得兩條漸近線方程互相垂直,aba由雙曲線的對(duì)稱性可得1.又正方形0ABe的邊長(zhǎng)為2,所以5,所

40、以a2+b2=c2=(2歷：解得a=2.答案：22215. （2019武漢調(diào)研）已知點(diǎn)P在雙曲線±一y2=1（a>0,b>0）上，PFx軸（其中F為雙1曲線的右焦點(diǎn)），點(diǎn)P到該雙曲線的兩條漸近線的距離之比為1,則該雙曲線的離心率為3解析：由題意知F（c,0）,由PFx軸，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則PC,?I雙曲線漸近線的方程為bxday=0,由題意，得bca-a<a2+b2TTTZb2bc+a-a-a2+b2解得c=2b,又c2=a2+b2,所以a3=3b,所以雙曲線的離心率答案:等16. （2019長(zhǎng)春監(jiān)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2-y2=1的

41、左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作/F1PF2的平分線的垂線，垂足為H,則|OH|解析：如圖所示，延長(zhǎng)FH交PF2于點(diǎn)Q,由PH為/F1PF2的平分線及PH，F(xiàn)Q,可知|PF1|=|PQ|,根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|-|PFi|=2,從而|QF2|=2,在4552中，易知OH為中位線，故|OH|=1.答案：1綜合題組練1.（一題多解）已知雙曲線C:多一y2ab25=1（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=B"x,且22與橢圓x；+y-=1有公共焦點(diǎn)，則c的方程為（）123A亡-L181022xy.c.5-4=12B.92Xd.XT解析：選B.法一：由雙曲

42、線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為252y3=1x2丫222=k（k>。），即第5r1,因?yàn)殡p曲線與橢圓xr+巳=1有公共焦點(diǎn)，所以1234k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C22的方程為A91.故選B.法二：因?yàn)闄E圓券+=1的焦點(diǎn)為（6，0）,123雙曲線與橢圓器+y=1有公共焦點(diǎn)，所123以a2+b2=（J3）2=9，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為V=E所以?=要，聯(lián)立可解2a222得"4,b2=5.所以雙曲線c的方程為»1.2. （2019鄭州模擬）已知雙曲線C:與一3=1（a>b>0）的兩條漸近線與圓O:x2+y2=5交于M,N,P,Q四點(diǎn)，若四邊形MNPQ的面積為8,則雙曲線C的漸近線方程為（）解析：選B.以原點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為abJ5的圓的方程為x2+y2=5,雙曲線的兩條漸近線方程為y=1x,不妨設(shè)Maxj,因?yàn)樗倪呅蜯NPQ的面積為8,所以4xbx=8,所以x2=2a,b將mQ%/弋入x2+y2=5,可得x2+,x2=5,2a2b所以,+=5,a>b>0,ba-b1解得b=1,故選b.a23. （2019石家莊模擬）以橢圓x+y=1的