第五章定積分及其應(yīng)用ppt課件

1、第五章第五章 定積分定積分 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念 第二節(jié)第二節(jié) 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 第三節(jié)第三節(jié) 微積分的基本公式微積分的基本公式 第四節(jié)第四節(jié) 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算 第五節(jié)第五節(jié) 廣義積分廣義積分 第六節(jié)第六節(jié) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取

2、取一一點(diǎn)點(diǎn)i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，1.1.定積分的定義定積分的定義定義定義一、定積分的概念一、定積分的概念怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣的的取取法法，只要當(dāng)只要當(dāng)0 時(shí)，時(shí)，和和S總總趨趨于于確確定定的的極極限限I，我我們們稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積

3、分下限積分和積分和2.定積分與不定積分的區(qū)別：定積分與不定積分的區(qū)別：無(wú)上下限，其結(jié)果是無(wú)窮多個(gè)函數(shù)組成的集合。無(wú)上下限，其結(jié)果是無(wú)窮多個(gè)函數(shù)組成的集合。dxxfba )(定積分定積分有上下限，其結(jié)果是一個(gè)常數(shù)。有上下限，其結(jié)果是一個(gè)常數(shù)。其中的上下限是限制積分變量的取值范圍其中的上下限是限制積分變量的取值范圍.( )d0( )d( )dabaaabf xxf xxf xx （2） ， (1)(1)定積分表示一個(gè)數(shù)，它只與被積函數(shù)及積定積分表示一個(gè)數(shù)，它只與被積函數(shù)及積 分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即( )d( )dbbaaf xxf tt3.注意

4、：注意：(3)(3)可積的必要條件：可積的必要條件：( ),( ),f xa bf xa ba.若在上連續(xù)，則在上可積。.( ),( ),bf xa bf xa b若在上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)， 則在上可積。, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 4、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義( ),.;.xf xxa xbxx它是介于軸、函數(shù)的圖形及兩條直線之間的各部分面積的代數(shù)和在軸上方的面積取正號(hào) 在軸下方的面積取負(fù)號(hào) badxxgxf)()( b

5、adxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì)3 （區(qū)間可加性）（區(qū)間可加性）二、定積分的性質(zhì)二、定積分的性質(zhì) . , , , :上上結(jié)結(jié)論論總總成成立立的的位位置置如如何何不不論論補(bǔ)補(bǔ)充充cba（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論比較定理）：推論比較定理）： 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）

6、dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx . 2020的大小的大小與與比較積分值比較積分值dxxdxex 例例1 1（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）).()()()( , , )( baabMdxxfabmbaxfmMba 則則的的最最大大值值及及最最小小值值上上在在區(qū)區(qū)間間分分別別是是函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)6:6:估值性質(zhì)估值性質(zhì)解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413

7、x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx性質(zhì)性質(zhì)7 7定積分中值定理）定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式).()()( , , , , )( baabfdxxfbabaxfba 使使得得上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)積積分分區(qū)區(qū)間間則則在在上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)定積分中值定理的幾何解釋定積分中值定理的幾何解釋:xyoab )( f .)( )( , , , ,的一個(gè)矩形的面積的一個(gè)矩形的面積等于同一底邊高為等于同一底邊高為曲邊的曲邊梯形的面積曲邊的曲邊梯形的面積為為以曲線以曲線底邊底邊為為使得以使得以一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)上至少存在上至少存

8、在在區(qū)間在區(qū)間 fxfybaba作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題5-2 5-2 第第1 1、2 2題題 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx變上限的定積分函數(shù)變上限的定積分函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，三、微積分的基本公式三、微積分的基本公式1.變上限的定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限的定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限的定積分函數(shù)的性質(zhì)變上限的定積分函數(shù)的性質(zhì)（上述性質(zhì)也稱為原函數(shù)存在定理）（上述性質(zhì)也稱

9、為原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). . 說明：變上限的定積分函數(shù)對(duì)積分上限說明：變上限的定積分函數(shù)對(duì)積分上限x的一階導(dǎo)的一階導(dǎo)數(shù)等于將被積函數(shù)表達(dá)式中的變量記號(hào)數(shù)等于將被積函數(shù)表達(dá)式中的變量記號(hào)t改寫為積分改寫為積分上限上限x所得到的函數(shù)，而與積分下限所得到的函數(shù)，而與積分下限a無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。例例 1 1 xttx0,de)(2 已已知知求求 (x).解根據(jù)定理解根據(jù)定理 ，得，得 .ede)(220 xxttx 220( ),( )txe dtx思考：已知

10、求例例 2 0,d)13cos()(xttxF已知已知求求 F (x).解根據(jù)定理解根據(jù)定理 ，得，得 )(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos( x例：求例：求24111xddtdxt解解2242481112()11 ()1xdxdtxdxtxx30( ) ,xdyyf t dtdx已知求25xtdedtdx求031xdt dtdx求練習(xí)：練習(xí)： 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為補(bǔ)充補(bǔ)充 )()()()(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxF(

11、 ),( ) ( )( )g xadf t dtf g xg xdx一般地例例 3 xttx02,d)sin()( 設(shè)設(shè)求求 (x).解解 (x) xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx 的導(dǎo)數(shù)值為多少？處在是連續(xù)函數(shù)，求若例63)(.21xdttyufx例例 4 2,d13xxtty設(shè)設(shè)解解.ddxy求求xydd xxxtt2d13 xaxxatttt2d1d133 xxaxxatttt2d1d133xxxxttx)(d11203322 .12163xxx 例例5 5 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12

12、xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.這種題形經(jīng)常考這種題形經(jīng)?？? 見課本見課本P116 例題例題4,5,6練習(xí)：求練習(xí)：求2030sinlimxxt dtx解解 當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)時(shí), ,原式為原式為00型不定式型不定式, ,可用洛必達(dá)法則求，得可用洛必達(dá)法則求，得2220033 2000sin(sin)1sin1limlimlim()33xxxxxt dtt dtxxxx.cossin. 600的導(dǎo)數(shù)對(duì)所給

13、定的函數(shù)求由參數(shù)方程例xyuduyuduxtt.,cos. 7023dxdytdtyxxy求設(shè)例證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在

14、1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 令令( )x因?yàn)镕在 0，1 上連續(xù)，由零點(diǎn)存在定理知，在由零點(diǎn)存在定理知，在0，1之間至少存在一點(diǎn)之間至少存在一點(diǎn)00()0.xf x,使得( )0F x 即在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根。定理定理 3微積分基本公式）微積分基本公式）.)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間表表明明baba2.2.牛頓牛頓萊布尼茨公式

15、萊布尼茨公式當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.例例 1 1 計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分. . 解解;d11)1(102xx 30(2)sind .x x xxd11)1(102 10arctanx ;40arctan1arctan 30(2)sindx x 30cosx cos( cos0)3 11122 例例2 2 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解例例 3 3計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分. . 解解;de1e)1(11xxx .dcos)2(462xx xxxde1e)1(11 )e1(de1111

16、xx 11)e1ln( x; 1e11ln)e1ln( xxdcos)2(462 xx d )2cos1(2146 46462d2cos41d21xxx462sin416421 x.834124 例例4 4 設(shè)設(shè) , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 例例5 5 求求 解解220(1)x xdx212222001(1)(1)(1)x xdxx xdxx xdx1233015()()2xx dxxx dx解把被積函數(shù)化簡(jiǎn)解把被積函數(shù)化簡(jiǎn).例例 6 6 計(jì)計(jì)算算.dsinsin03xxx

17、 xxxdsinsin03 xxxd)sin1(sin02 .d|cos|sin0 xxx xxxxxxd)cos(sindcossin220 xxxxsindsinsindsin220 2232023sin32sin32xx.34)32(32 2021:( )0,2.1xtI xdttt 例題 求在上的最大值與最小值202021:( )0,2121( )0,21xxtI xdttttI xdttt 分析 由于變上限積分在上可導(dǎo),則在上連續(xù),故本題實(shí)際上是求閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最大值與最小值.2020221:( )0,2121( )0,2121( ),0,21xxtI xdttttI xdtttxI

18、 xxxx 解 由于在上可導(dǎo),故在上連續(xù),且,( )0,xI x12當(dāng) = 時(shí)11222122200211( )(1)11tIdtd tttttt 而122340ln1lntt 02021(0)0,1tIdttt 22201(2)(1)1Id tttt 220ln1ln3tt 123( )ln,2ln3.4I xxx故在處取得最小值在處取得最大值0606年考過類似的題形年考過類似的題形, , 見見P155 P155 四四 1,2 1,2例例7 7：設(shè)：設(shè),02( ),2lkxxf xlcxl求求0( )( )0, xxf t dtl在上的表達(dá)式。上的表達(dá)式。時(shí)，解：當(dāng)20lx dtktdttf

19、xxx002022121kxktx,2時(shí)當(dāng)lxl dttfdttfdttfxxllx2200dtcdtktxll220 xllctkt220221,2812lxckl類似題目類似題目0606、0707年考過年考過作業(yè)作業(yè):P119 :P119 習(xí)題習(xí)題5-35-3 lxlxckllxkxx2,218120,2122故故定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 bababauvuvvudd定積分的換元公式定積分的換元公式xxfbad)( tttfd)()( 奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定

20、積分公式四、定積分的計(jì)算四、定積分的計(jì)算則有則有 baxxfd)(定積分換元公式定積分換元公式 f )(t tt d)( 一、定積分的換元法一、定積分的換元法定理定理1假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)( ) , ,f xa b在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)函數(shù)滿足條件滿足條件:)(tx 上上或或在在),(, )( t(1) (2) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域且其值域,baR ;)(,)(ba 應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）例例1 1 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt 在用在

21、用“湊微分的方法時(shí)湊微分的方法時(shí), 0 x32xtcos 1 t,2 x0 t不明顯地寫出不明顯地寫出下限就不要變下限就不要變.定積分的上、定積分的上、2 001新的變量新的變量 t ,注注或或 203dsin xxxxxdsinsin202 202cosd)cos1( xx203cos31cos xx 32 例例2 2 )0(d022 axxaa解解原式原式ttadcos202 ,sintax 令令2,0, 0 taxtx 20d22cos1 tta241a 這是半徑為這是半徑為a的四分之一的圓的面積的四分之一的圓的面積.dcosdttax 例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.sinsin053 dx

22、xxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例4 4 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)解解 法一法一,2tx 令令tx 2txdd e137 tt d )1(012 td1 131 31d)2(xxf)(tf 10dtet法二法二 )2(xf即即 , 2, 2, 54)2(22xexxxxfx 31d)2(xxf 1 3e137 , 0

23、2 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 22類似的題目：課本類似的題目：課本P122 例例5 幾個(gè)關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分幾個(gè)關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分的例子的例子.例例5 5 則則上可積上可積在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè),)(aaxf 證證 由于由于 aaxxfd)( 0d)(axxf對(duì)對(duì), tx 令令 axxf0d)(通常由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來(lái)確定變換通常由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來(lái)確定變換. 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a作變換作變換,.ddtx 換元積分還可以證明一些定積分等式,ax , 0 x 0d)

24、(axxf attf0d)(x那么那么;at . 0 t 0d)(attftx 令令.ddtx x aaxxfd)( axxf0d)( 0d)(axxf a a axxfxfxxf 0d)()(d)(可得可得: 由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和面積的代數(shù)和)也可得也可得.,)(上上連連續(xù)續(xù)在在當(dāng)當(dāng)aaxf 且有且有,)()1(為偶函數(shù)為偶函數(shù)xf那那么么 aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(為為奇奇函函數(shù)數(shù)xf那那么么 aaxxf0d)( a a axxfxfxxf 0d)()(d)(由由 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d

25、412 00例例6 6 20證證 (1)tx 2 例例7 7 證證明明上上連連續(xù)續(xù)在在若若, 1 , 0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf設(shè)設(shè)02 20d)(cos ttf 20d)(cos xxf02 txdd 證畢證畢. 2 0d)(sin xxf ttfd2sin 例例 xxxxdsindcos20102010 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)上公式在計(jì)算其它積分時(shí)可以直接引用上公式在計(jì)算其它積分時(shí)可以直接引用.知道結(jié)論就可以啦，證明的過程了解就

26、行。知道結(jié)論就可以啦，證明的過程了解就行。 注注 54 7632 1 65 87 43 21 2 xxxxdcosdsin207207 109.d)(d)(,)(0為任何常數(shù)為任何常數(shù)則則的周期的周期是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)如果如果axxfxxfxfTTaaT 這個(gè)公式就是說：這個(gè)公式就是說： 周期函數(shù)在任何長(zhǎng)為一周期的周期函數(shù)在任何長(zhǎng)為一周期的區(qū)間上的定積分都相等區(qū)間上的定積分都相等.練習(xí)：練習(xí)：P124 習(xí)題習(xí)題5-4定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法設(shè)設(shè))(),(xvxu上上在在區(qū)區(qū)間間,ba有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),那么那么 vud定理定理

27、2uv uvd由不定積分的分部積分法由不定積分的分部積分法abbaab及及N-L公式公式. bababauvuvvudd類似于不定積分的分部積分法：類似于不定積分的分部積分法：“反、對(duì)、冪、指、三反、對(duì)、冪、指、三”注意：換元必?fù)Q限注意：換元必?fù)Q限 配元不換限配元不換限 邊積邊代限邊積邊代限dxxex10解:原式=10 xxde1|101010 xxxeedxexe例1. 計(jì)算20022dsin2sinxxxxx20200222dcos2cos24)(cosd24xxxxxx24sin242022x .例3. 計(jì)算.darcsin210 xx解解: :原式原式 = =xx arcsin0212

28、10 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231練習(xí)：練習(xí)：P127 習(xí)題習(xí)題5-5第五節(jié)、廣義積分第五節(jié)、廣義積分 一、無(wú)窮限的廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分 二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分 定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),a上上連連續(xù)續(xù)，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間),a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分

29、收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .一、無(wú)窮限的廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b 上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間,(b 上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上連續(xù)上連續(xù),

30、,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .例例1 1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0ar

31、ctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當(dāng)因此當(dāng)1 p時(shí)廣義積分收斂，其值為時(shí)廣義積分收斂，其值為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)廣義積分發(fā)散時(shí)廣義積分發(fā)散.定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點(diǎn)點(diǎn)a

32、的右鄰域內(nèi)無(wú)界取的右鄰域內(nèi)無(wú)界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點(diǎn)而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無(wú)界的左鄰域內(nèi)無(wú)界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0

33、存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點(diǎn)上除點(diǎn))(bcac 外連外連續(xù)，而在點(diǎn)續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界的鄰域內(nèi)無(wú)界. .如果兩個(gè)廣義積分如果兩個(gè)廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )

34、(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .例例4 4 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此當(dāng)因此當(dāng)1 q時(shí)廣義積分收斂，其值為時(shí)廣義積分收斂，其值為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)廣義積分發(fā)散時(shí)廣義積分發(fā)散. 101dxxq例例6 6 計(jì)算廣

35、義積分計(jì)算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.例例7 7 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.)1(3032 xdx 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf

36、)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略內(nèi)部的間斷點(diǎn)）（注意：不能忽略內(nèi)部的間斷點(diǎn)） badxxf)(三、小結(jié)三、小結(jié)第六節(jié)第六節(jié) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用1、平面圖形的面積 ( )( )dbaAf xg xx 21( )( )ddcAyyy2、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積2 ( ) d（繞 軸旋轉(zhuǎn)）baVf xxx 2 ( )dcVydyy（繞 軸旋轉(zhuǎn)）3、平面曲線的弧長(zhǎng)、平面曲線的弧長(zhǎng)1、 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA(1) 直角坐標(biāo)情形直角坐

37、標(biāo)情形abab ( )0f x ( )0g x ( )0f x ( )0g x 在這個(gè)公式中，無(wú)論曲線在這個(gè)公式中，無(wú)論曲線 在在x 軸的上方或軸的上方或下方都成立，只要下方都成立，只要 在曲線在曲線 的下的下方即可。方即可。( )y g x ( )yf x ( )( )dbaAf xg xx 面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0(解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236x

38、yxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x2xy xxy63 dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：?jiǎn)栴}：積分變量可以選積分變量可以選x也可以選也可以選y設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，求由曲線求由曲線 及直線及直線 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. .12( ),( )yy , c d12( )( )yy 12( ),( ) xyxy, ()yc ydcd dyy c2( )y 1( )y yd的面積為的面積為 , ,則近似于高為則近似于高為dy,dy,底底為為

39、 的小矩形面積的小矩形面積, , 在區(qū)間在區(qū)間 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 , ,設(shè)此小區(qū)間上設(shè)此小區(qū)間上 ,d y yy ,c dA 21( )( )yy 21()()d dcAyyy于是所求面積為于是所求面積為21d( )( )dy.Ayy 從而得面積微元為從而得面積微元為解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y42224Sdyyyxy22 4 xy=18如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA (2) 參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)

40、方程所表示的函數(shù)解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對(duì)稱性知總面積等于由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122(3) 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形2、 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋

41、轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)dxl 已知截面面積函數(shù) 的立體體積)(xA體積微元：體積微元：dxxAdV)( 整個(gè)立體體積整個(gè)立體體積 badVV)(xA badxxA)(一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdxydV22)(xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為d