12-薄壁箱梁畸變理論-57頁PPT文檔課件

1、薄壁箱梁的畸變理論n畸變荷載n用靜力平衡法推導(dǎo)直腹板箱梁畸變微分方程n用能量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程n畸變微分方程的邊界條件及其求解方法n小結(jié)n本章參考文獻(xiàn) 畸變是伴隨扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的，由于畸變的存在，截面發(fā)生翹曲而在縱向產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力 和翹曲剪應(yīng)力 ，同時在橫向還產(chǎn)生橫向框架應(yīng)力DD畸變荷載 箱形梁在偏心荷載作用下會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)，能引起這種變形的荷載不外乎是豎直偏心荷載、水平偏心荷載和在自重作用下由于支點傾側(cè)（所謂三條腿）產(chǎn)生的扭矩等三種荷載。這三種荷載都可以通過荷載分解得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載。 (1) 直腹板箱梁 如下圖所示的豎向反對稱荷載為 ，經(jīng)荷載分解所得的剛性扭轉(zhuǎn)荷載

2、和畸變荷載 vPhbVhbPHPVdvdvd11122hbVhbPHPVdvdvd11122豎向反對稱荷載的分解 圖所示的水平向偏心荷載 ，設(shè)其與截面扭轉(zhuǎn)中心的距離為 ，則按力學(xué)原理。扭矩 可用角點反對稱荷載PdPdhdPPH來代替。經(jīng)分解后得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載為 水平荷載的分解 hbVPHbhPVdHdHd22222對于圖所示的簡支梁一個支座脫空后的三條腿支承，經(jīng)分解后其剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載為hbVhRbHRVddd33344 三條腿支承箱梁（2） 斜腹板箱梁如圖所示的斜腹板箱梁上承受反對稱角點荷載，經(jīng)分解后也可得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載。在假定剪應(yīng)力沿板厚均勻分布下，箱梁中剪力流為

3、hbbbPhbbMMqvKK12112222),(斜腹板箱梁豎向反對稱載的分解 剛性扭轉(zhuǎn)荷載：hbbbbPPaahbbabPPPhbbbPPvvv)()()()(122123112113112214 畸變荷載：hbbbbPPhbbbaPPPhbbbPPvvv)()()(1221212213112224用靜力平衡法推導(dǎo)直腹板箱梁畸變微分方程（1） 基本假定 畸變荷載是一組自相平衡的力系，因而由畸變變形產(chǎn)生的內(nèi)力也是自相平衡的。箱形梁畸變時，產(chǎn)生了兩種畸變變形：橫向:組成箱形梁的各板元產(chǎn)生了垂直于自身平面的位移一畸變橫向撓曲；縱向:因各板元橫向撓曲而產(chǎn)生了相應(yīng)的與梁軸線方向平行的翹曲位移畸變翹曲。

4、前者受到了箱形梁橫向框架剛度的抵抗，而后者則受到了箱形梁翹曲剛度的抵抗分析時，將箱形梁畸變的兩種變形及其相應(yīng)的力系分開考慮。把相應(yīng)于畸變橫向撓曲的內(nèi)外力稱為板元的平面外力系；相應(yīng)于畸變翹曲的內(nèi)外力稱為各板元的平面內(nèi)力系。用以計算畸變位移的物理量如圖所示，角點位移為 及 ，若令1h2hv221hhh箱梁、畸變荷截與畸變位移則得到畸變角 與畸變位移的關(guān)系為DhbhvvhD22此畸變角是畸變分析唯一獨立變量此外，在結(jié)構(gòu)分析中還假定：組成箱形梁的各板沿自身平面的撓曲滿足平截面假定，可應(yīng)用初等梁理論計算其撓度和撓曲應(yīng)力；翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布。（2） 各板元平面內(nèi)力系分析沿縱向從箱形梁中取出的

5、一微段單元，并把截斷處用相應(yīng)的內(nèi)力代替，如下圖所示。根據(jù)平截面假定，箱梁截面的翹曲應(yīng)力可視為各板元平面內(nèi)的撓曲應(yīng)力，并沿周邊直線變化，如圖a)所示。令 為翹曲應(yīng)力，由于翹曲應(yīng)力在截面內(nèi)自相平衡，故應(yīng)滿足以下條件D0d0d0dsysxsDDD平面內(nèi)平 衡條件式各板元平面內(nèi)力系 a)翹曲應(yīng)力 b)各板元平面內(nèi)力系D因截面對稱于 軸，而應(yīng)力反對稱于 軸，所以平衡條件式的第一、三式自然滿足，并且上、下板中點處的翹曲應(yīng)力為零。令左腹板頂點翹曲應(yīng)力 與底點翹曲應(yīng)力之比為 ，根據(jù)平衡條件式第二式得yyDADBD3131323233hbhbDBDADbb11bb22令 ，31311hb32322hb則 332

6、D各板元平面內(nèi)彎矩和剪力如圖b)所示，根據(jù)各板元在其自身平面內(nèi)的受力平衡條件，可以得到下列公式頂板：由 、 得 00M 0X111d1QdzMbTxDxAdqqHzQdd1令 則得xDxAxqqqxdqHzQdd1底板：由 、 得 00M 0X222dd1QzMbTxdqHzQdd2左腹板：由 、 得 00M 0Y0dd2)(3321QzMhTTyByAdqqVzQdd3 令 則得yByAyqqqydqVzQdd3消去T1，T2有0dddd2dddddd2dd233222212232zQzQbhzQzMzMbhzM而xdqHzQzQ22dddd21再消去Qi并整理得0dddd2dd222212

7、232bhqqbhHVzMzMbhzMxydd由于角點處頂板與腹板、底板與腹板具有相同的翹曲應(yīng)力。根據(jù)初等梁理論的撓曲應(yīng)力公式，可得到角點翹曲應(yīng)力與各板元自身內(nèi)彎矩 、 和 的關(guān)系式1M2M3MDBDbJM112DBbJM2222233DBDAhJM123111bJ123222bJ12333hJ為各板在其自身平面內(nèi)的慣性矩應(yīng)用關(guān)系 ，將上式化簡得 DDADB/331121MbhJJMDD3322211MbhJJMD回代并消去M1，M2整理得到 06)(23dd2212121232bhqqbhHVzMxydd 根據(jù)基本假定，箱形梁各板元沿自身平面的橫向撓曲滿足初等梁理論，所以得到各板元內(nèi)彎矩和位

8、移的關(guān)系為 22211133EJMEJMEJMhhv根據(jù)畸變角 和畸變位移的關(guān)系可得到D221133212 2hEJMhEJMbEJMbbhhvD 在上式中消去M1，M2得334bEJMD 從而得到板元平面彎矩和畸變角的關(guān)系式為 433bEJM 經(jīng)兩次微分得 4dd3232bEJzM 消去M3得026)(2342121213 bhqqbhHVbEJxydd 此方程是根據(jù)箱形梁在畸變荷載作用下，產(chǎn)生軸向翹曲位移及相應(yīng)的力系（各板元平面內(nèi)力系）平衡條件推導(dǎo)得到的畸變微分方程。（3） 各板元平面外力系分析 箱形梁各板元平面外力系為產(chǎn)生橫向撓曲的力系（如下圖所示）。箱形梁抵抗橫向撓曲的作用稱為框架作用

9、，分析框架作用時，不考慮頂板和底板的懸臂部分。圖b)表示從箱形梁中取出微段單元 的頂板、左腹板、底板的分離體各自受到角點彎矩和剪力作用的情形。由于截面對稱于 軸，而力反對稱于 軸，故可得zdyyxCxBxDxAyCyByDyACBBCDAADqqqqqqqqmmmm據(jù)角點力矩平衡得00BCBAABADmmmm由頂板力矩平衡條件得 bmqqADyDyA2 各板元平面外力系 a)框架變形； b)平面外力系 底板力矩平衡得bmqqBCyCyB2腹板力矩平衡得hmmqqqqBAABxDxCxBxA 整理得hmmhmmqqqBCADBAABxDxAx)(2)(2bmmqqqBCADyByAy)(2上列兩

10、式合并，得到 和 的關(guān)系為xqyqhbqqyx框架中的節(jié)點是剛性固結(jié)的，因此組成框架的各板元相當(dāng)于兩端嵌固的梁。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的坡度撓度公式，可得到橫向彎矩 與橫向撓曲位移的關(guān)系mhhEImhhEImbbEImbbEImhABBAhBAABvBBCvAAD6226226323323321式中： 沿軸向單位長度的板橫向抗彎慣 性矩， 。 、 框架 、 節(jié)點轉(zhuǎn)角)1 (12231vIi3 , 2 , 1iABAB由 得到 0ABADmmhbbhIIbhIIhvAB662331310BCBAmmhbbhIIbhIIhvBA66233232由 得到上列兩式合并整理得2232213213232312332

11、21321312232bIhIIIIIbhbIhIhbIhIbIhIbIhIIbhvA223221321313132223221321312232bIhIIIIIbhbIhIhbIhIbIhIbIhIIbhvB將 、 分別代入 和 的表達(dá)式中有ABADmBCmhbbhIIIIIIbhIIbhbIEmhvAD22321316222321321321hbbhIIIIIIbhIIbhbIEmhvBC2232131622321321312將mAD，mBC代入qy整理得bEIqDRy/框架抗彎剛度1324hEIEIRbIhIIIIIIIIhb232132132116321 hbhvD22令 得 ADBC

12、mmm231333hIbIIIhbm則)1 (2)1 (2mDRmyADEIbqm)1 (2mDRmADmBCEImm（4） 畸變平衡微分方程由箱形梁各板元組成的框架抵抗橫向撓曲作用（即各板元平面外力系）推導(dǎo)得到bqhqyxDRyEIbq代入微分方程并經(jīng)整理得bVEIEIdRD 引入畸變雙力矩的概念，則212121326)(234JEbEIDDDDEIB 稱為箱形梁畸變翹曲剛度箱形梁的畸變雙力矩 得到433bJIBMDD則畸變應(yīng)力計算公式為DADDDDDDDAIBbhBIB41DBDDwDDDDBIBbhIB411 為截面A點畸變翹曲率 為截面B點畸變翹曲率41bhDDDA411bhDDB用能

13、量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程取如下圖所示的箱梁橫截面，坐標(biāo)系同第上節(jié)，則當(dāng)梁受偏心荷載發(fā)生畸變時，各板在自身平面內(nèi)發(fā)生翹曲，產(chǎn)生畸變翹曲應(yīng)變能。同時橫向框架有橫向翹曲，產(chǎn)生框架畸變應(yīng)變能。（1） 畸變應(yīng)變能 （a）橫截面框架畸變應(yīng)變能現(xiàn)取沿跨徑方向單位長度 一段箱梁分析，并設(shè)角點2處的畸變角為 ?？蚣苡捎诨兘?所具有的應(yīng)變能與梁上板發(fā)生的水平位移 a 所產(chǎn)生的應(yīng)變能是等同的。當(dāng)結(jié)構(gòu)對稱，而外部影響因素（例如位移）是反對稱的，框架中由于水平位移引起的橫向彎矩也是反對稱的，如下下圖b)所示。1U1dz )(zD)(zDsin1D 斜腹板單室箱梁 橫向框架變形與橫向彎矩 由于結(jié)構(gòu)對稱，取半

14、個框架如下圖所示，則在單位水平荷載 作用下，未知贅余剪力為 ，則有 ) 1(PX202111PX 框架求解 用圖乘法知22222222624241222111123243111bbbbbbIaIbIb 31sin21231sin22222sin12211211111abbaabbbaaP )(242242424)2(sin24sin2221222111232431112212122111bbbbIaIbIbIbbaIabXP)(2)2(sinsin21222111232431212212122bbbbIaIbIbIbbaIabX由圖知， 點的水平位移 為AhsEIMMhd2水平位移及豎向位移求

15、解 vhaXbXbaXbXbIabIaXbXIbEXbaXbaXbaXbXbXbIaaXbEIEIbXb2 )sin()sin(2)sin(61 )sin2()sin()sin 2(6)sin(32/b31)2()(1212122211122212243111212121112122241211)sin()sin(2)sin(121 12121222111221224231vaXbXbaXbXbIaIaXbbIXbE 但由于水平位移為 作用力是則角點 的橫向彎矩為 sin1aDvDazP2sin)(14iDvDKXbaMM111412sinDDvKaaXbMM2112322sin)sin( v

16、XbaK2sin111 vaaXbK2sin)sin(1122 分別為單位長度上各板的慣性矩4321,IIII)4 , 3 , 2 , 1( 1213iIii因此，橫向框架畸變應(yīng)變能1U lslDzKszEIMU002321ddd2式中：12122211222241213)(261IKKKKaIbKIbKEK（b）畸變翹曲應(yīng)變能2U 符拉索夫采用虛功原理分析薄壁多箱式直桿時，曾做了三個基本假定，它們是： 薄壁桿所屬各板在橫截面內(nèi)的長度不變 橫截面內(nèi)各板的法向位移沿該板的橫向長度服從線性變化規(guī)律 在橫截面上各板的法向應(yīng)力 與剪應(yīng)力 沿板厚認(rèn)為是常量 因為畸變應(yīng)力在水平與豎向軸的力矩均為零，故翹曲

17、應(yīng)力也是自相平衡的，故有AAAydAxdAdA000設(shè) ，則由下圖知21DDDyhyDDD22即 hyDD1hyh11兩 邊 懸 臂長度之和6)(32)(222141414dbdbdbMDxDx翹曲應(yīng)力 、 1D2D已知 22111bdbDDx111)(bdbDDx1431146)(bdbMD同理 63222222222222bbbMDD6)(3)2(6)( 6)33(212)(322)( 2)(2322)(12111121121211112121121121112112131bbabbabbahbbhbabbatghbaMMDDDDDDDDD,即 0M01234MMMM06)(3)2 (6)

18、(66)(12111121121222214311bbabbabbdbDDDDD整理后解得 )2()()2(12111431121122221bbabdbbbabDDD在角點處，由于頂板與腹板，底板與腹板存在翹曲應(yīng)力。 ， , 的關(guān)系式可寫成如下表達(dá)式，下圖所示)(31MM2M4M22222222214414412M 22M 2DDDDDbJbJMbJbJM21131111212)1 (2M 22DDDDaJMaJM3144)(12dbJ為板塊慣矩iJ如果各板塊沿周向的變位為 ， ， ， ，看作是板梁翹曲時在自身平面內(nèi)的撓度，根據(jù)初等梁的彎曲理論，則1v2v3v4v121131)1 (EaEJ

19、MvvDD 124442222222EbEJMvEbEJMvDDD將畸變角 用 方向的位移表示（圖示）221121ddsinddbyyaxxDDyx,tgsindsintgdd,d2123232241vvyvvyvxvx翹曲應(yīng)力引起的彎矩 經(jīng)過整理后，則有sincos2sin2231142bvvvavvD將上式求導(dǎo)，并將v1，v2，v3，v4式代入，整理后得到 sincos2)2(222111112222baEbbabbaDDDD cos2)2( 2sin11122222114babbbbbaKDDDDEK 42則翹曲應(yīng)變能為 lADxAzEszU022dd2),(已知)1 ()1 ()1 (

20、141211bdEKbdbdDDDDDDx 則 為AEszDxd2),(2對于頂板EdbbdKEDD312)()1 (142122242 421122241)(6bddbKEDD對于底板222242224632)(bEKEbEKDD 對于腹板 1021121daDDDxxaEaaaKEdDDDD21)1 ()1 (3121211222421 令 +H) 1(21)(6211224221124DDDabbddbEK lDzHU022d)(（c）荷載勢能 V(12.3.25) d)()( dsin)(0122204014zzPbbbdz(z)P-hzazPVvDllDlD（d）結(jié)構(gòu)畸變總勢能當(dāng)忽略

21、剪切變形的應(yīng)變能時，箱梁在畸變荷載作用下的總勢能可由周邊橫向彎曲應(yīng)變能 ，板平面內(nèi)翹曲應(yīng)變能和荷載勢能 三個部分組成，即1U2UVVUU21 lllvDDDzzPbbbzHzK0001222223d)()(d)(d（2） 畸變微分方程（a） 的極值條件如果總勢能的表達(dá)式為 lDDDFzF0d),.(根據(jù)歐拉拉格朗日（Euler-Lagrange）條件式， 取得極值的必要條件為0dddd22 DdDFzFzF很明顯， 、 、 及 均為跨徑方向 函數(shù)3KH)(zpDz（b）常截面控制微分方程)()(212223zPbbbKFvDD0ddDFzDDHFz 2dd22將上列諸式代入歐拉拉格朗日條件式中

22、得到)()(2212223zPbbbKHvDD ) 1(21)(32211224221124DDDabbddbEKEIH12122211222241213)(2312IKKKKaIbKIbKEEIKR令 則有122)(bbbzPVvd2bVEIEIdDRDD 如果引入畸變雙力矩的概念，則 42KIBEIBDDDDDD（c）變截面控制微分方程同樣利用歐拉拉格朗日的條件式，不過 也是 的變量，則Hz)()(212223zPbbbKFvDD0ddDFzDDDDHHFz 242dd22故變截面畸變控制微分方程式為)()(2221223zPbbbKHHHvDDDD 對于如圖所示的雙室矩形箱梁，其畸變微分

23、方程式亦為bVEIEIdRD 2vdPV 16)(1232JhJbEEID 81bsEIR)1 (122344vI2121ss 4196132IbIhbEs41313432IhIbIhIb雙室矩形箱梁 (d)雙室矩形箱梁其畸變微分方程畸變微分方程的邊界條件及其求解方法(1) 邊界條件在工程上，常用的邊界條件有：支點為剛性固定支承，則0, 0DD 簡支梁端部設(shè)置剛性橫隔梁時，則0, 0 DD自由懸臂端且無隔梁時，則0, 0 DD(2) 求解建議 （a）常截面畸變應(yīng)力可用彈性基礎(chǔ)梁比擬法（簡稱 ）求解。 （b）變截面畸變應(yīng)力也能用B.E.F比擬法求解。但是由于地基的彈簧是變的，會遇到求解的困難。用

24、加權(quán)殘值法的配點原理可獲得近似解。 （c）根據(jù)不同邊界條件，用加權(quán)殘值法求解時， 建議如下：B.E.FD 對剛性固定支座， 可取)()(221022zazaalzzD 對自由懸臂端且無橫隔梁時，可取)()(221044zazaalzzD 對簡支梁端部設(shè)置剛性橫隔梁時，可取lznalzalzanDsin2sinsin110事實上，為求得近似解，只取級數(shù)的前幾項就能滿足解答的要求，有時甚至取級數(shù)首項也能得到近似的答案。現(xiàn)以剛性固定支座為例，取 220)(lzzaD )264(2230zllzzaD )66(2220lzlzaD )2(240lzaD 024aD 將上列微分諸式代入變截面畸變控制微分

25、方程中，則殘余值 為)(zR)()(2)( )66(2224224)(1222220322000zPbbblzzaKlzlzaHlzaHHazRv 利用配點法令02 lR16222242)(243312220llKlHllHlPbbbav 可以根據(jù)各截面具體數(shù)據(jù)擬合成一曲線方程，然后通過二次微分求 。代入上式得 ，進(jìn)而求出的應(yīng)力值 。如果取 ，其效果可能更好。H 2lH0a2D)()(1022zaalzzD(3) 用彈性地基梁比擬法（ ）求解常截面箱梁的畸變應(yīng)力B.E.F 由于常截面箱梁畸變控制微分方程 與彈性地基梁撓曲的控制微分方程具有完全相似的表達(dá)式，因此解彈性地基梁的撓度 就等于解箱梁的畸變角 。比擬法在解工程問題上常被采用bVEIEIdDRDD qkyIEy yD下表給出彈性地基梁與箱梁畸變兩種物理模型之間的相似關(guān)系。 彈