2013物理競賽輔導(dǎo)課件1力學(xué)

1、物理競賽輔導(dǎo)力 學(xué) ()2013.11.2參考資料1.2.大學(xué)物理學(xué)張三慧主編3.歷年考題參賽組:非物理類A 組物理組補充知識質(zhì)心質(zhì)心 ( Center of Mass) 一、質(zhì)心的位置對于 N 個粒子組成的系統(tǒng)，定義系統(tǒng)的質(zhì)量中心，其位矢為zCmir iNNrrrååm rm rciiiirr i =1å mii =1 i =1=cNmyOxNNNå mi yi i =1må mi zi i =1må mi xi i =1myc =zcxc對連續(xù)分布的物體，質(zhì)心的位矢為= ò xdmxcmdm = rdVò rr

2、dmò ydmrdm = sdSdm = ldl=rc=ycmm= ò zdmzcm二、質(zhì)心系質(zhì)心在其中靜止的平動參照系。NNrrråi =1åri¢ = ri - rc-) = 0m (rrm r 'iiciii =1z'Nåi =1r¢mi ri = 0ri¢mC O'izy'x'vrricyOxNå mi vr¢i= 0i =1z'質(zhì)心系中ri¢miO'zCv x'y'rircOy（零動量參照系）x質(zhì)心系可能

3、不是慣性系，但質(zhì)心系特殊，動量守恒定律適用，而且總動量為零。v¢i= vi - vc質(zhì)心系中質(zhì)點 mi 的速度:åNrmi v¢i= 0i =1三、質(zhì)心的設(shè)質(zhì)點系的動量為PNrd åmird r rrNriNm= åi =1åi =1Pp= i =1dtiiidtr rNrdm()dråm iir= cdt=m c dtr i =1mrc =p質(zhì)點系的動量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。=mvcdvrc=mvcprdPdt= mF =對于質(zhì)點系：dt定理F:質(zhì)心a質(zhì)心動能定理：r= m dvCrr= mvr× dv

4、r× dlC = marå ext× dlC= mv dv× dlCFCCCCCdt對上式積分得：Wext:合外力沿質(zhì)心位移的功。W= 1 mv2- 1 mv2= DEext2C22C1KC= mrc例（28屆16題，20分），半徑為4d 的圓環(huán)固定在水平面上，內(nèi)側(cè)四個對稱位置上靜放著質(zhì)量均為m 的小木塊1、2、3、4。小木塊與環(huán)壁間無摩擦，與桌面間的摩擦系數(shù)為m。對木 塊1施加大小不變，方向始終沿圓環(huán)切線方向的推力F。木塊1被 推動后相繼與2、3、4 發(fā)生完全非彈性碰撞，最后恰好一起停在木塊 1的初始位置，全過程中木塊1繞行圓環(huán)一周。(1)將四個木塊的

5、系統(tǒng)的質(zhì)心記為C。在圖2的坐標(biāo)平面上準(zhǔn)確畫出質(zhì)心 C 在全過程中的(2)求推力；軌跡；(3)以環(huán)心為參考點，角動量的最大值 Lmax以及系統(tǒng)質(zhì)心曾經(jīng)有過的最大角動量LC,max。24d134圖2圖114x + x ), y= 1 ( y + y+ y+ y )解:(1)質(zhì)心坐標(biāo)34C12344x1 = 4d cosa , x2= 0, x3 = -4d , x4 = 0階段1：y = 4d sin a , y= 4d , y= 0, y= -4d1xC = d cosa - d ,yC = d sin a ,234y階段2階段1( x+ d )2 + y2 = d 2 ,CCa圓心在(-d，0

6、)半徑為d 的圓。x階段2：圓心在(-d，-d) 半徑為2d 的圓。階段3：圓心在(0，-d )半徑為3d 的圓。同理階段3階段4F(2)求推力f根據(jù)質(zhì)心動能定理：11W=mv-mv= DE22extC2C1KC22推力和摩擦力做功。(F - mmg ) 1 (2d ) + ( F - 2mmg ) 1 (22d )44+( F - 3mmg ) 1 (23d ) + (F - 4mmg ) 1 (24d ) = 044F = 3mmg解得：(3)對于O點，系統(tǒng)和質(zhì)心角動量的最大值對于系統(tǒng)：物體一直在圓環(huán)邊上1、2 階段 F > f, 角動量增加；Ff階段2階段134階段 F = f,

7、角動量不變； 階段 F < f, 角動量減小。最大角動量在階段3。r = å rrå階段3階段4 = 4dP kri ´ mivi = 4dm v kLCiiii根據(jù)質(zhì)心動能定理，系統(tǒng)從初態(tài)到木塊3開始的過程中：111(mg) (2d) +(F - 2mmg) (22d) =(4m)F - m2Cv442vC =mgd解得= 4mvC = 4m mgd系統(tǒng)的最大動量為： PC,max系統(tǒng)的最大角動量為：Lmax = 4dP =16md mgd(3)對于O點，質(zhì)心角動量的最大值F階段1質(zhì)心軌跡如圖，f階段21、2 階段,質(zhì)心速率增大距O點的距離增大速度與矢徑間

8、的夾角增大故質(zhì)心的角動量增加;3 階段,質(zhì)心速率保持最大不變距O點的距離逐漸增至最大4d速度與矢徑間的夾角逐漸增至最大90°階段3階段4質(zhì)心最大角動量出現(xiàn)在木塊4被碰撞時刻LC,max = 4dPC,max= 16mdm gd故質(zhì)心的角動量增加，到結(jié)束時最大；4 階段,質(zhì)心速率減小，最終為零距O點的距離保持最大4d速度與矢徑間的夾角保持90° 故質(zhì)心的角動量減小。補充知識角動量對于質(zhì)點和質(zhì)點系rdLM =角動量定律dt質(zhì)點系的內(nèi)力矩和為零.合外力矩對于固定的 z 軸合外力矩為零，質(zhì)點系總角動量守恒。t 2ò M z dt = L2 - L1t1rm rv 

9、0; vvrr ´ pr =ååz'=Loiiiiiri¢iirmiO'z= r + r ¢rx' Cy'icirri= vc + v¢ivic= å m (rv + rv¢)´ (vv+ vv¢ )yOicicixivvvvvvvvåå墢¢¢= r ´(mv) + r´+ (m r )´ v+m r ´m vvccciii ici iiLc= 

10、29; Li¢ip零零Lo = Lc + rv ´ pvcdLvcd(rv ´ pv )= L + rv ´ pvdLOL=+ cdtOccdtdtdLvdpvdrvdr ´ rvv=c+ rc ´+c´ pP = 0cdtdtdtdtvz'dLO= dLcdpv+´rcr ¢dtdtdtmiC O'izy'x'= MOrircOyxdLvcdpvz'dLOv=+ rc ´ dt= MOdtdt¢rimiO'zv= å r &#

11、180; Fx' Cy'MOiirri= å(rv¢+ rv ) ´ FciciyOx= å v¢våri ´ Fi + rc ´Fiv= å rv¢ ´ Fv + rv ´ dp= dLcdpv+ r´iccdtdtdtMc質(zhì)心系中：Mv= dLc cdt例（25th，10分）半徑同為R，質(zhì)量分別為m1=m 和m2= m 的兩個圓盤，邊緣部分分別用長為R和 2R 的輕桿固定地連接后，掛在高度差為R 的兩塊天花板下，可以無摩擦地左右擺動。開始時兩個擺

12、靜止在圖1所示位置。質(zhì)量為m1的擺盤后，將以角速度w0 與質(zhì)量為m2 的靜止擺盤發(fā)生彈性碰撞。試求碰撞后瞬間，兩個擺盤向右擺動的角速度w1和w2 （均帶正負(fù)號）。O2O2O1 RO1 R2R2RR N1RNNRm2m2RRRm1m1w2w1w0圖1解1 ：利用角動量方程，對于擺1 相對于O1 點(以垂直屏幕向外為正)I = 1 mR2= 9 mR22 NDt ·2R = I1 w1 I1 w0+ m(2R)212擺2 相對于O2 點(以垂直屏幕向外為正)NDt ·3R = I2 w2I= 1 m= 19 m= 57 mR 2R2+ m (3R)2R2O22222224O1

13、R對于彈性碰撞有:2RR N112I w+ 1 I122w 2I w2=1122102NNRw0m1Rw2w1整理方程組得到9 mR(w- w ) NDt =1043NDt × R = 57 mR2w24I1 (w1 - w0 )(w1 + w0 ) = - I w 222化簡方程w = - 11 w- 9(w- w) = 19w1010265= 36 ww2(w + w ) = 3w2010265解2 ：對于m1， 利用動量定理。以向右為正N1Dt NDt=mw1·2R mw0·2R =2mR(w1 w0)利用角動量方程，對于O2 點(以垂直屏幕向外為正)擺1：

14、N1Dt ·R NDt ·3R = (IC1 w1+3R mw1·2R) (IC1 w0+3R mw0·2R) 擺2：NDt ·3R = I2 w2I= 1 mR2 , I1219= 57 mR2=+ m (3R)2 =22m Rm Rc12222224O2對于彈性碰撞有，OR1 2R121212R N1I wI wI w+=222112210NNRw0m1R= 1 mR2 + m(2R)2 = 9 mR2I122ww12整理方程組得到N1Dt NDt=2mR(w1 w0)N Dt 3NDt = 13 mR(w- w )10123NDt 

15、15; R = 57 mR2w24I1 (w1 - w0 )(w1 + w0 ) = - I w 222化簡方程w = - 11 w- 9(w- w ) = 19w1010265= 36 ww2(w + w ) = 3w2010265例：（ 18th, 9分 ）均勻細(xì)桿AOB 的A 端、B 端和位置O處各有1個光滑的小孔。先讓桿在光滑的水平大桌面上繞 O 孔以角速度 w0 作順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖（圖平面為大桌面）。A 孔，棍在今將一光滑的細(xì)桿迅速前后無任何水平方向的移動，后，在迅速拔A棍的同時，將另一光滑細(xì)棍B 孔，再次后，又在迅速拔出 B 棍的同如前所述O 孔。試求：最終時，將另一光滑細(xì)棍如

16、前所述后，細(xì)桿AOB 繞O 孔旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角速度的大小。1=1=mlI =2 ,2解I ：Iml¢LAoAB123r= 插A孔前后,角動量守恒 L A入LrLc+ r r=´PAcm , lowI 0=cL =LABAOL ¢IwAAAIwo=1wI=L =ww=LLAA00A¢cAIwo0I4Am , lABAOrc入孔前后wBr =L r + r r´LPBccvcllr r ´oIwLB=A-mvcwr cAw =vc =PA2cLc2-1ml 2wL =B0-124w=wB08¢= IBwB LB反向轉(zhuǎn)了!O孔前后

17、 再次¢ =oIw¢OIw=LoLOoB1-ww=¢w =逆時針轉(zhuǎn)0B08m , lBAO后，細(xì)桿AOB 繞O 孔旋轉(zhuǎn)角速度的大小:最終-1w¢=w角速度的方向：垂直紙面向外。008競賽題選講例：（25th, 13分）長為 L 的均勻軟繩靜止對稱地掛在光滑固定的細(xì)釘上， 如圖1所示。后因擾動， 軟繩朝右側(cè)滑下，某時刻左側(cè)繩段長度記為 x圖 ， 如2所示。（1） x(x < yL) 達(dá)恰好為零？（2） N 恰好為零時，突然將細(xì)釘撤去，再經(jīng)過多長時間t，軟繩恰好處于伸直狀態(tài)？，細(xì)釘為軟繩提供的向上的支持力Nx解： 根據(jù)機械能守恒定律取初態(tài)質(zhì)心處為勢能零

18、點 .末態(tài)質(zhì)心位置:L/40CL/2L/2LxL- xL x L圖1lx( -+l(LlL-xc =x-)(-)4224圖2- 2x2 )( Lxc =4L1 Mv2- Mg=02- x2 ) ( Lx由機械能守恒：24LN0122gC解得：v =- 2 ( Lx )LMgLxNMg =M ac ，N=0, ac = g根據(jù)質(zhì)心定理：) =x(lL= -xlv+ l (v- 2質(zhì)心的動量大小為: pL-xv)c(lL- 2x )(pcL-2x)12g12gvc=- 2v=- 22 ( Lx ) ( Lx )lLM2LLL2Ldx= dvc12gdx-v=L -2x)(-a 2 ( 2)cdtd

19、t2LLdt2gx = 1=-2x2 ) = g解得：x=- 2L )(2 L(240L(2)度為g, 方向向下。撤去釘子后，軟繩質(zhì)心的撤去釘子后瞬間，左（右）側(cè)繩子的速率為122g12v =- 20x =) ( LgLL撤去釘子后瞬間，繩子質(zhì)心的速率為L42g = 1 2gL12gL - ( x22=v = )c0L42LL此時，左側(cè)繩子下端A點與質(zhì)心C的距離為2 -( L- 22x)21L4L4L=+ x-=x+x =x-+0 8LA= C - x0c04L0c4繩子一旦伸直， A點與質(zhì)心C的距離為 yL 。x0LACxcLx0選擇坐標(biāo)系S以 ， 它g大小的度相對v左S地面向下，且在撤去釘

20、子后瞬Sx0A12間相對于地面速度大小為gLvcSCS系中，撤去釘子后，左側(cè)繩子的速率為1+ 1v =gLgLg方L 向向上。Lx0左S22S系中，撤去釘子后，繩子質(zhì)心的速率為2-12gL - 12方向向上。v=42gLgLcS4S系中A點與質(zhì)心C的速率差為+2-=222-v =-4vgLgLgL左Sc S4撤去釘子后瞬間，左側(cè)繩子下端A點與質(zhì)心C的距離為22 - 1 LAC =8繩子一旦伸直， A點與質(zhì)心C的距離為 yL。S系中A點與質(zhì)心C的速率差為2 +2- v=vgL左ScS4繩子伸長所用的時間為L - 22 - 1 LL - AC14 - 92Lg= 28t = 2=2 +244- v

21、cSv左SgLv左Sx0SAvcSCLx0例（19th,9分）如圖，表面光滑的剛體無轉(zhuǎn)動地豎直下落。圖中虛線對應(yīng)過剛體唯一的最低點部位P1 的水平切平面。圖中豎直虛線P1 P2對應(yīng)著過 P1 點的鉛垂線， C 為剛體的 質(zhì)心。設(shè)C與鉛垂線P1 P2確定的平面即為鉛垂面，將C 到P1 P2 的距離記為 d，剛體質(zhì)量為 m 。剛體相對于過 C 點且與圖平面垂直的水平轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動慣量為 IC 。設(shè) ICmd 2。已知剛體與水平地面將發(fā)生的碰撞為彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣的點部位，它們在剛體與地面碰撞前、后的兩個瞬間，速度方向相反，大小不變。P2解：P2NP1vcdyCv0dCP1v

22、c解：NDt = mvc - m(-v0 )yPPNDtd = Icw121212P12I w=220mv+mvccIc - md 2vc =Iv0+ md 2v = v + w × x = vcc0x = d2mdw =v0I + md 2c20dCN例:（16th，13分）長為 l ，質(zhì)量為m 的細(xì)桿，置于光滑水平面上，可繞過桿的中點 O 的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動，初始時桿靜止。有一質(zhì)量與光滑桿相同的小球沿與桿垂直的速度 v 飛來，與桿碰撞并粘在桿端點上，如圖。（1）定量分析系統(tǒng)狀態(tài)。（2）若去掉固定軸，桿中點不固定，再碰撞后的碰撞后的狀態(tài)。解： （1）角動量守恒mv l=( 1+1

23、m2 )lw2 mlCO2124w = 3vv2lm以 3v/2l為角速度做勻角速轉(zhuǎn)動。去掉固定軸，桿中點不固定質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動桿小球系統(tǒng)，動量守恒OCC= vmmv = 2mvvvcc2桿小球系統(tǒng)，外力矩為零，角動量守恒，m l + m × 0l4新質(zhì)心C位置 2=m + mmv l = (J)w¢+ J對新質(zhì)心Cc1c 24rd LM c=c d tlmv 4 = (Jc1 + Jc 2 )w¢對新質(zhì)心CCC71l=ml 2=ml 2 + m()42J l448c112mv（平行軸定理）w¢ = 6v l= m() 42J5lc 2系統(tǒng)質(zhì)心的平

24、動速率為 yv，系統(tǒng)繞過質(zhì)心的軸以 w¢ 6 v /5l轉(zhuǎn)動。為角速度做勻角速例:(15th,11) 兩個質(zhì)量相同的小球A 、B,用長為 2a 的無彈性且的不可伸長的繩子聯(lián)結(jié)。開始時A、B 位于同一豎直線上， B在A。今給A 一水平初速度v0 ， 同時靜的下方， 相距為a，B ，不計空氣阻力。且設(shè)繩子一旦伸直便不再回縮，問：止經(jīng)過多長時間，A、B 恰好在同一水平線上？解： 從到繩子拉直所用時間v0oA2tacos=30 3 aA=1v0v030°yv02 aC選擇質(zhì)心系，角動量守恒繩子拉緊前， A 、B相對于質(zhì)心的速度大小為 yv0。aByv0B，角速度設(shè)為w.繩子拉緊后，

25、 A 、B相對于質(zhì)心做圓周rd LcM c=d tMv= dLc解：對于質(zhì)心有M= 0ccdtv062ma2w = 2masin2A30°yv 1v02aw = 20 a22w = v0Cyv04aBq = w t26= 2a3v03 + 2) a =t2t = t+ t= (6w12v30例： 某慣性系中有兩個質(zhì)點A、B， 質(zhì)量分別為 m1、 m2 ，它們之間只受萬有引力作用。開始時兩質(zhì)點相距 l0，質(zhì)點A靜止， 質(zhì)點B 沿連線方向的初速度為 v0 。為使質(zhì)點 B 維持速度v0不變，可對質(zhì)點 B 沿連線一變力 F，試求：（1）兩質(zhì)點的最大間距，及間距為最大時的 F 。（2）從開始時

26、刻到間距最大的過程中，變力 F 作的功（相對慣性系）。2Gm2v0 <（G為引力常數(shù)）解： 以 m2 為 S系l0rv0m1ffFm1 S m2FABv0l0S解：（1）以 m2 為 S¢ 系rv0fm1fF12- G m1m2= - G m1m22vm機械能守恒10ll0max2Gm2=llmax02Gm - l v2200(2Gm - l v2 )2 mm1m2m1m2F = G= G=2001224l 2Gmrlmax02m1S m2FABv0l0S（2）S系中當(dāng) l = lmax 時，m1的速度v = v0由動能定理，對（m1+ m2 ）= 1 (m1+ W+ m)v2

27、 -2m vWF一對 f1202022lmaxòl0rrvm=f ×drW一對 f10flmaxòm mm mm m=- G122 dr= G12 - G12 rlmaxl0l0m1m2FABv0l0S= 1 (m1+ W+ m)v2 -2m vWF一對 f1202022= G m1m2- G m1m2W一對 fllmax0= 1 (m12- G m1m2 + G m1m2+ m)v2 -2vWmF12020lmaxl02例：（8th,12）小滑塊A 位于光滑水平桌面上，小滑塊 B 處于位于桌面上的光滑小槽中，兩滑塊的質(zhì)量均是 m ，用長為 L 且不可伸長、無彈性

28、的輕繩連接。開始時A、B 間的距離為 yL, A、B 間的連線與小槽垂直（如圖 ）。今給滑塊一沖擊，使之獲得平行于槽的速度v0 ，求滑塊 B 開始時的速度。v1 y解：滑塊A和B組成的系統(tǒng)在y 方向動量守恒。 yv1 xq= mv2+m vm1yv0A、B組成的系統(tǒng)對原B所在處角動量守恒，L =sinq +cosqLmvvLmv0mrL1 x1 y2v0Aq = B3m v0=yL3+mv1myv1x以 B 為參照系，A 相對于B 的為以 B 中心的圓， A 相v¢對于B 的速度為v¢vsinq1 y=ìvr1r¢¢vy= v 2+vv 

29、37;1 xv1v cosq +¢vî2 v1 x1 yA= 3qv1 x2L= 1 v¢ +v0vv1 y222B= mv+3m vmvyL021y=mv+m vmv01x1y= 3vv解得207vvr¢1 yqv1 xqAv2LBv2例（27, 15分）將一條邊AB1長度等于3L，另外一條邊AB2長度等于4L的長方形閉合光滑細(xì)管道AB1CB2 ，按照圖示方式懸掛在豎直平面內(nèi)，上端點A和下端點C 均被固定，對角線AC處于豎直方位。 t = 0時刻，將靜止在A端兩側(cè)的小球1，2同時。假設(shè)管道在B1，B2有極小圓弧段，可確保小球無碰撞地拐彎，且 拐彎時間可

30、略。（1） 試求球1沿AB1C通道到達(dá)C端的時刻T1和球2沿AB2C到達(dá)C 端的時刻T2（不考慮1、2球是否會碰撞）。（2） 將（1）問所得T1、 T2中較小者記為T0，假設(shè)管道均勻， 球1，2 質(zhì)量同為m，將固定端C所受水平力記為 F ，試求在0 t T0r（略去小球在B1或B2拐彎處的無窮小時段）時間范圍還是朝右）和大小F。內(nèi)，確定 F 的方向（A12B1B2CAa3解：（1）1球AB1段到達(dá)B1所用的時間為a = g sina =g5B1amg2 AB110L=T11aagmgB23v1 = aT11=5到達(dá)B1的速度大小為10gLs = v t + 1 at 2= 4 gCa = g

31、cosa1球B C段01524L = 310gL × T+ 1 4 gT2121252 510L + 110L = 310L= 110LT = T+ T=T1111212g2g2g2gAa4解：（1）2球AB2段到達(dá)B2所用的時間為a = g cosa =g51amgB12amg2 AB210L=T21agB24v2 = aT21=510gL到達(dá)B2的速度大小為s = v t + 1 at 2= 3 gCa = g sina1球B C段01523L = 410gL × T+ 1 3 gT2222252 510L + 110L = 410L= 110LT = T+ T=T22

32、12222g3g3g3g= 310L= 410L(2) 比較 T , TTT12122g3g= 410LT03g且 T11=T21 = t0即球1、2同時到達(dá)B1、B2點。在時間間隔 0 t t0, 框架受兩個小球的作用力為N1=mgcosa , N2= mgsin aN'1As1aN'2B1s2N1 N2mg兩個A點的力矩分別為amg1agN1 s1= mg coas2t方向 ：sin2B212msginaga cos2t2s2=方向 ：N兩個力的力矩和為零。 力矩平衡，因此 F= 0在時間間隔 t0 t T0N1=mgsina , N2= mgcos aa1=gcosa ,

33、a2= gsin a兩個A點的力矩分別為3 1g0L514× (¢ =msing a-t (t +-t)2Ns) 2g11005g= mg 96-t (+-t)21g0Lt)( 25t0025方向 ：mcogs a 4 1g0L13× (¢ =-t (t +-t)2Ns) 2g220055= mg16 1g0L6-t (+g-t)2t方向 ：t)( 2500257=( -t合力矩Mt ) 方向 ：mg 10 25gL0As'1N'1tN1as'N'22mgaN2mgt方向：兩個力矩7=( -tMmg 10 25gLt )0

34、矩形管道平衡，C點處水平力的力矩向里，故力的方向向左，大小7mg10 gL( -tt )0F =255L710g10L=- t mg ()125LgAs1N'1N1aN'2mgs2aFCN2mg螺線 r = r0q /p 設(shè)置的水平例(27th, 20分)：按固定細(xì)長管道，內(nèi)壁光滑。質(zhì)量為m 的小球在管道內(nèi)以 v0 速度,從r = 0, q = 0位置開始，直到 q = 2kp (k=1,2,¼ ) 為止。（1） 參考題（2） 將小球在提示，試求全過程所用的時間Tk 。過程中受管壁彈力的大小記為N，求全過程時間段內(nèi)N的平均值 N 的近似表提示：平面極坐標(biāo)系中無限小曲線段長d度積分參考公式。 (rq)22d=(+ldr)a2x+ òa222222x= dxa+2x +xln( 2a+x)+c解