第五章內壓薄壁容器的應力

1、第五章第五章 內壓薄壁容器的應力分析內壓薄壁容器的應力分析 主要介紹回轉殼體的概念、應力分析，結論薄膜應力理論的推導和應用。2.1 1.00iiDDKD或薄壁容器薄壁容器容器的厚度與其最大截面圓的容器的厚度與其最大截面圓的內徑之內徑之比小于比小于0.10.1的容器稱為薄壁容器。的容器稱為薄壁容器。（超出這一范圍的稱為厚壁容器）（超出這一范圍的稱為厚壁容器）應力分析是強度設計中首先要解決的問題應力分析是強度設計中首先要解決的問題一、薄壁容器及其應力的特點第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 一、薄壁容器及其應力的特點（二）薄壁容器的應力特點1、筒體的主要部分兩向應力。設備的主體

2、部分應力狀態(tài)。薄膜應力定量計算（）2、除有兩向應力外，增加封頭的彎曲作用。應力復雜。邊緣應力定性分析o當圓筒容器承受內壓力當圓筒容器承受內壓力P P作用以后，其直徑要稍微增大，故圓作用以后，其直徑要稍微增大，故圓筒內的筒內的“環(huán)向纖維環(huán)向纖維”要伸長，因此在筒體的縱截面上必定有應要伸長，因此在筒體的縱截面上必定有應力產(chǎn)生，此應力稱為力產(chǎn)生，此應力稱為環(huán)向應力環(huán)向應力，以，以表示；表示；o由于容器兩端是封閉的，在承受內壓后，筒體的由于容器兩端是封閉的，在承受內壓后，筒體的“縱向纖維縱向纖維”也要伸長，則筒體橫向截面也有應力產(chǎn)生，此應力稱為也要伸長，則筒體橫向截面也有應力產(chǎn)生，此應力稱為徑向應徑向

3、應力力，以表示。，以表示。mm第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念1、回轉殼體：平面內平滑曲線繞平面內固定軸線旋轉360形成的殼體。沒有拐點第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念1、回轉殼體：（1）曲線有拐點 （2）回轉軸不固定回轉軸第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念2、軸對稱軸對稱：指幾何形狀、約束條件、所受外力對稱于回轉軸。即：同一緯度上各點的應力狀態(tài)相同，便于設計。mm第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念3、中間面中間面：指與殼體的內外表面等距的曲面。mm中間面第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（

4、一）概念4、母線母線：指形成回轉殼體的平面曲線。第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念5、經(jīng)線經(jīng)線：通過回轉軸的平面與一側回轉面的割（交）線。經(jīng)線第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念5、經(jīng)線經(jīng)線：指出任意點的經(jīng)線。第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念6、法線法線：通過曲面上的一點并垂直于曲面的直線稱為曲面在該點的法線。AB第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念6、法線法線：指出任意點的法線。第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念7、緯線緯線：過回轉軸上一點做母線的垂線，以該垂線為母線，殼體回轉軸為軸，

5、所形成的錐面與殼體的割（交）線。第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念7、緯線與平行圓（垂直于回轉軸的平面與殼體的割線叫平行圓）緯線平行圓第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念8、第一曲率半徑R1：過該點的經(jīng)線在該點的曲率半徑。第一曲率半徑NOO第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念9、第二曲率半徑R2：過該點垂直于經(jīng)過該點經(jīng)線的平面與殼體的割（交）線在該點的曲率半徑。K2K22K過M點可作無數(shù)平面，每一平面與回轉曲面相交均有交線，每條交線都在M點有不同的曲率半徑，但我們只關心下面三個：o過過M M點與回轉軸作一平面，即點與回轉軸作一平面，

6、即MAOMAO平面，稱為經(jīng)線平面，稱為經(jīng)線平面。在經(jīng)線平面上，經(jīng)線平面。在經(jīng)線平面上，經(jīng)線ABAB上上M M點的曲率半點的曲率半徑稱為徑稱為第一曲率半徑第一曲率半徑，用，用R R1 1表示表示 ；o過過M M點作一與回轉軸垂直的平面，該平面與回轉點作一與回轉軸垂直的平面，該平面與回轉軸的交線是一個圓，稱為回轉曲面的平行圓，也軸的交線是一個圓，稱為回轉曲面的平行圓，也稱為緯線，此平行圓的圓心一定在回轉軸上；稱為緯線，此平行圓的圓心一定在回轉軸上；o過過M M點再作一與經(jīng)線點再作一與經(jīng)線ABAB在在M M點處切線相垂直的平點處切線相垂直的平面，該平面與回轉曲面相交又得一曲線，這一曲面，該平面與回轉

7、曲面相交又得一曲線，這一曲線在線在M M點的曲率半徑稱為點的曲率半徑稱為第二曲率半徑第二曲率半徑，用，用R R2 2表表示；示； v若自若自K2K2點向回轉曲面作一個與回轉曲面正交的圓錐面，則該圓錐面點向回轉曲面作一個與回轉曲面正交的圓錐面，則該圓錐面與回轉曲面的交線也是一個圓與回轉曲面的交線也是一個圓緯線；緯線；v就普通回轉體而言，用與軸線垂直的平面截取得到的殼體截面與用就普通回轉體而言，用與軸線垂直的平面截取得到的殼體截面與用上述圓錐面截取得到的殼體截面是不一樣的，前者是殼體的橫截面，上述圓錐面截取得到的殼體截面是不一樣的，前者是殼體的橫截面，并不能截出殼體的真正厚度并不能截出殼體的真正厚

8、度( (圓柱形殼體除外圓柱形殼體除外) )，而后者稱為殼體的，而后者稱為殼體的錐截面，截出的是回轉體的真正壁厚；錐截面，截出的是回轉體的真正壁厚；v第一曲率半徑第一曲率半徑R1R1的簡單求法：經(jīng)線的曲率半徑；的簡單求法：經(jīng)線的曲率半徑；v第二曲率半徑第二曲率半徑R2R2的簡單求法：經(jīng)線到回轉軸的距離。的簡單求法：經(jīng)線到回轉軸的距離。abR2=a? R2=b? R2=a曲率及其計算公式曲率及其計算公式在光滑弧上自點 M 開始取弧段, 其長為,s對應切線,定義弧段 上的平均曲率ssKMMs點 M 處的曲率sKs0limsdd注意注意: 直線上任意點處的曲率為 0 !轉角為例例1.1. 求半徑為R

9、的圓上任意點處的曲率 .解解: 如圖所示 ,RssKs0limR1sRMMytan)22(設y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率計算公式為sKdd23)1(2yyK 又曲率K 的計算公式)(xfy 二階可導,設曲線弧則由曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑Tyxo),(D ),(yxMC設 M 為曲線 C 上任一點 , 在點在曲線KDM1 把以 D 為中心, 為半徑的圓叫做曲線在點 M 處的曲率圓 , 叫做曲率半徑,D 叫做曲率中心.M 處作曲線的切線和法線,的凹向一側法線上取點 D 使 第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（一）概念例題例題：求

10、圓筒，圓錐，圓球上A、B、C點的第二曲率半徑。ADBDDCx第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（二）應力分析的基本假定 把工程實際中的對結果影響較小因素忽略，以簡化理論分析的復雜性。工程思想 1、小位移假設：受內壓膨脹變形量與半徑之比可以忽略不記。簡化微分階數(shù)。RRRR誤差允許第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（二）應力分析的基本假定 2、直法線假設：曲面上任意一點的法線在受力后與受力前是同一條直線。計算角度的基準不變，減少角度的微分量。第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 二、概念和基本假設（二）應力分析的基本假定 3、不擠壓假設：殼體在膨脹后纖維互相不擠壓，在法線方向不存在應

11、力。三向應力狀態(tài)可以簡化為兩向應力狀態(tài)，即平面問題。 m第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 三、經(jīng)向應力的計算公式區(qū)域平衡 經(jīng)向應力，經(jīng)向應力，MPa p p 工作壓力，工作壓力，MPa R R2 2 第二曲率半徑，第二曲率半徑，mm 壁厚，壁厚，mm用假想截面將殼體沿經(jīng)線的法線方向切開，即平行圓直徑用假想截面將殼體沿經(jīng)線的法線方向切開，即平行圓直徑D D 處有垂直處有垂直于經(jīng)線的于經(jīng)線的法向圓錐面法向圓錐面截開，取下部作脫離體，建立靜力平衡方程式。截開，取下部作脫離體，建立靜力平衡方程式。22pRmm1 1、截面法、截面法第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 三、經(jīng)向應力的計算公式區(qū)域平衡思考：為什么不能用橫

12、截面？思考：為什么不能用橫截面？Z軸上的合力為軸上的合力為Pz作用在截面上應力的合力作用在截面上應力的合力在在Z軸上的投影為軸上的投影為Nz在在Z 方向的平衡方程方向的平衡方程pDPz24sinDNmz0zzNPsin2 sin2 0sin4222RDDRDpDm22pRm圖圖5-5 回轉殼體上的徑向應力分析回轉殼體上的徑向應力分析第一節(jié) 回轉殼體的應力分析 已求得經(jīng)向應力m=pR2/2，求環(huán)向應力，取小微分體，如圖所示。mmmmK22K1KK1122lddl1四、環(huán)向應力計算公式微體平衡方程式pRRm21殼體的內外表面殼體的內外表面兩個相鄰的，通過殼兩個相鄰的，通過殼體軸線的體軸線的 經(jīng)線平

13、面經(jīng)線平面兩個相鄰的，與殼體兩個相鄰的，與殼體正交的園錐法截面正交的園錐法截面 經(jīng)向應力經(jīng)向應力,MPa 環(huán)向應力，環(huán)向應力，MPa p 工作壓力工作壓力.MPa R1 第一曲率半徑，第一曲率半徑，mm R2 第二曲率半徑第二曲率半徑,mm 壁厚，壁厚，mmm圖圖3-6 確定環(huán)向應力微元體的取法確定環(huán)向應力微元體的取法1、截取微元體、截取微元體微元體微元體abcd 的受力的受力上下面：上下面： 內表面：內表面：p 環(huán)向截面：環(huán)向截面：m圖圖5-7 微小單元體的應力及幾何參數(shù)微小單元體的應力及幾何參數(shù)內壓力內壓力p在微體在微體abcd上所產(chǎn)生的外力上所產(chǎn)生的外力的合力在法線的合力在法線n上的投影

14、為上的投影為Pn 在在bc與與ad截面上經(jīng)向應力截面上經(jīng)向應力 的合力的合力在法線在法線n上的投影為上的投影為Nmn21dlpdlPn2sin212dSdlNmmn在在ab與與cd截面上環(huán)向應力截面上環(huán)向應力 的合力的合力在法線在法線n 上的投影為上的投影為mnN2sin221dSdlNn2、回轉殼體的經(jīng)向環(huán)向應力分析、回轉殼體的經(jīng)向環(huán)向應力分析圖圖3-8 回轉殼體的環(huán)向應力分析回轉殼體的環(huán)向應力分析根據(jù)法線根據(jù)法線n n方向上力的平衡條方向上力的平衡條件，得到件，得到 = 0 nNnPmnN即21dlpdl-2sin212dSdlm-2sin221dSdl=0 （3- 8） 因為微體的夾角1

15、d與2d很小，因此取 2sin1d21d=112Rdl 2sin2d22d=222Rdl 代入式（3- 8） ，并對各項均除以21dlSdl，整理得 即即即21dlpdl-2sin212dSdlm-2sin221dSdl=0 （ 3-8） 因 為 微 體 的 夾 角1d與2d很 小 ， 因 此 取 2sin1d21d=112Rdl 2sin2d22d=222Rdl 代 入 式 （ 3-8） ， 并 對 各 項 均 除 以21dlSdl， 整 理 得 微元體的夾角微元體的夾角 和和 很小，可取很小，可取 1d2d（式1）式式1 1各項均除以各項均除以 整理得整理得即21dlpdl-2sin212

16、dSdlm-2sin221dSdl=0 （3-8） 因為微體的夾角1d與2d很小，因此取 2sin1d21d=112Rdl 2sin2d22d=222Rdl 代入式（3-8） ，并對各項均除以21dlSdl，整理得 pRRm21回轉殼體曲面在幾何上是軸對稱回轉殼體曲面在幾何上是軸對稱, ,殼體厚度無突變；曲殼體厚度無突變；曲率半徑是連續(xù)變化的，材料是各向同性的，且物理性能率半徑是連續(xù)變化的，材料是各向同性的，且物理性能（主要是（主要是E E和和）應當是相同的）應當是相同的載荷在殼體曲面上的分布是軸對稱和連續(xù)的載荷在殼體曲面上的分布是軸對稱和連續(xù)的殼體邊界的固定形式應該是自由支承的殼體邊界的固定

17、形式應該是自由支承的殼體的邊界力應當在殼體曲面的切平面內，要求在邊界殼體的邊界力應當在殼體曲面的切平面內，要求在邊界上無橫剪力和彎矩上無橫剪力和彎矩/Di0.1無力矩理論是在旋轉薄殼的受力分析中忽略了彎矩的作用。無力矩理論是在旋轉薄殼的受力分析中忽略了彎矩的作用。此時應力狀態(tài)和承受內壓的薄膜相似，又稱薄膜理論。此時應力狀態(tài)和承受內壓的薄膜相似，又稱薄膜理論。五、薄膜理論的適用條件五、薄膜理論的適用條件第二節(jié) 薄膜理論的應用 pRRm2122pRm區(qū)域平衡方程式區(qū)域平衡方程式微體平衡方程式微體平衡方程式1R，22DrR 由 區(qū) 域 平 衡 方 程 式=SPD4 代 入 微 體 平 衡 方 程 式

18、， 得 =SPR2=SPD2 一、受氣體內壓的圓筒形殼體一、受氣體內壓的圓筒形殼體圖圖3-9 受氣體內壓的圓筒形殼體受氣體內壓的圓筒形殼體討論討論1：薄壁圓筒上開孔的有利形狀：薄壁圓筒上開孔的有利形狀 環(huán)向應力是經(jīng)向應力環(huán)向應力是經(jīng)向應力的的2 2倍，所以環(huán)向承受應倍，所以環(huán)向承受應力更大，環(huán)向上就要少削力更大，環(huán)向上就要少削弱面積，故開設橢圓孔時，弱面積，故開設橢圓孔時，橢圓孔之短軸平行于筒體橢圓孔之短軸平行于筒體軸線，見圖軸線，見圖圖圖3-10 薄壁圓筒上開孔薄壁圓筒上開孔討論討論2：介質與壓力一定，壁厚越大，是否應力就越?。航橘|與壓力一定，壁厚越大，是否應力就越小mm筒長為L 周長為K二

19、、受氣體內壓的球形殼體二、受氣體內壓的球形殼體討論：對相同的內壓，球殼應力比同直徑、討論：對相同的內壓，球殼應力比同直徑、 同同厚度的圓筒殼的應力有何不同呢？厚度的圓筒殼的應力有何不同呢？結論：對相同的內壓，球殼的環(huán)向應力要比同結論：對相同的內壓，球殼的環(huán)向應力要比同直徑、直徑、 同厚度的圓筒殼的環(huán)向應力小一半，這同厚度的圓筒殼的環(huán)向應力小一半，這是球殼顯著的優(yōu)點。是球殼顯著的優(yōu)點。 12222byax22222xabby橢圓殼經(jīng)線為一橢橢圓殼經(jīng)線為一橢圓，圓，a a、b b分別為橢分別為橢圓的長短軸半徑，圓的長短軸半徑，其曲線方程其曲線方程yxaby22/324/1yaby23211yyR

20、babaxaR42/322241)(三、受氣體內壓的橢球殼三、受氣體內壓的橢球殼1、第一曲率半徑、第一曲率半徑R1如圖，自任意點如圖，自任意點A（x,y）作經(jīng)）作經(jīng)線的垂線，交回轉軸于線的垂線，交回轉軸于O點，點，則則OA即為即為R2 ，根據(jù)幾何關系，根據(jù)幾何關系，可得可得bbaxaR2/122242)(2、第二曲率半徑第二曲率半徑R2圖圖3-11 橢球殼的應力分析橢球殼的應力分析)(2 )(2)(2222442224222241baxaabaxabpbaxabp把把R1和和R2的表達式代入微體平衡方程及區(qū)域平衡方程得：的表達式代入微體平衡方程及區(qū)域平衡方程得：ma,b分別為橢球殼的長、短半徑

21、，分別為橢球殼的長、短半徑，mm ; x 橢球殼上任意點距橢球殼中心軸的距離橢球殼上任意點距橢球殼中心軸的距離mm 其它符號意義與單位同前。其它符號意義與單位同前。3、應力計算公式、應力計算公式由由 和和 的公式可知：的公式可知：m在在x=0處處)(2bapam)2(2,222bapapam在在x=a處處4、橢圓形封頭的應力分布、橢圓形封頭的應力分布(1)(1)在橢圓形封頭的中心在橢圓形封頭的中心(x=0(x=0處處),),經(jīng)向應力與環(huán)向應力相等。經(jīng)向應力與環(huán)向應力相等。(2)(2)經(jīng)向應力經(jīng)向應力恒為正值，是拉應力。恒為正值，是拉應力。(3)(3)周向應力最大值在周向應力最大值在x=0 x=

22、0處，最小值在處，最小值在x=ax=a處。處。橢圓形封頭上的應力分布在x=0處，baSPam2 在x=a處，SPam22222baSPa 徑向應力恒為正值，且最大在x=0處，最小值在x=a處； 環(huán)向應力在x=0處時大于零；在 x=a處卻不一定：；時，時，即02/0222baba；時，時，即02/0222baba；時，時，即02/0222baba 頂點應力最大，經(jīng)向應力與環(huán)向應力是相等的拉應力。頂點應力最大，經(jīng)向應力與環(huán)向應力是相等的拉應力。 頂點的經(jīng)向應力比邊緣處的經(jīng)向應力大一倍。頂點的經(jīng)向應力比邊緣處的經(jīng)向應力大一倍。 頂點處的環(huán)向應力和邊緣處相等但符號相反。頂點處的環(huán)向應力和邊緣處相等但符

23、號相反。 應力值連續(xù)變化。應力值連續(xù)變化。pampapam2標準橢圓形封頭標準橢圓形封頭a/b=2在在x=0處處在在x=a處處圖圖5-12 橢圓形封頭的應力分布橢圓形封頭的應力分布圓錐形殼半錐角為圓錐形殼半錐角為 ，A A點處半點處半徑徑r r，厚度為，厚度為，則在，則在A A點處：點處：cos 21rRRcos2prm cospr四、受氣體內壓的錐形殼體四、受氣體內壓的錐形殼體圖圖5-13 錐殼的應力分析錐殼的應力分析在錐形殼體大端在錐形殼體大端r r= =R R時，應力最大，在錐頂處，應力為零。因時，應力最大，在錐頂處，應力為零。因此，一般在錐頂開孔。此，一般在錐頂開孔。 錐形殼體環(huán)向應力

24、是經(jīng)向錐形殼體環(huán)向應力是經(jīng)向應力兩倍，隨半錐角應力兩倍，隨半錐角a a的增的增大而增大大而增大角要選擇合適，不宜太大角要選擇合適，不宜太大cos4pDm cos2pD錐頂錐頂錐底各點應力錐底各點應力圖圖3-14 錐形封頭的應力分布錐形封頭的應力分布1碟形殼體的組成碟形殼體的組成五、受氣體內壓的碟形殼體五、受氣體內壓的碟形殼體圖圖5-15 碟形殼體的應力分析碟形殼體的應力分析obb段是半徑為R的球殼；oac段為半徑為r的圓筒；oab段為連接球頂與圓筒的褶邊，是過渡半徑為r的圓弧段。v對于球頂部分與圓筒部分，分別按相應公式計算其薄膜應力；v對于褶邊過渡部分：PRSRm222sinsinsin2SP

25、Rm221221222222rRSPRrRSPRSPRsin2sin11112rDrrrrR 有：依理論：碟形殼體的應力分布碟形殼體的應力分布【例例3-13-1】有一外徑為219的氧氣瓶，最小壁厚為=6.5mm,材質為40Mn2A,工作壓力為15MPa,試求氧氣瓶筒壁內的應力。解：解：氧氣瓶筒身平均直徑：氧氣瓶筒身平均直徑：mm5 .2125 . 62190DD經(jīng)向應力：經(jīng)向應力：MPa6 .1225 . 645 .212154pDm環(huán)向應力：環(huán)向應力：2 .2455 . 625 .212152pDMPa【例例3-23-2】有圓筒形容器，兩端為橢圓形封頭，已知圓筒平均直徑D=2020mm,壁厚

26、=20mm,工作壓力p=2MPa。 (1)試求筒身上的經(jīng)向應力 和環(huán)向應力 (2)如果橢圓形封頭的a/b分別為2， 和3，封頭厚度為20mm，分別確定封頭上最大經(jīng)向應力與環(huán)向應力及最大應力所在的位置。2m 圖圖3-16 例例3-2附圖（附圖（1）解：解：求筒身應力求筒身應力經(jīng)向應力：經(jīng)向應力：)(5 .50204202024MPapDm 環(huán)向應力：環(huán)向應力：)(101202202022MPapD 2 2求封頭上最大應力求封頭上最大應力a/b=2a/b=2時，時，a=1010mm,b=505mma=1010mm,b=505mm在在x=0處處)(101220210102)(2MPabapam )(5 .50202101022MPapam 在在x=a處處)(101)42(20210102)2(222MPabapa 最大應力有兩處：一處在橢圓形封頭的頂點，即最大應力有兩處：一處在橢圓形封頭的頂點，即x=0 x=0處；處；一處在橢圓形封頭的底邊，即一處在橢圓形封頭的底邊，即x=ax=a處。如圖處。如圖3-17a3-17a所示。所示。a/b= a/b= 時，時，a