函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性ppt課件

1、3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1. 單調(diào)性判別法單調(diào)性判別法2. 單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用3. 曲線凹凸性與拐點(diǎn)的概念曲線凹凸性與拐點(diǎn)的概念4. 曲線凹凸性與拐點(diǎn)的判別法曲線凹凸性與拐點(diǎn)的判別法一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法定理定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在在,ba上連續(xù)上連續(xù), 在在),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(1)則函數(shù)則函數(shù))(xfy 在在,ba上單調(diào)增加上單調(diào)增加;(2)則函數(shù)則函數(shù))(xfy 在在,ba上單調(diào)減少上單調(diào)減少;證證),(,21baxx 且且,21xx 應(yīng)用拉氏定理得應(yīng)用拉氏定理得)( )

2、()(1212xxfxfxf ),(21xx , 012 xx),(ba內(nèi)內(nèi), 0)( xf若在若在),(ba內(nèi)內(nèi), 0)( xf若在若在若在若在),(ba內(nèi)內(nèi), 0)( xf).()(12xfxf 在在)(xfy ,ba上單調(diào)增加上單調(diào)增加.若在若在),(ba內(nèi)內(nèi), 0)( xf).()(12xfxf )(xfy 在在,ba上單調(diào)減少上單調(diào)減少.那么那么, 0)( f那么那么, 0)( f例例 1討論函數(shù)討論函數(shù)1 xeyx的單調(diào)性的單調(diào)性. 1 xey又又).,( : D解解在在)0 ,(內(nèi)，內(nèi)，, 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；在在), 0(內(nèi)，內(nèi)，, 0 y函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加

3、.注：注：函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，完完數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.要用導(dǎo)要用導(dǎo)而不能用一點(diǎn)處而不能用一點(diǎn)處單調(diào)區(qū)間的求法單調(diào)區(qū)間的求法問(wèn)題問(wèn)題: 如何確定函數(shù)在定義域內(nèi)各部分區(qū)間上函如何確定函數(shù)在定義域內(nèi)各部分區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性數(shù)的單調(diào)性.定義定義: 若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注意注意:導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn), 均可能是單調(diào)均可能是

4、單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)區(qū)間的分界點(diǎn).方法方法: 用方程用方程0)( xf的根的根來(lái)劃分函數(shù)來(lái)劃分函數(shù))(xf的定義區(qū)間的定義區(qū)間, 然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)數(shù)的符號(hào).)( xf不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)及及完完例例 2討論函數(shù)討論函數(shù)32xy 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解).,( : D332xy ),0( x當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)， 導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在. 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，0 x, 0 y在在0 ,(上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)， x0, 0 y在在 , 0上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為0 ,(，.), 0 注意注意區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零不影響

5、區(qū)間的單調(diào)性.例如，例如，,3xy , 00 xy但是但是),( 上單調(diào)增加上單調(diào)增加.完完例例3 確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23 xxxxf的單調(diào)區(qū)的單調(diào)區(qū)解解).,( : Dxxxxf12186)(2 ),2)(1(6 xx解方程解方程0)( xf得得. 2, 121 xx當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)，, 0)( xf)(xf在在1 ,(上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng)21 x時(shí)，時(shí)，, 0)( xf)(xf在在2 , 1 上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；間間.)(xf在在), 2上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng) x2時(shí)，時(shí)，, 0)( xf單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為,1 ,(,2 , 1)., 2 例例 4試證明：試

6、證明： 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，.21)1ln(2xxx 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù),21)1ln()(2xxxxf 因?yàn)橐驗(yàn)?(xf在在), 0 上連續(xù)，上連續(xù)，在在), 0(內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，xxxf 111)(,12xx 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，, 0)( xf又又. 0)0( f故當(dāng)故當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，, 0)0()( fxf所以所以.21)1ln(2xxx 完完且且例例 5證明方程證明方程015 xx在區(qū)間在區(qū)間)0 , 1( 內(nèi)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根有且只有一個(gè)實(shí)根.證證 令令, 1)(5 xxxf因因)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間0 , 1 上連續(xù)，上連續(xù)， 且且)1( f1 , 0 )0(f1 . 0 根

7、據(jù)零點(diǎn)定理根據(jù)零點(diǎn)定理)(xf在在)0 , 1( 內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，另一方面， 對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù),x有有)(xf 154 x, 0 所以所以)(xf),( 內(nèi)單調(diào)增加，因此曲線內(nèi)單調(diào)增加，因此曲線在在)(xfy 與與x軸至多只有一個(gè)交點(diǎn)軸至多只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述可知，綜上所述可知， 方程方程015 xx在區(qū)間在區(qū)間)0 , 1( 內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.二、曲線凹凸的概念二、曲線凹凸的概念問(wèn)題問(wèn)題 如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?定義定義 設(shè)設(shè))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 若對(duì)若對(duì)I上任意上任意兩點(diǎn)兩點(diǎn),21xx恒有恒有,2)()

8、()2(2121xfxfxxf 則稱則稱)(xf在在I上的圖形是凹的上的圖形是凹的.若對(duì)若對(duì)I上任意上任意兩點(diǎn)兩點(diǎn),21xx恒有恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱則稱)(xf在在I上的圖形是凸的上的圖形是凸的.定理定理 2 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù),在在),(ba內(nèi)具有二內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),若在若在),(ba內(nèi)內(nèi)(1), 0)( xf那么那么)(xf在在,ba上的圖形是凹的上的圖形是凹的;證明證明 在情形在情形(1),設(shè)設(shè)1x和和2x為為,ba內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn),且且,21xx 記記,2021xxx 并記并記1002xxxx , h 那么那么,01hxx ,02h

9、xx 由拉格朗日中值公式由拉格朗日中值公式,得得(2), 0)( xf那么那么)(xf在在,ba上的圖形是凸的上的圖形是凸的.,)( )()(1000hhxfxfhxf ,)( )()(2000hhxfhxfxf 其中其中, 101 . 102 兩式相減兩式相減,即得即得)(2)()(000 xfhxfhxf .)( )( 2010hhxfhxf 對(duì)對(duì))( xf在區(qū)間在區(qū)間,1020hxhx 上上格朗日中值公式格朗日中值公式,得得hhxfhxf)( )( 2010 ,)( 221hf 再利用拉再利用拉格朗日中值公式格朗日中值公式, 得得hhxfhxf)( )( 2010 ,)( 221hf 其

10、中其中.1020hxhx 按情形按情形(1)的假設(shè)的假設(shè), 0)( f故故, 0)(2)()(000 xfhxfhxf即即),(2)()(000 xfhxfhxf 亦即亦即),2(2)()(2121xxfxfxf 所以所以)(xf在在,ba上的圖形是凹的上的圖形是凹的.完完例例 6斷定斷定)1ln(xxy 的凹凸性的凹凸性.解解因?yàn)橐驗(yàn)?111xy 2)1(1xy , 0 所以，題設(shè)函數(shù)在其定義域所以，題設(shè)函數(shù)在其定義域), 1( 內(nèi)是凹的內(nèi)是凹的.完完例例 7判斷曲線判斷曲線3xy 的凹凸性的凹凸性.解解,32xy ,6xy 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，, 0 y曲線在曲線在0 ,(為凸的；為凸的；當(dāng)

11、當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，, 0 y曲線在曲線在), 0 為凹的；為凹的；注意到點(diǎn)注意到點(diǎn))0 , 0(是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn).曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的拐點(diǎn)及其求法定義定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法:根據(jù)定義知根據(jù)定義知,假如假如)( xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的左右兩側(cè)鄰近的左右兩側(cè)鄰近處異號(hào)處異號(hào),則點(diǎn)則點(diǎn))(,(00 xfx就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn),如如果進(jìn)一步要求函數(shù)果進(jìn)一步要求函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)具有二階內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則在這樣的點(diǎn)處必有則在這樣的點(diǎn)處必有; 0)( xf

12、此外此外,使函數(shù)使函數(shù))(xf的二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),也可也可能是使導(dǎo)數(shù)能是使導(dǎo)數(shù))( xf符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn).綜上所述綜上所述,判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點(diǎn)的判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點(diǎn)的曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的拐點(diǎn)及其求法綜上所述綜上所述,判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點(diǎn)的判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點(diǎn)的步驟為步驟為:(1)(2)并求出使并求出使)( xf不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn);(3)檢查其鄰近左、檢查其鄰近左、右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù))( xf的符號(hào)的符號(hào),確定曲線的凹凸確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)區(qū)間和拐點(diǎn).);( xf求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的二

13、階導(dǎo)數(shù)解出全部實(shí)根解出全部實(shí)根, 0)( xf令令對(duì)步驟對(duì)步驟(2)中求出的每一個(gè)點(diǎn)中求出的每一個(gè)點(diǎn),x)(xf )(xf)0 ,(0)32, 0(32),32( 0 0 凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0(凸的凸的拐點(diǎn)拐點(diǎn))2711,32(凹的凹的例例8 求曲線求曲線14334 xxy的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間.解解易見(jiàn)函數(shù)的定義域?yàn)橐滓?jiàn)函數(shù)的定義域?yàn)?,(,121223xxy .3236 xxy令令, 0 y得得, 01 x.322 x,32, 0所以所以,0 ,(),32曲線的凹間為曲線的凹間為凸區(qū)間為凸區(qū)間為拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為)1 , 0(和和).27/11, 3/2(例例 9求函數(shù)

14、求函數(shù)32bxay 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解y ,)(13132bx y ,)(9235bx 函數(shù)函數(shù)y在在bx 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，但但bx 時(shí)，時(shí)，, 0 y曲線是凸的，曲線是凸的，bx 時(shí)，時(shí)，, 0 y曲線是凹的曲線是凹的.故點(diǎn)故點(diǎn)),(2ab為曲線為曲線32bxay 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 單調(diào)性判別法單調(diào)性判別法設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，在在),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)),(, 0)()1(baxxf )(xf在在,ba上上單調(diào)增加單調(diào)增加;),(, 0)()2(baxxf )(xf在在,ba上上單調(diào)減少單調(diào)減少;若函數(shù)若函數(shù))(xfy

15、在定義區(qū)間上連續(xù)，在定義區(qū)間上連續(xù)， 除在有限除在有限個(gè)點(diǎn)不可導(dǎo)以外個(gè)點(diǎn)不可導(dǎo)以外)(xf 存在且連續(xù)，存在且連續(xù)， 只要用只要用)(xf 2. 單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間， 結(jié)論結(jié)論仍然成立仍然成立 .的零點(diǎn)和的零點(diǎn)和)(xf 不存在的點(diǎn)劃分不存在的點(diǎn)劃分)(xf的定義區(qū)間，的定義區(qū)間，便能確定便能確定)(xf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間 .3. 曲線凹凸性與拐點(diǎn)的概念曲線凹凸性與拐點(diǎn)的概念定義定義 設(shè)設(shè))(xf在在),(ba內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)， 若對(duì)若對(duì)),(ba內(nèi)內(nèi)任意兩點(diǎn)任意兩點(diǎn),21xx恒有恒有,2)()(22121xfxfxxf )( 則稱則稱)(xf在在),(ba內(nèi)的圖形是內(nèi)的圖形是(向上向上)凹凹(或凸或凸)的的.4. 曲線凹凸性與拐點(diǎn)的判別法曲線凹凸性與拐點(diǎn)的判別法定理定理