41不定積分概念和第一類換元法ppt課件

1、第四章微分法微分法:?)( xF求求積分法積分法:?)( xF求求互逆運算互逆運算不定積分 , )(xF 已已知知知知 F (x) ,第四章第四章不定積分不定積分暨南大學珠海學院根底部暨南大學珠海學院根底部蘇保河主講蘇保河主講二、二、 根本積分表根本積分表 三、不定積分的性質三、不定積分的性質一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質 第四章第四章不定積分不定積分暨南大學珠海學院根底部暨南大學珠海學院根底部蘇保河主講蘇保河主講一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念引例引例: 一個質量為一個質量為 m 的質點的質點,的作的作tAFsin 下沿

2、直線運動下沿直線運動 ,).(tv因此問題轉化為因此問題轉化為:知知,sin)(tmAtv 求求?)( tv在變力在變力試求質點的運動速度試求質點的運動速度根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律, 加速度加速度mFta )(,sintmA 定義定義 1 . 假設在區(qū)間假設在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù)上定義的兩個函數(shù) F (x) 及及 f (x),滿足滿足),()(xfxF 在區(qū)間在區(qū)間 I 上的一個上的一個那么稱那么稱 F (x) 為為 f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的一個原函數(shù)為的一個原函數(shù)為 .cos tmA 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講原函數(shù)原函數(shù) .問題

3、問題: 1. 在什么條件下在什么條件下, 一個函數(shù)的原函數(shù)存在一個函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 假設原函數(shù)存在假設原函數(shù)存在, 它如何表示它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)Ixf上上在在則則Ixf)(的原函數(shù)存在的原函數(shù)存在 .(下章證明下章證明)由于初等函數(shù)在定義區(qū)間上延續(xù)，由于初等函數(shù)在定義區(qū)間上延續(xù)，所以初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)所以初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講,)()(的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是若若xfxF定理定理 2 的任意的任意則則)(xf一個原函數(shù)都可記為一個原函數(shù)都可記為CxF )( C

4、為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) ) .證證 ，的的任任意意一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是設設)()(xfx )()(xfx 又知又知)()(xfxF )()( xFx)()(xFx 0)()( xfxf故故CxFx )()()(為某個常數(shù)為某個常數(shù)C即即.)()(CxFx 即即暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講CxFx )()(定義定義 2 )(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為上的原函數(shù)全體稱為Ixf在在)(上的不定積分上的不定積分,d)(xxf 其中其中 積分號積分號;)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達式被積表達式.x 積分變量積分變量;假設假設, )()(xfxF

5、 那那么么CxFxxf )(d)( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )C 又稱為積分常數(shù)又稱為積分常數(shù)不可丟不可丟 !例如例如, xexdCex xx d2Cx 331 xxdsinCx cos記作記作注注暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義:)(xf的原函數(shù)的圖形稱為的原函數(shù)的圖形稱為)(xf的圖形的圖形的一切積分曲線組成的一切積分曲線組成)(xf的平行曲線族的平行曲線族.yxo0 x的積分曲線的積分曲線 . 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講CxFxxf )(d)(例例1 設曲線經過點設曲線經過點(1, 2), 且其上任一點處

6、的切線且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解 xy2 xxyd2 Cx 2所求曲線過點所求曲線過點(1, 2), 故有故有C 2121 C因此所求曲線為因此所求曲線為. 12 xyyxo)2, 1 (暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講12 xy xdd)1( xxfd)( )(xf 二、二、 根本積分表根本積分表 注注 從不定積分定義可知從不定積分定義可知: d xxfd)( xxfd)( 或或Cx d)2()(xF )(xF或或C d)(xF)(xF xkd)1( k 為常數(shù)為常數(shù))Cxk xx d)2(

7、Cx 111 xxd)3(Cx ln時時0 x) 1( )ln()ln( xxx1 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講 21d)4(xxCx arctan xxdcos)6(Cx sin xx2cosd)8( xxdsec2Cx tan或或Cx cotarc 21d)5(xxCx arcsin或或Cx cosarc xxdsin)7(Cx cos xx2sind)9( xxdcsc2Cx cot暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講 xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xexd)12(Cex xaxd)13(Caa

8、x ln2shxxeex Cx ch xxdch)15(Cx sh xxdsh)14(2chxxeex 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例2 求求.d3 xxx解解 原式原式 =xxd34 134 Cx 313例例3 求求.dcossin222 xxx解解 原式原式=xxdsin Cx cos134 xC 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講三、不定積分的性質三、不定積分的性質 xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2 推論推論 xxfkxxfkiniiniiid)(d)(11 xxfkd)( xxgxxfd)(d)()0( k暨南大學珠海學院蘇保河

9、主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例4 求求.d)5(2xexx 解解 原式原式 =xexxd)25)2( )2ln()2(eex 2ln25x Cexx 2ln512ln2C 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例5 求求.dtan2xx 解解 原式原式 =xxd)1(sec2 xxxddsec2.tanCxx 例例6 求求.d)1(122xxxxx 解解 原式原式 =xxxxxd)1()1(22 xxd112 xxd1 xarctan .lnCx 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例7 求求.d124xxx 解解 原式原式 =xxxd11)1(24 xx

10、xxd11)1)(1(222 221dd)1(xxxx.arctan313Cxxx 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講第二節(jié)第一類換元法第四章第四章不定積分不定積分暨南大學珠海學院根底部暨南大學珠海學院根底部蘇保河主講蘇保河主講第一類換元法第一類換元法定理定理1, )()(uFuf有有原原函函數(shù)數(shù)設設,)(可導可導且且xu 那么有換元公那么有換元公式式 xxxfd)()( uufd)()(xu )(d)(xxf (也稱配元法也稱配元法即即 xxxfd)()( , 湊微分法湊微分法)暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講CxF )( 例例1 求求).1(d)( m

11、xbxam解解 令令,bxau 那么那么,ddxau 故故原式原式 = muuad1a1 Cumm 1111)()1(1 mbxamaC xbxamd)(解法解法2(直接湊微分直接湊微分):.)()1(11Cbaxmam 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講想到公式想到公式Cxmxxmm 111d )(d)(baxbxama1 22)(1d1axxa例例2 求求 .d22xax解解 22dxax,axu 令令那那么么xaud1d 21uuda1Cua arctan1.)arctan(1Caxa 想到公式想到公式 21duuCu arctan 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠

12、海學院蘇保河主講原式原式例例2 求求 .d22xax解法解法2 (直接湊微分直接湊微分): 22)(1d1axxa 22dxax 2)/(1)/(axaxda1.)arctan(1Caxa 想到公式想到公式 21duuCu arctan 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例3 求求 ).0(d22axax 21duu想到想到Cu arcsin解解 2)(1daxax 2)(1)(daxax.arcsinCax 22dxax暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例4 求求.dtan xx解解 xxxdcossin xxcoscosd.coslnCx ?dcot

13、 xx xxxsindcos.sinlnCx xxsinsind xxdtan類似可得類似可得暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講.ln21Caxaxa 例例5 求求.d22 axx解解221ax )(axax )()(axax a21 )11(21axaxa 原式原式 = a21 axxaxxdd a21 axax)(d a21 ax lnax ln C axax)(d暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講常用的幾種配元方式常用的幾種配元方式: xbxafd)()1( )(bxaf)(dbxa a1 xxxfnnd)()2(1 )(nxfnxdn1 xxxfnd

14、1)()3( )(nxfnxdn1nx1萬萬能能湊湊冪冪法法 xxxfdcos)(sin)4( )(sin xfxsind xxxfdsin)(cos)5( )(cos xfxcosd 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講 xxxfdsec)(tan)6(2 )(tan xfxtand xeefxxd)()7( )(xefxed xxxfd1)(ln)8( )(lnxfxlnd例例6 求求.)ln21(d xxx xln21xlnd解解 原式原式 = xln2121)ln21(dx .ln21ln21Cx 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例7 求求 .d3

15、xxex 解解 原式原式 =xexd23 )3d(323xex .323Cex 例例8 求求.dsec6xx 解解 原式原式 =xdxx222sec)1(tan xtandxxxtand)1tan2(tan24 x5tan51 x3tan32 xtan .C 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講例例9 求求.1d xex解法解法1 xex1dxeeexxxd1)1( xd xxee1)1(dx .)1ln(Cex 解法解法2 xex1dxeexxd1 xxee1)1(d.)1ln(Cex )1ln()1(ln)1ln( xxxxexeee兩法結果一樣兩法結果一樣暨南大學珠海學院

16、蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講內容小結內容小結1. 不定積分的概念不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質不定積分的性質 根本積分表根本積分表 2. 直接積分法直接積分法利用恒等變形利用恒等變形, 及根本積分公式進展積分及根本積分公式進展積分積分性質積分性質3. 第一類換元法第一類換元法(湊微分法湊微分法)CxFxxf )()(d)( xxxfd)()( 暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講作作 業(yè)業(yè)P204 1 (2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14); 2 (2, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 1

17、8). P190 1 (3, 5, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 26); 2; 4*.暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講下次課內容下次課內容: : 不定積分的第一類換元法不定積分的第一類換元法 第五章第一節(jié)第五章第一節(jié) 定積分的概念與性質定積分的概念與性質 1 假假設設)(xf是是xe 的原函數(shù)的原函數(shù) , 那那么么 xxxfd)(ln提示提示 知知xexf )(0)(Cexfx 01)(lnCxxf xCxxxf021)(ln CxCx ln10課外練習課外練習暨南大學珠海學院蘇保河主講暨南大學珠海學院蘇保河主講2 假假設設)(xf;sin1)(xA ;sin1)(xB 的導函數(shù)為的導