函數(shù)的單調性教案

1、函數(shù)的單調性教案一、研究教材1.認知基礎分析：在初中通過對兩個變量之間的數(shù)量關系的探究認識了函數(shù)的概念，學習了一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的概念，初步掌握了這些函數(shù)圖象的畫法及其圖象特征，能應用圖象研究這些簡單函數(shù)的基本性質，通過圖象的升降關系（單調性的圖象特征）了解函數(shù)值的變化與自變量的變化關系（單調性的定性描述）.在高中通過對兩個非空數(shù)集之間的對應關系以及映射的研究深化了對函數(shù)概念的理解，進一步學習了函數(shù)的三種表示方法，實現(xiàn)從初中的形象思維逐步過渡到邏輯思維，從具體向抽象的代數(shù)推理過渡.2.地位與作用：函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質,它既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)

2、研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調性等內容的基礎，在解決函數(shù)的值域、定義域、不等式、比較兩個實數(shù)的大小等具體問題中有著廣泛的應用.函數(shù)單調性概念的形成過程中蘊涵作許多數(shù)學思想方法，對于進一步探索、研究函數(shù)的其它性質起作啟發(fā)與示范作用.二、教學目標1.知識與技能（1）理解函數(shù)的單調性的概念及其幾何意義；（2）能應用函數(shù)的圖象和單調性的定義判斷或證明簡單函數(shù)的單調性；（3）學會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質，突出數(shù)形結合思想在研究函數(shù)性質中的重要性.2.過程與方法（1）首先是通過初中已經(jīng)學習過的函數(shù)特別是二次函數(shù)圖象的直觀感悟，讓學生獲得圖象的上升與下降來刻畫函數(shù)的單調性的特征（單調性的幾

3、何語言），第二利用列表法，啟發(fā)學生獲得“函數(shù)的增、減性就是隨著自變量的值的增大，函數(shù)值也隨之增大（或減?。保▎握{性的文字語言）；第三通過交流合作，將文字語言轉化為抽象的符號語言（形式化的精確定義）；（2）通過函數(shù)的單調性的學習，體會文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化；（3）通過函數(shù)的單調性概念的形成過程的學習，讓學生領悟到從觀察具體特例的圖象到歸納猜想再到推理論證的科學思維方法.3情感、態(tài)度與價格觀在形與數(shù)的結合中感知數(shù)學的內在美，在圖形語言、自然語言、數(shù)學語言的轉化中感知數(shù)學的嚴謹美.三、教學重點和難點重點：理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念；難點：單調性概念的形成與定義的應用.四、教法與學法重

4、視誘思探究的教學理論在課堂教學中的滲透，在課堂教學中體現(xiàn)“教師為主導、學生為主體”，教師啟發(fā)誘導，學生自主探究，激發(fā)學生的學習興趣、培養(yǎng)學生良好的思維習慣和思維品質.五、教學過程教學流程教學情境師生互動過程設計意圖實例引入1.艾賓浩斯關于時間間隔與記憶保持量的關系時間間隔記憶量剛剛記憶完畢100%20分鐘后58.2%1小時后44.2%8-9小時后35.8%1天后337%2天后27.8%6天后25.4%一個月后21.1%問題1請同學們結合圖象和表格分析記憶量與時間的變化關系？師：同學們，我們前面在初中的基礎上進一步學習了函數(shù)的概念和函數(shù)的三種表示方法，今天我們與大家一起來研究函數(shù)的一般性質，它主

5、要包括：函數(shù)的定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期性、圖象的對稱性等.今天我們主要研究運動變化的快與慢、增或減的變化規(guī)律.研究函數(shù)性質的基本方法是從特殊函數(shù)的圖象上直觀感知函數(shù)的運動變化性質，歸納猜想出一般性的規(guī)律，在用抽象的符號語言形成概念.出示問題1生：結合圖象回答問題1讓學生感受到研究函數(shù)性質的重要性，也讓學生認識到在學習過程中為什么要及時復習鞏固.合作交流探究概念2.畫出函數(shù)和的圖象，引導學生探究：問題2從左往右看觀察兩個函數(shù)的圖象，請指出函數(shù)的圖象在哪些部分是上升或下降的？師：引導學生觀察圖象生：觀察、探究、合作交流，回答問題2從左往右看，的圖象逐漸連續(xù)下降，的圖像在y軸的左側（

6、學生還有可能回答：當時或當時）圖象逐漸下降，在y軸的右側圖象逐漸上升.師：圖象的這種逐漸上升與下降，從直觀上反映了函數(shù)的一個基本性質函數(shù)的單調性，逐漸上升的部分為增函數(shù)，下降的部分為減函數(shù).通過觀察、兩個函數(shù)的圖象，獲得單調性的圖形語言3.觀察幾何畫板，從左往右慢速運動P點，要求學生關注P的點坐標變化情況，思考問題3在上，當自變量x增大時，函數(shù)值f(x)有怎樣的變化規(guī)律？問題4請同學們用數(shù)學符號語言來描述“在上，當自變量x增大時，函數(shù)值f(x)也隨著增大”？問題5哪位同學能用數(shù)學符號語言來描述“在區(qū)間上是增函數(shù)”？師：在幾何畫板上點擊“運動P點”生：觀察動P點的坐標變化情況回答問題3在上，當自

7、變量x增大時，函數(shù)值f(x)也隨著增大.師：我們稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).師反問：函數(shù)在那個區(qū)間上是減函數(shù)？生：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).師：再次引導學生幾何畫板生：回答問題4在區(qū)間上任意的，當時，都有.師：提出問題5生：在區(qū)間上的自變量的任意任意兩個值，當時，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).以二次函數(shù)為載體，引導學生將概念的幾何語言轉化為文字語言和符號語言.借助幾何畫板，引導學生將圖象語言“從左往右看”轉化為“自變量增大”在轉化為符號語言“”的過程.同時使學生體會到不同函數(shù)以及同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化差異.概念的形成和對概念的理解問題6請同學們將上述結論推向一般的函數(shù)，給增函數(shù)、減函數(shù)下定義師：

8、提出問題生：書寫定義由特殊函數(shù)的性質過渡到一般函數(shù)的性質，培養(yǎng)學生的合情推理能力請同學翻開教材，帶著下列問題認真閱讀增函數(shù)與減函數(shù)的定義以及單調性、單調區(qū)間的概念.問題7將你的定義與教材對比，找出其中的差異，并說明通過正例、反例等手段說明理由.問題8定義中是怎么刻畫“當自變量x增大時，函數(shù)值f(x)也隨著增大（或減?。?？問題9為了深入理解概念，請指出定義中關鍵的字詞和難以理解的問題與大家共享（要求學生提出問題）.師：靜觀學生的討論情況，指導部分學生的閱讀方法.生：回答問題8定義中“當時，都有”刻畫了“當自變量x增大時，函數(shù)值f(x)也隨著增大”這一特征.師：讀定義請同學們回答問題9生：定義

9、中的“定義域I某個區(qū)間D上”師：你對這句話是怎么理解的？生：單調區(qū)間必須以區(qū)間的形式表達，不能用集合符號書寫；單調區(qū)間必須是定義域的子區(qū)間，研究函數(shù)的單調區(qū)間必須先求函數(shù)的定義域.師：請問你是怎樣理解“某個區(qū)間”的?生：這說明函數(shù)的單調性是一個局部性質，但也有些函數(shù)在定義域內是單調的（要求學生以具體的函數(shù)為例加以說明）生：“任意”、“都有”也是定義中的關鍵詞，我對“任意”的理解是：對區(qū)間D內自變量的每一個值只要滿足時，則有，具有一般性，不能通過取特殊值來代替單調性的判定或證明；“都有”是指只要當時，都必須滿足師：你能否構造反例來說明“任意”、“都有”缺一不可嗎？生：尋求反例教師點評：數(shù)學追求表

10、達形式的簡潔美，體現(xiàn)了數(shù)學是符號的科學.在數(shù)學概念的學習過程要深入分析定義中的每一個字和每一個符號，通過對三種語言的轉化實現(xiàn)深層次掌握定義的目的.通過閱讀概念的精確定義，正例、反例、歸納猜想等，加深對定義及其關鍵字詞的理解，讓學生感悟到理解數(shù)學概念的方法，培養(yǎng)學生閱讀數(shù)學教材的能力.單調性的幾何語言出示教材中的幾何圖形師：同學們，我國著名的數(shù)學家華羅庚先生曾說過“切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系莫分離”.那么函數(shù)的單調性的幾何語言又是什么呢？生回答單調性的幾何意義教師指圖說明分析定義，使學生把函數(shù)單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解.滲透數(shù)形結合分析問題的數(shù)學思

11、想方法.概念的應用用交互式電子白板出示教材例1師：請同學們結合單調性的幾何意義，完成例1用交互式電子白板出示教材例2 物理學中的玻意耳定理（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大.試用函數(shù)的單調性證明之.師：從例1知道用數(shù)形結合思想可以直觀地獲得函數(shù)的單調性，但在嚴格的推理論證中要求同學們能正確應用定義證明函數(shù)的單調性，請大家在次閱讀定義，思考用定義證明單調性的步驟，思考如何判定的大小？引導學生找到方法，抽生板演師：引導點評完成情況，與學生一起研究用定義法證明單調性的步驟.強化定義法證明單調性的步驟與書寫格式,課堂練習1.教材32頁練習1、2、32.教材30頁的

12、探究題畫出函數(shù)的圖象（1）求函數(shù)的定義域（2）它在定義域上的單調性是怎樣的？并證明你的結論變式：師：引導學生理解函數(shù)在區(qū)間、上都是減函數(shù)，在整個定義域上不是減函數(shù)，強調函數(shù)的單調區(qū)間不能寫成的形式.通過具體問題，使學生認識到函數(shù)的單調性是函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質，在整個定義域內函數(shù)未必是單調函數(shù).知識整合提出問題：通過本堂課的學習，同學們有哪些收獲？學會了那些概念？那些方法？那些數(shù)學思想？可通過下列問題啟發(fā)學生回答：1、函數(shù)的單調性的定義是怎樣的？2、函數(shù)的單調性在圖像上的表現(xiàn)是什么？3、函數(shù)的單調性在函數(shù)值上的變化規(guī)律是什么？4、函數(shù)的單調性是否為函數(shù)的整體性質？5、證明函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是