高數(shù)上總習(xí)題ppt課件

1、第一章、函數(shù)與極限第一章、函數(shù)與極限習(xí)題課習(xí)題課一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容一函數(shù)的定義一函數(shù)的定義二極限的概念二極限的概念三延續(xù)的概念三延續(xù)的概念函函 數(shù)數(shù)的定義的定義反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系根本初等函數(shù)根本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性雙曲函數(shù)與雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)1 1、函數(shù)的定義、函數(shù)的定義( )yf x yxo定義定義: :fD()f DR ()( ),f Dy yf xxD 定義域定義域 值域值域圖形圖形: : ( , )( ),

2、Cx yyf xxD ( ( 普通為曲線普通為曲線 ) )設(shè)設(shè),DR 函數(shù)為特殊的映射函數(shù)為特殊的映射: :其中其中函數(shù)的分類函數(shù)的分類函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項(xiàng)等函數(shù)有無窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )(1) 單值性與多值性單值性與多值性:xyoxey xyo1)1(22 yx2 2、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)假設(shè)對于每個假設(shè)對于每個,xD 僅有一個值僅有一個值 y= f (x)與之對應(yīng)，與之

3、對應(yīng)，那么稱那么稱y= f (x)為單值函數(shù)，為單值函數(shù)，否那么就是多值函數(shù)否那么就是多值函數(shù).(2) 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈, D, 且且D D關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱，假設(shè)假設(shè)那么稱那么稱 f(x)f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù); ;假設(shè)假設(shè)那么稱那么稱 f(x)f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù). . ()( ),fxf x ()( ),fxf x xyoxxy奇函數(shù)奇函數(shù)xyoxexexych(3) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:;0時(shí)為減函數(shù)時(shí)為減函數(shù)當(dāng)當(dāng) x;0時(shí)為增函數(shù)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)當(dāng) x當(dāng)當(dāng)12,xxI12xx 時(shí)時(shí), ,12

4、()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為I I上的上的12()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為I I 上的上的單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù). .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ),yf xxD 且區(qū)間且區(qū)間.ID xyo2xy (4) 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:;), 0()0 ,(上上無無界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 使使設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ),yf xxD 且數(shù)集且數(shù)集.XD ,xX0,M若若( ),f xM 稱稱 ( )f x在在X X上有界上有界. . (5) 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:oyx11xxy 0,l 且且,xlD

5、 ()( )f xlf x那么稱那么稱)(xf為周期函數(shù)為周期函數(shù) , ,假假設(shè)設(shè)稱稱l l為周期為周期 ( (普通指最小正周期普通指最小正周期).).設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,xD 1l 3 3、反函數(shù)、反函數(shù)0 yexy如如4 4、隱函數(shù)、隱函數(shù).)(0),(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)由方程由方程xfyyxF 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù):()fDf D1:()ff DD 習(xí)慣上習(xí)慣上, ,( ),yf xxD 的反函數(shù)記成的反函數(shù)記成1( ) ,()yfxxf D 稱此映射稱此映射1f 為為 f f 的反函數(shù)的反函數(shù) . .5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系、反函

6、數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y= f(x),xD 的反函數(shù)為的反函數(shù)為1( ),fyfxxR (1) 1( ),ff fxx xR 1( ),fff xx xD (2) y= f(x)與與y= f 1(x)的的圖形對稱于直線圖形對稱于直線y=x.( )yf x 1( )yfx yx xyo( , )P a b( , )Q b a6 6、根本初等函數(shù)、根本初等函數(shù)1冪函數(shù)冪函數(shù)2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)3對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)4三角函數(shù)三角函數(shù)5反三角函數(shù)反三角函數(shù),yx 為為常常數(shù)數(shù), , 0,1xyaaa log 0,1ayxaa sin , cosyxyx tan , cotyxyxarcsin

7、 , arccosyxyx arctan , arccotyxyxsec , cscyxyx7 7、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù)8 8、初等函數(shù)、初等函數(shù)由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算和有由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)函數(shù),稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù).1( ),yf uuD ( ),ug xxD 1()g DD 且且那那么么設(shè)有函數(shù)鏈設(shè)有函數(shù)鏈稱為由稱為由y=f(u)y=f(u)和和u=g(x) u=g(x) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù), , u 稱為中間變量稱為中間變量. ( ( ),y

8、f g xxD 9 9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)sh2xxeex 雙雙曲曲正正弦弦ch2xxeex 雙雙曲曲余余弦弦shthchxxxxxeexxee 雙雙曲曲正正切切雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式 2arshln1 ;yxxx 反反雙雙曲曲正正弦弦11arth ln;21xyxx 反反雙雙曲曲正正切切 2archln1 ;yxxx 反反雙雙曲曲余余弦弦ch()chchshsh ;xyxyxy 22chsh1;xx sh22shch;xxx 22ch2chsh.xxx sh()shchchsh ;xyxyxy 左右極限左右極限兩個重要兩個重要極限極限求極限的常用方法求極限的

9、常用方法無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件斷定極限斷定極限存在的準(zhǔn)那么存在的準(zhǔn)那么無窮小的比較無窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)獨(dú)一性獨(dú)一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無窮大無窮大 )(limxf1 1、極限的定義、極限的定義定義定義1設(shè)設(shè) nx為一數(shù)列，為一數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)假設(shè)存在常數(shù)a， 對恣意對恣意0 (無論多么小無論多么小)，總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng) nN時(shí)，時(shí)， 都有都有,nxa 那么稱

10、那么稱a為數(shù)為數(shù)列列 nx的極限，的極限， 或稱或稱 nx收斂于收斂于a， 記為記為或或().nxa n limnnxa ( , ),U a ,NN 當(dāng)當(dāng)nN時(shí)，時(shí)，總有總有( , ).nxU a N “”定定義義0, 0, 當(dāng)當(dāng)00 xx 時(shí)時(shí), ,有有( )f xA 那么稱常數(shù)那么稱常數(shù)A A 為函數(shù)為函數(shù)( )f x當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)的極限時(shí)的極限, ,0lim( )xxf xA 或或0( )()f xAxx當(dāng)當(dāng)假假設(shè)設(shè)記作記作( )f x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 , , 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義2 “”定定義義0, 0, 當(dāng)當(dāng)0(,)xU x 時(shí)時(shí), , 有有(

11、)f xA 0lim( )xxf xA 左極限左極限 :0()f x 0lim( )xxf xA 0, 0, 當(dāng)當(dāng)00(,)xxx 時(shí)時(shí), 有有( ).f xA 右極限右極限 :0()f x 0lim( )xxf xA 0, 0, 當(dāng)當(dāng)00(,)xxx 時(shí)時(shí), 有有( ).f xA 定理定理0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA 無窮小無窮小:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大無窮大:在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的恒

12、不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大記作記作0lim( ) (lim( )xxxf xf x 或或）記作記作定理定理1 1 在同一過程中在同一過程中, ,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小窮小. .定理定理2 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .推論推論1 1 在同一過程中在同一過程中, ,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小. .推論推論2 2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .推論推論

13、3 3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小. .無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)3 3、極限的性質(zhì)、極限的性質(zhì)lim( ), lim ( ),f xAg xB 那么有那么有l(wèi)im ( )( )f xg x AB(1) lim( ) ( )f x g x.AB (2)( )lim( )f xg x 0)ABB （(3)定理定理 假假設(shè)設(shè)推論推論1 .1 .lim( )lim( )C f xCf x ( C ( C 為常數(shù)為常數(shù) ).).推論推論2 2 lim( )lim( )nnf xf x ( n ( n 為正整數(shù)為正整數(shù) ).).4 4、求極限的常用方法、求極限的常用方

14、法a. 多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b. 消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c. 無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d. 利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e. 利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.5 5、斷定極限存在的準(zhǔn)那么、斷定極限存在的準(zhǔn)那么(夾逼準(zhǔn)那么夾逼準(zhǔn)那么)準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么0(, )xU x (或或xM )時(shí)時(shí),有有(1)( )( )( ),g xf xh x那么那么0()lim( )xxxf x 存在存在, , 且等于且等于A.A.00()()(2) lim( ),lim( ),xxxxxxg xAh

15、xA假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.6 6、兩個重要極限、兩個重要極限(1)0sinlim1.xxx ( )0sin ( )lim1( ).xxx (2)1lim 1.xxex 10lim(1).xxxe1( )( )0lim (1( ).xxxe 7 7、無窮小的比較、無窮小的比較lim0,kC lim0, 假假設(shè)設(shè)那么稱那么稱是比是比高階的無窮小高階的無窮小, ,).(o lim, 假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)lim1, 假假設(shè)設(shè) lim0,C 或或, 設(shè)設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小, ,記作記作那么稱那么稱是比是比低階的無

16、窮小低階的無窮小; ;那么稱那么稱是是的同階無窮小的同階無窮小; ;那么稱那么稱 是關(guān)于是關(guān)于 的的 k k 階無窮小階無窮小; ;那么稱那么稱 是是的等價(jià)無窮小的等價(jià)無窮小, ,記作記作定義定義8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的獨(dú)一性、極限的獨(dú)一性且且lim 存在存在 , , 那那么么lim 定理定理 設(shè)設(shè)lim , , 定理定理 假設(shè)假設(shè)lim( )f x存在，那么極限獨(dú)一存在，那么極限獨(dú)一.xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x左右延續(xù)左右延續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上延續(xù)上

17、延續(xù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性延續(xù)點(diǎn)定義延續(xù)點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 延續(xù)的延續(xù)的充要條件充要條件延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性 振蕩延續(xù)點(diǎn)振蕩延續(xù)點(diǎn) 無窮延續(xù)點(diǎn)無窮延續(xù)點(diǎn) 騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn) 可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn)第一類第一類 第二類第二類1 1、延續(xù)的定義、延續(xù)的定義定義定義1 1( )yf x 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, , 00lim( )(),xxf xf x 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)0(.)f xx在在連連續(xù)續(xù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)且且0lim0.

18、xy 定義定義2 22 2、單側(cè)延續(xù)、單側(cè)延續(xù)00()()f xf x 00()()f xf x 左延續(xù)左延續(xù)右延續(xù)右延續(xù)3 3、延續(xù)的充要條件、延續(xù)的充要條件定理定理0( )f xx函函數(shù)數(shù)在在處處連連續(xù)續(xù)0( )f xx是是函函數(shù)數(shù)在在.處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)4 4、延續(xù)點(diǎn)的定義、延續(xù)點(diǎn)的定義(1) (1) ( )f x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即0()f x(2) (2) 極限極限0lim( )xxf x(3)(3)00lim( )().xxf xf x 存在存在; ;有定義有定義 , ,存在存在; ;函數(shù)函數(shù))(xf0 x延續(xù)必需具備以下條件延續(xù)必需具備以下條件: :在在f (x)

19、的不延續(xù)點(diǎn)的不延續(xù)點(diǎn)(或延續(xù)點(diǎn)或延續(xù)點(diǎn))。并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)x0 x0為為函數(shù)函數(shù) f (x)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0處不延續(xù)處不延續(xù)( (或延續(xù)或延續(xù)),),那么稱那么稱假設(shè)上述三個條件中只需有一個不滿足假設(shè)上述三個條件中只需有一個不滿足, ,(1) 騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn)(2)可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn)5 5、延續(xù)點(diǎn)的分類、延續(xù)點(diǎn)的分類00()(),f xf x 假設(shè)假設(shè)稱稱為為函數(shù)為為函數(shù) f(x)f(x)騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn). .稱稱0 x假設(shè)假設(shè)0lim( )xxf x存在存在,但但00lim( )(),xxf xf x 為函數(shù)為函數(shù) f(x)f(x)的可去延續(xù)點(diǎn)的可去延續(xù)點(diǎn) . .0 x騰躍

20、延續(xù)點(diǎn)與可去延續(xù)點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn)與可去延續(xù)點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類延續(xù)點(diǎn).特點(diǎn)特點(diǎn): :可去型可去型第一類延續(xù)點(diǎn)第一類延續(xù)點(diǎn)騰躍型騰躍型0yx0 x0yx0 x函數(shù)在函數(shù)在x0處的左右極限都存在處的左右極限都存在.0yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)0yx0 x第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)0()f x 及及0()f x 中至少一個不存在中至少一個不存在. .稱稱0 x假設(shè)其中有一個為振蕩假設(shè)其中有一個為振蕩 , , 稱稱0 x假設(shè)其中有一個為假設(shè)其中有一個為, 為無窮延續(xù)點(diǎn)為無窮延續(xù)點(diǎn) . .為振蕩延續(xù)點(diǎn)為振蕩延續(xù)點(diǎn) . .6 6、閉區(qū)間的延續(xù)性、閉區(qū)間的延續(xù)性7 7、延續(xù)性

21、的運(yùn)算性質(zhì)、延續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)延續(xù)，并且在左端點(diǎn)內(nèi)延續(xù)，并且在左端點(diǎn)x=a處右延續(xù)，在右端點(diǎn)處右延續(xù)，在右端點(diǎn)x=b處左延續(xù)處左延續(xù),那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上延續(xù)上延續(xù).定理定理1 1 單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的延續(xù)反函數(shù)單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的延續(xù)反函數(shù). .8 8、初等函數(shù)的延續(xù)性、初等函數(shù)的延續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在

22、點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理2 200lim ( )( )lim( ).xxxxfxf afx 則則有有0lim( ),( ),xxxaf ua 若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 連連續(xù)續(xù)定理定理4 4 根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的. .定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9 9、閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(1

23、(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上延續(xù)的在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值函數(shù)一定有最大值和最小值. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定在在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界該區(qū)間上有界. .定理定理3. ( 3. ( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) )那么至少有一點(diǎn)那么至少有一點(diǎn)( ,) ,a b 且且使使( )0.f 假設(shè)假設(shè) f(x)f(x)閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b上延上延續(xù)續(xù), ,( ) ( ), 0f a f b 且且( ),f aA ( ),f bB AB 那么對那么對A A與與B B之間的任一之間的任一(,) ,ab 使使(

24、).fC 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn)定理定理4 ( 4 ( 介值定理介值定理 ) )假設(shè)假設(shè) f(x)f(x)閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b上延上延續(xù)續(xù), ,數(shù)數(shù)C ,推論推論 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值M M與最與最小值小值m m之間的任何值之間的任何值. .例例1 1解解2160,x 10,x 11,x 412xxx 1224,xx 及及(1,2)(2,4).即即2(1)log(16).xyx 求求函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域二、典型例題二、典型例題例例2 2解解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性1,xtx 令令1,1xt 即即代入原方程得代入原

25、方程得12()( ),11ff ttt12( )(),11f xfxx 即即111,uxu 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf 112(1)()(),1xxffxxx 即即1( )()2 ,0,1. ( ).xf xfxxxf xx 設(shè)設(shè)其其中中求求1( )()212( )()11112(1)()()1xf xfxxf xfxxxxffxxx 解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組. 1111)( xxxxf例例3 3解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么242(1)(1)(1)(1)(1)lim1nnxxxxxx 原原式式2242

26、(1)(1)(1)(1)lim1nnxxxxx 22(1)(1)lim1nnnxxx 121lim1nnxx 1.1x 12(1,lim0.)nnxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2421,lim(1)(1)(1)(1).nnxxxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 求求例例4 求極限求極限22212lim.12nnnnnnnnn2221212nnnnnnnn 解解 2(1)21n nnn 2(1)2n nnnn 而而 2(1)lim2nn nnnn 1,2 2(1)lim21nn nnn 1.2 22212lim12nnnnnnnnn 1,2 由夾逼準(zhǔn)那么得由夾逼準(zhǔn)那么得例例5 求極限求極限 2lim1sin2 .nnnn 解解原

27、式原式 2lim sin2nnnn22lim sin2nnnn 22lim2nnnn 22lim211nn . 例例6 6解解3101tanlim.1sinxxxx 求求 原原式式310tansinlim 11sinxxxxx 30tansin1lim1sinxxxxx 30sin (1cos )1lim(1sin )cosxxxxxx 21.21e 原式原式1 3101tanlim11sin1xxxx 0tansinlim11sinxxxx 1 sintansinxxx tansin1 sinxxx 31x 例例7 7解解32( )lim2,xp xxx 32( )2(,)p xxxaxba

28、 b 可可設(shè)設(shè)其其中中為為待待定定系系數(shù)數(shù)0( )lim1,xp xx 又又32( )2(0)p xxxaxbxx 0,1.ba 從從而而得得32( )2.p xxxx 故故32( )( ),lim2,xp xxp xx 設(shè)設(shè)是是多多項(xiàng)項(xiàng)式式 且且0( )lim1,( ).xp xp xx 求求例例8 8解解( )f x將將改改寫寫成成( )f x ( )(, 1),( 1,1),(1,).f x 顯顯然然在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)1 ,1( ).cos,12xxf xxx 討討論論的的連連續(xù)續(xù)性性cos,2x 1,x 1, x 1x 1x 11x 1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1lim( )xf x 1lim (1

29、)xx 2.1lim( )xf x 1lim cos2xx . 011lim( )lim( ),xxf xf x 1( ).xf x 故故為為的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1lim( )xf x 1limcos2xx 01lim( )xf x 1lim(1)xx 0( )1.f xx 故故在在連連續(xù)續(xù)( )(, 1)( 1,).f x 在在連連續(xù)續(xù)( )f x cos,2x 1,x 1,x 1x 1x 11x (1)f (1)f ( )(, 1),( 1,1),(1,).f x 在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)例例9 9證法一證法一1( )()( ),2F xf xf x令令1( )0,.2F x

30、則則在在上上連連續(xù)續(xù)( )0,1,(0)(1),f xff 設(shè)設(shè)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù) 且且10,2x 10,1()( ).2ff證證明明必必有有一一點(diǎn)點(diǎn)使使得得倘假設(shè)不存在倘假設(shè)不存在10,2 使使( )0,F 那么那么在在10,2上，上，( )0F x ( )0).F x 或或無妨設(shè)無妨設(shè)( )0,F x 于是于是(0F）1(0)2ff12F1(1)2ff10,2x 0, 0, (0)(1),ff 與知矛盾與知矛盾,原命題正確原命題正確.例例9 9證法二證法二1( )()( ),2F xf xf x令令1( )0,.2F x 則則在在上上連連續(xù)續(xù)1(0)( )(0),2Fff 11(

31、 )(1)( ),22Fff討論討論:(0)0,F 若若0, 則則1(0)(0);2ff1( )0,2F 若若,21 則則);21()2121(ff ( )0,1,(0)(1),f xff 設(shè)設(shè)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù) 且且10,2x 10,1()( ).2ff 證證明明必必有有一一點(diǎn)點(diǎn)使使得得1(0)0,( )0,2FF 若若則則1(0)( )2FF21( )(0)2ff. 0 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上所述綜上所述,10,0,1,2 必必有有一一點(diǎn)點(diǎn).)()21(成成立立使使 ff 1(0)( )(0),2Fff

32、11( )(1)( ),22Fff 1( )()( ),2F xf xf x令令1402sinlim.1xxxexxe 解解4102sinlim1xxxexxe 34402sinlim1xxxxeexxe 1, 1402sinlim1xxxexxe 1402sinlim1xxxexxe 211. 原式原式 = 1. = 1. (2000考研考研)例例10. 求求(,) 上上, ,x y有有()( )( )f xyf xf y , ,假設(shè)假設(shè) f (x) f (x)在在延續(xù)延續(xù), ,0 x 解解0lim()xf xx 0lim ( )()xf xfx ( )(0)f xf (0)f x ( ).

33、f x 且對恣意實(shí)數(shù)且對恣意實(shí)數(shù)證明證明: f (x) : f (x) 對一切對一切 x x 都延續(xù)都延續(xù). .例例11 11 設(shè)設(shè) f (x)f (x)定義在區(qū)間定義在區(qū)間對恣意對恣意(,)x 所以所以f (x)在在 x 延續(xù)延續(xù).三、作業(yè)三、作業(yè)1. 1. 以下各組函數(shù)能否一樣以下各組函數(shù)能否一樣 ? ? 為什么為什么? ? (1)( )cos(2arccos )f xx 2( )21, 1,1xxx 與與,(2)( ),xxaf xaxa 21( )()2xaxax 與與0,0(3)( ),0 xf xxx ( ) ( )xff x 與與一樣一樣一樣一樣一樣一樣思索與練習(xí)思索與練習(xí)1(1

34、)sin1yx (2)max sin,cos,0,2yxxx 2(3)arcsin,2yuux不是不是04x cos,x42xsin,x是是不是不是提示提示: (2): (2)y 2. 以下各種關(guān)系式表示的以下各種關(guān)系式表示的 y 能否為能否為 x 的函數(shù)的函數(shù)? 為什么為什么?1,0(2)( )1,0 xf xx 2,xx oxy110 x ,0(1)( ),0 xxf xxx 2x 3. 以下函數(shù)能否為初等函數(shù)以下函數(shù)能否為初等函數(shù) ? 為什么為什么 ?yxO331,0(4)( )1,0 xxf xxx 2,1(3)( )4,1xf xx 1,131,1xx 2(1)3,1xx 61,x1

35、x xR 以上各函數(shù)都是初等函數(shù)以上各函數(shù)都是初等函數(shù). .1y-11xOxo142y2( ), ( )1,( )0,xf xefxxx 且且求求( )x 及其定義域及其定義域 . .5. 5. 知知3,8( ) (5),8xxf xff xx , , 求求(5) .f6. 6. 設(shè)設(shè)221(sin)csccos,sinfxxxx求求( ).f x由由2()xe 1, x 得得( )ln(1) ,xx (,0 x 4. 4. 解解: :4. 4. 設(shè)設(shè)2( )xe ( ( )fx 2( )xf xe f5. 5. 知知3,8( ) (5),8xxf xff xx , ,求求(5) .f解解:

36、:)5(f) (f103 )10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 6. 設(shè)設(shè)221(sin)csccos,sinfxxxx求求. )(xf解解: :2211sinsin(sin)sin1xxfxx21sin(sin)3xx3)(2xxf測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題3 3、函函數(shù)數(shù)xxxysincos 是是（ ）( (A A) )偶偶函函數(shù)數(shù)； ( (B B) )奇奇函函數(shù)數(shù)；( (C C) )非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù)；( (D D) )奇奇偶偶函函數(shù)數(shù). . 4 4、函函數(shù)數(shù)xxf2cos1)( 的的最最小小正正周周期期是是（ ） ( (A A) )2 2 ； ( (B B) ) ；

37、 ( (C C) ) 4 4 ； ( (D D) )21 . .5 5、函函數(shù)數(shù)21)(xxxf 在在定定義義域域?yàn)闉椋?）( (A A) )有有上上界界無無下下界界； ( (B B) )有有下下界界無無上上界界；( (C C) )有有界界，且且 2121)( xf ；( (D D) )有有界界，且且 2122 xx . .6 6、與、與2)(xxf 等價(jià)的函數(shù)是等價(jià)的函數(shù)是（ ） (A) (A) x； (B) (B) 2)(x； (C)(C) 33)(x； (D)(D) x . .7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，下列函數(shù)哪一個是其它三個的高階時(shí)，下列函數(shù)哪一個是其它三個的高階無窮小無窮?。?） （A

38、 A）2x； （B B）xcos1 ； （C C）xxtan ； （D D）)1ln(x . .8 8、設(shè)設(shè), 0,00 ba則則當(dāng)當(dāng)（ ）時(shí)時(shí)有有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx . . ( (A A) )nm ； ( (B B) )nm ； ( (C C) )nm ； ( (D D) )nm ,任任意意取取 . .二二、求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域：9 9、設(shè)設(shè) 10 ,01, 1)(xxxxxf則則 )(lim0 xfx( ( ) ) ( (A A) )- -1 1 ； ( (B B) )1 1 ； ( (C C) )0 0 ； ( (D D) )

39、不不存存在在 . .1 10 0、 xxx0lim（ ）( (A A) )1 1； ( (B B) )- -1 1；( (C C) )0 0； ( (D D) )不不存存在在. .;arctan)12sin(1xxy 、2 2、12)9lg()(2 xxx . .三、三、 設(shè)設(shè)132)1(2 xxxg（1 1） 試確定試確定cba,的值使的值使 cxbxaxg )1()1()1(2 ；（2 2） 求求)1( xg的表達(dá)式的表達(dá)式 . .四、四、 求求xxxfsgn)1()(2 的反函數(shù)的反函數(shù))(1xf . .五五、 求求極極限限： 1 1、22)1(12limnnnn ； 2 2、321li

40、m3 xxx ；3 3、xxx20)1(lim ； 4 4、)1(lim1 xxex ；八八、 證證明明奇奇次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式： 1221120)( nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一個個實(shí)實(shí)根根 . .檢驗(yàn)題答案檢驗(yàn)題答案)(xf2(1 cos),axx 0 x,10 x, )(ln2xb0 x在在 x = 0 x = 0 延續(xù)延續(xù) , , 那么那么 a = , b = . a = , b = .提示提示: :20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e例例3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)) 1)()(xaxbex

41、fx有無窮延續(xù)點(diǎn)有無窮延續(xù)點(diǎn)0 x及可去延續(xù)點(diǎn)及可去延續(xù)點(diǎn), 1x解解: :為無窮延續(xù)點(diǎn)為無窮延續(xù)點(diǎn), ,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去延續(xù)點(diǎn)為可去延續(xù)點(diǎn) , ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim試確定常數(shù)試確定常數(shù) a a 及及 b . b .例例4. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)331yx0)1(lim33bxaxx解解: 原式原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故故,01a于是于是,1a而而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxx

42、xxx0例例5. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , 使使-2-112-2-112yx 0 x時(shí)時(shí),32xx 是是x的幾階無窮小的幾階無窮小?解解: 設(shè)其為設(shè)其為x的的k階無窮小階無窮小,那么那么kxxxx320lim0C因因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故故61k例例6 當(dāng)當(dāng)閱讀與練習(xí)1. 求的延續(xù)點(diǎn), 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去延續(xù)點(diǎn))(lim1xfx x = 1 為第二類無窮延續(xù)點(diǎn), 1)(lim0 xfx, 1

43、)(lim0 xfx x = 0 為第一類騰躍延續(xù)點(diǎn)2. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231那么)(xf3x133利用夾逼準(zhǔn)那么可知.3)(limxfx習(xí)題課習(xí)題課一、一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和微分的概念及運(yùn)用機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)和微分的求法 導(dǎo)數(shù)與微分 第二章 一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及運(yùn)用 導(dǎo)數(shù) :xxfxxfxfx)()(lim)(0當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)0 x)(xf0 x)(xf 微分 :xxfxfd)()(d機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 關(guān)系關(guān)系 :可導(dǎo)

44、可微( 思索 P124 題1 ) 運(yùn)用 :(1) 利用導(dǎo)數(shù)定義處理的問題 (3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的運(yùn)用(2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限1) 推出三個最根本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法那么xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法那么推出;2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) , 及某些特殊函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例1.設(shè))(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了

45、 例2.假設(shè)0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimxxxfx且0) 1 (f聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式220) 1cossin1 (limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例3.設(shè))(xf在2x處延續(xù),且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx

46、2)(lim2xxfx3思索思索 : P124 題題2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例4.設(shè)1lim)() 1() 1(2xnxnnebaxexxf試確定常數(shù) a , b 使 f (x) 處處可導(dǎo),并求. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時(shí)x;)(axf時(shí)，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得處可導(dǎo)，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 , 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 能否為延續(xù)函數(shù) ?判別:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終

47、了 )(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時(shí)x,)(axf時(shí)，1xxxf2)()(xf設(shè)0)(,xxf在討論解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例5.所以 )(xf0 x在處延續(xù). 即)(xf0 x在處可導(dǎo) .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的延續(xù)性及可導(dǎo)性. xxxx120sinlim0)0( f機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法1. 正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法那么 2. 熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)留意討論界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)能否存在和相等(2) 隱函數(shù)求

48、導(dǎo)法對數(shù)微分法(3) 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)(4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 (可利用微分方式不變性)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(5) 高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)歸納 ;間接求導(dǎo)法;利用萊布尼茲公式.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例6.設(shè), )(arctansin1sinxxxfeey其中)(xf可微 ,.y求解解:yd)d(sinsinxxee)d(sinsinxxee)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee)d(11)(arctan1112xxxfxexexxd) sin(cossinxfxxd)(arctan1112xyyddxxee c

49、os機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例7.，有定義時(shí)設(shè))(0 xgx 且)(xg 存在, 問怎樣選擇cba,可使下述函數(shù)在0 x處有二階導(dǎo)數(shù).)(xf解解: 由題設(shè)由題設(shè))0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x延續(xù), 即, )0()0()0(fff得)0(gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)

50、0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例8.設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.dd22xy解解: :方程組兩邊對方程組兩邊對 t t 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得txddt 2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22 ttyddycostydd0) 1(2ttyddtxdd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 22ddxy)(ddddxyttxdd )()cos1)(1(ddyttt) 1(2t yttysin) 1()cos1 (23)co

51、s1 () 1(2yttydd yttysin) 1(2)cos1 (2233)cos1 () 1(2yt機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 作業(yè) P124 4 ; 5(1) ; 6 ; 7 (3) , (4) , (5) ; 8 (2) ; 10 ; 11 (2) ; 12 ; 13 ; 15機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 習(xí)題課三、中值定理及導(dǎo)數(shù)的習(xí)題課三、中值定理及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用運(yùn)用一、一、 微分中值定理及其運(yùn)用微分中值定理及其運(yùn)用二、二、 導(dǎo)數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)用三、三、 作業(yè)作業(yè) 拉格朗日中值定理 )()(bfaf 一、一、 微分中值定理及其運(yùn)用微分中值定理及其運(yùn)用 羅爾定理 0)( f)(

52、)()()()()( FfaFbFafbf abafbff )()()( xyoab)(xfy 10)1()(! )1(1 nnxxfn xxF )( xyoab)(xfy 柯西中值定理 )()()(bfafxxF 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxf nnxxxfn)(!100)( 0 n(1) 研討函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)研討函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒等式或不等式證明恒等式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論利用逆向思想利用逆向思想, 設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù). 普通解題方法普通解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在證明含一個中值的等式或根的存在 ,(2)

53、假設(shè)結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函假設(shè)結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù)數(shù) ,(3) 假設(shè)結(jié)論中含兩個或兩個以上的中假設(shè)結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理多用羅爾定理,可思索用可思索用必需多次運(yùn)用必需多次運(yùn)用(4) 假設(shè)知條件中含高階導(dǎo)數(shù)假設(shè)知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多思索用泰勒公式，多思索用泰勒公式，(5) 假設(shè)結(jié)論為不等式假設(shè)結(jié)論為不等式 , 要留意適當(dāng)放大或減少的技要留意適當(dāng)放大或減少的技巧巧.有時(shí)也可思索對導(dǎo)數(shù)用中值定理有時(shí)也可思索對導(dǎo)數(shù)用中值定理.在在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且,)(Mxf 證明證明在在)(xf),(

54、ba內(nèi)有界內(nèi)有界. , ),(0bax 再取異于再取異于0 x的點(diǎn)的點(diǎn), ),(bax 對對)(xf為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得得)()()(00 xxfxfxf )(0之間之間與與界于界于xx )()()(00 xxfxfxf 00)()(xxfxf )()(0abMxf K 可見對恣意可見對恣意, ),(bax ,)(Kxf 即得所證即得所證.xx ,0在以在以在在)(xf1 ,0內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且,0)1( f證明至少存在一點(diǎn)證明至少存在一點(diǎn) )( f, )1 ,0( 使使上延續(xù)上延續(xù), 在在)1 ,0( )(2 f.0)(2)( ff設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助

55、函數(shù))()(2xfxx 顯然顯然)(x 在在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 故至故至, )1 ,0( 使使0)()(2)(2 ff即有即有 )( f )(2 f少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn),)(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在，上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)babaxf且且,0ba 試證存在試證存在).(2)( fbaf 使使, ),(,ba ,2)()( fbaf 因因 f ( x ) 在在 a , b 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 故有故有),(, )()()(baabfafbf ,)(2上上滿滿足足柯柯西西定定理理?xiàng)l條件件在在及及又又因因baxxf),(,2)()()(22

56、bafabafbf 將代入將代入 , 化簡得化簡得故有故有),(2)( fbaf ),(,ba 即要證即要證.2)()(22 fababf 滿足下述等式滿足下述等式naaa,1001210 naaan證明方程證明方程在在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一內(nèi)至少有一個實(shí)根個實(shí)根.010 nnxaxaa,)(10nnxaxaaxF 那么可那么可設(shè)設(shè)121012)( nnxnaxaxaxF,1,0)(,上連續(xù)上連續(xù)在在顯然顯然xF且且 )0(F由羅爾定理知存在一點(diǎn)由羅爾定理知存在一點(diǎn), )1 ,0( 使使,0)( F即即.10010 內(nèi)至少有一個實(shí)根內(nèi)至少有一個實(shí)根），（在在 nnxaxaa,)1,0(

57、內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在,0)1( F設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在0, 3 上延續(xù)上延續(xù), 在在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且 , 1)3(, 3)2()1()0( ffff使使, )3, 0( . 0)( f1)3(,13)2()1()0( ffff試證必存在試證必存在 想到找一點(diǎn)想到找一點(diǎn) c , 使使3)2()1()0()(fffcf 所以在所以在0, 2上延續(xù)上延續(xù), 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 M 與最小值與最小值 m, 故故Mfffm )2(),1(),0(Mfffm 3) 2() 1 () 0(由介值定理由介值定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) 使使, 2, 0 c32()

58、1()0()()fffcf 1 , 1)3()( fcf,)3,(,3,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在且且ccxf由羅爾定理知由羅爾定理知, 必存在必存在 . 0)(, )3, 0()3,( fc使使,2)( xf在在)(xf1 ,0上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo), )1()0(ff 且且證明證明.1)( xf, 1,0 x由泰勒公式得由泰勒公式得)0(f)1(f兩式相減得兩式相減得22)(21)1)(21)(0 xfxfxf 22)(21)1)(21)(xfxfxf 22)(21)1()(21xfxf 22)1(xx )1(21xx 1,0,1 x)(xf xxf)( 2)(21xf )10(

59、)10()1)(21)1)()(2 xfxxfxf增減增減,極值極值,凹凸凹凸, 拐點(diǎn)拐點(diǎn), 漸近線漸近線,曲率曲率 目的函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題求不定式極限求不定式極限;幾何運(yùn)用幾何運(yùn)用;相關(guān)變化率相關(guān)變化率;證明不等式證明不等式;研討方程實(shí)根等研討方程實(shí)根等.二、二、 導(dǎo)數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)用設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(, )(xgxf在在上具有上具有n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),),( a且且)1,2,1 ,0()()()1()()( nkagafkk)()()()2()()(axxgxfnn 那么那么當(dāng)當(dāng)ax 時(shí)時(shí). )()(xgxf , )()()(xgxfx 那那么么;)1,1 ,0(0)()( nkak

60、 )(0)()(axxn 利用利用)(x 在在ax 處的處的 n 1 階泰勒公式得階泰勒公式得 )(x )(xa 因此因此ax 時(shí)時(shí). )()(xgxf 0 nnaxn)(!)()( 的延續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)的延續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)(1) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)上上連連續(xù)續(xù)，在在),()( xf的的則則)(xf其導(dǎo)數(shù)圖形如下圖其導(dǎo)數(shù)圖形如下圖,單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)為 ;極大值點(diǎn)為極大值點(diǎn)為 .)(xf ),0(),(21xx ),(),0,(21 xx21, xx0 x)(xf根根據(jù)據(jù)的正負(fù)作的正負(fù)作 f (x) 的表示圖的表示圖. 單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為 ;o2x1xyxox)(xf1x2