中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一線三角三等角型

1、“一線三等角”基本圖形解決問題三角形相似在整個初中數(shù)學(xué)中有著重要的地位， 在學(xué)習(xí)三角形相似形時， 我們從復(fù)雜圖 形中分離出基本數(shù)學(xué)模型， 對分析問題、 解決問題有化繁為簡的效果。 在近幾年的中考題中， 經(jīng)常可以看到“一線三等角”的數(shù)學(xué)模型， 所謂“一線三等角”是指在一條直線上出現(xiàn)了三 個角相等。 所以，只要見到一條直線上出現(xiàn)了三個等角， 往往都存在這樣的模型， 也會存在 相似三角形， 當(dāng)出現(xiàn)了有相等邊的條件之后， 相似就轉(zhuǎn)化為全等了， 綜合性題目往往就會把 相似和全等的轉(zhuǎn)化， 作為出題的一種形式， 需要大家注意。 本文將重點對這一基本圖形進(jìn)行 探討。 通過對題目的有效分解， 打破同學(xué)們對綜合題

2、的畏懼心理， 讓同學(xué)們加深對于題目條 件的使用：條件用完，即使題目沒有求解完畢，也得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，提高問題解決的能力， 在這個師生共同探討的過程中鼓勵學(xué)生嘗試解題，并加強(qiáng)題后反思，培養(yǎng)他們解題的能力。 一、知識梳理：（1）四邊形ABCD是矩形，三角板的直角頂點 M在BC邊上運動，直角邊分別與射線BA射線CD交于E、F,在運動過程中， EBMhA MCF.（2）如圖1:已知三角形 ABC中，AB=ACZ ADEN B,那么一定存在的相似三角形有 ABMA DEC.如圖2:已知三角形 ABC中, AB=AC,Z DEF=/ B,那么一定存在的相似三角形有 DBEA ECF.（圖 1）（圖 2）二、

3、【例題解析】【例 1】（2014 四川自貢）閱讀理解:如圖1,在四邊形ABCD勺邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED EC, 可以把四邊形 ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD勺邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點解決問題:（1） 如圖1,Z A=Z B=Z DEC=55，試判斷點 E是否是四邊形 ABCD的邊AB上的相似點， 并說明理由；（2）如圖2,在矩形 ABCD中, AB=5, BC=2且A, B，C, D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中 每個小正方形的邊長為 1）的格點（即

4、每個小正方形的頂點）上，試在圖 2中畫出矩形 ABCD 的邊AB上的一個強(qiáng)相似點 E;拓展探究:（3）如圖3,將矩形ABCD沿 CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形 ABCM勺邊AB上的一個強(qiáng)相似點，試探究 AB和BC的數(shù)量關(guān)系.【練習(xí)】1、 已知矩形 ABCD中，AB=3 , AD=2 ，點P是AB上的一個動點，且和點 A,B不重合，過 點P作PE垂直DP,交邊BC于點E,設(shè),PA=x , BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍2、如圖，已知正方形 ABCD將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M點旋轉(zhuǎn)到BC的垂直平分線PQ上時，

5、連接ON若0N=8求MQ的長3.如圖，在矩形 ABCD中, AB=m(m是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動點(不與 BC重合)連接DE,作EF丄DE, EF與射線BA交于點F,設(shè)CE=x,BF=y,(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(2) 若m=8求x為何值時，y有最大值，最大值是多少12(3) 若y，要使 DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少m【例2】等邊 ABC邊長為6, P為BC邊上一點，/ MPN60°,且PM PN分別于邊 AB AC 交于點E、F.(1) 如圖1,當(dāng)點P為BC的三等分點，且 PEIAB時，判斷 EPF的形狀；(2) 如圖2,若點P在BC邊上運動，且保持

6、 PE±AB設(shè)BP=x，四邊形 AEPF面積的y, 求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(3) 如圖3,若點P在BC邊上運動，且/ MPN繞點P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時，求PE的長.分析過程：(EPF為等邊三角形(2 )設(shè) BP=x 貝U CP= 6-x.由題意可 BEP的面積為2X . CFP的面積為£6x)2 . ABC的面積為9.3.設(shè)四邊形AEPF的面積為y.y 9 3 IP 號6 x)2= H2 心 93自變量x的取值范圍為3v xv 6.(3)可證 EBPA PCF.aBPCFBECP .設(shè) BP=x，則 x(6 x) 8.解得x,4,x2 2.

7、PE的長為4或 2 3【練習(xí)】如圖，在厶ABC中, AB=AC=5cm BC=8，點P為BC邊上一動點(不與點 B C重合)， 過點P作射線PM交AC于點M 使/ APM/ B;(1) 求證： ABMA PCM(2) 設(shè)BP=x, CMy.求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍.(3) 當(dāng)厶APM為等腰三角形時，求 PB的長.(4) 當(dāng)點D是BC的中點時，試說明厶 ADE是什么三角形，并說明理由.【例3】在ABC中,C 90o, AC是AC上的一個動點,AC 24,BC 3,O是AB上的一點，且 竺 -，點PAB 5PQ OP交線段BC于點Q,(不與點B,C重合)，已知AP=2,求CQ【

8、練習(xí)】在直角三角形ABC中,C 90o,AB BC,D是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點，(與A,C不重合)，DF(1) 、當(dāng)點D是邊AB的中點時，求證:(2) 、當(dāng)也 m，求匹的值DBDFDE, DF與射線BC相交于點F.DE DF【例4】如圖，拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過點A( - 3, 0), B, C(0, - 3).（1）求拋物線的解析式；若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)厶PAC的面積為S,求S的最大值并求出此時點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的頂點為 D, DEL x軸于點E,在y軸上是否存在點 M使得 ADM是直角三角 形若存在，請直接寫出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明

9、理由.27o15答案：（1）y=x2+2x - 3; （2）S有最大值，點P的坐標(biāo)為（， 一）;82437M的坐標(biāo)為（0,）或（0,）或（0，- 1）或（0，- 3）.22課后作業(yè)：1. 已知：如圖，在 ABC中，AB AC5 , BC 6，點 D在邊 AB上, DEAB ,點E在邊BC上又點F在邊AC上，且 DEF B .（1）求證： FC0A EBD當(dāng)點D在線段AE上運動時，是否有可能使S FCE 4S EBD 如果有可能，那么求出 BD的長如果不可能請說明理由.2. 如圖，在 ABC中, AB=A（=5, BC=6, P是BC上一點，且 BF=2,將一個大小與/ B相等的角的頂點放在 P

10、點，然后將這個角繞 P點轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與 AB AC相交,交點為D E。（1）求證 BPSA CEP（2）是否存在這樣的位置， PDE為直角三角形若存在，求出 的長；若不存在，說明理由。BD3.如圖，在 ABC中，AB=AC=5, BC=6, P是BC上的一個動點（與B、C不重合）,PEI AB與 E, PFL BC交 AC與 F,設(shè) PC=x,記 PE= y1 , PF= y2(1)分別求yi、y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(2 ) PEF能為直角三角形嗎若能，求出CP的長，若不能，請說明理由。4. 如圖，在厶ABC中, AB=AC=5, BC=6, P是BC上的一個動點(與B C不重合),

11、PEI AB與 E, PF丄 BC交 AC與 F,設(shè) PC=x, PEF的面積為y(1) 寫出圖中的相似三角形不必證明；(2) 求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍；(3) 若厶PEF為等腰三角形，求 PC的長。5.已知在等腰三角形 ABC中，AB BC 4, AC 6 , D是AC的中點， E是BC上的動點(不與B、C重合)，連結(jié)DE ,過點D作射線DF ,使 EDF A,射線DF 交射線EB于點F，交射線 AB于點H (1) 求證： CED s ADH ;(2) 設(shè) EC x, BF y . 用含x的代數(shù)式表示BH ; 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出 x的定義域.6. 已知在梯形 A

12、BCDK AD/ BC ADc BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1) 如圖8, P為AD上的一點，滿足/ BPC=/ A. 求證； ABSA DPC 求AP的長.(2) 如果點P在AD邊上移動(點 P與點A D不重合)，且滿足/ BPE=Z A, PE交直 線BC于點E,同時交直線 DC于點Q那么 當(dāng)點Q在線段DC的延長線上時，設(shè) AP= x, CQ= y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫 出函數(shù)的定義域； 當(dāng)CE= 1時，寫出AP的長(不必寫出解題過程).答案：1.解：(1)V AB=AC/ B=Z C/ BED/ DEf=Z C+Z EFC90。又： DEF FCEA EBD55

13、(2)v BD=x, BE=x , EC 6 x33B :丄 BED/ EFC/ FCEA EBD.S FECS BEDEC 2卄（而）右Sfce4S5x)21811363 BD不存在11 65x32.解：(1)v ABAC'. / B=Z C/ DPCZ DPEZ EP(=Z BV BDR.Z EPC= / BDPABDh DCE(2)/ DPE=Z B 90 °若Z PDE=90，在 Rt ABH和 Rt PDE中3bh cos / ABH=cos / DP AB12/ PC=4 BD 5若Z PED=90 在 Rt ABH和 Rt PDE中3PDPDBDPEPEPC c

14、os / ABHtcos / PE=-BH PEAB PDPDBDPEPC20/ PC=4 BD 2035 （舍去）綜上所述，BD的長為12CCFx43.解：(1) yi (6 x)5(2)/ FPE=/ B 90°若/ PFE=90°,在 Rt ABH和 Rt PFE中4245x T、y2 cos / ABhtcos / FPE=-BH-ABPFPEy2yi2452717若/ PEf=90°, 在 Rt ABH和 Rt PFE中3A cos / ABH=cos / FPE=-BHPFABPEyi4.解：（1）4x34 24x5 5 PEBA EPC- x(3 )當(dāng)PC=x PFx ,PE(6 x),EHEP35511 41632 “、y -PFEHx(6 x)x(6 x)22 32575643)y(2 )T蛋X27525x(0 xPE=PF 時,EPCA PEBPC=BE=x,PE=EF 時,PH - PF2cos / EP片cosB,16旁6x)42x3x)10843當(dāng)1FE=PF 時，PM 丄 EP-(6x),cos / FPMcosB,25綜上所述，PC的長分別為x9、108、2443解:(1)v AB BC , AC/ CDEEDF又 EDFA