數(shù)學(xué)分析(華東師大版)上第十章10-1

1、 1 平面圖形的面積 本節(jié)介紹用定積分計(jì)算平面圖形在一、直角坐標(biāo)方程表示的平面圖形的 二、參數(shù)方程表示的平面圖形的面積 三、極坐標(biāo)表示的平面圖形的面積 面積各種表示形式下的面積. 12( ),( ) , fxfxa b其其中中是是定定義義在在上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). .12( , )|( )( ), , ,xAx yfxyfxxa b型型區(qū)區(qū)域域: :12( , )|( )( ), , ,yBx ygyxgyyc d型型區(qū)區(qū)域域: :用用定定積積分分求求由由直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程表表示示的的平平面面圖圖形形的的面面xy積積, ,通通常常把把它它化化為為型型和和型型區(qū)區(qū)域域上上的的積積分分來

2、來計(jì)計(jì)算算. .12( ),( ) , gygyc d其其中中是是定定義義在在上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). .平面圖形的面積一、直角坐標(biāo)方程表示的通過上移通過上移xA型型區(qū)區(qū)域域abxyO2( )yfx1( )yfxAxyOab2( )yfxM1( )0yfxMA由定積分的幾何意義，可知由定積分的幾何意義，可知 A 的面積為的面積為例例1 1228.yxxyA求求由由拋拋物物線線和和所所圍圍圖圖形形 的的面面積積解解21221204,.028xxyxyyxy的的解解為為21()( )d( )dbbaaS AfxMxfxMx21( )( )d .bafxfxx21( )( )( )d .dcS B

3、gygyyyB同同理理, , 型型區(qū)區(qū)域域的的面面積積為為于是于是 0424132d8323402 xxxxxAS.382464316Ax圖圖形形既既是是型型區(qū)區(qū)域域Ax把把看看作作型型區(qū)區(qū)域域, ,則則24xy 2yx82 (4, 2)xyOAy又又是是 型型區(qū)區(qū)域域. .212( ),( ),8xfxfxx212( ),( )8 ,Aygyygyy把把看看作作為為型型區(qū)區(qū)域域， 則則33222022( )8d8033yS Ayyyy于是于是.38388328例例222.yxxyA求求由由和和圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積解解22(1, 1)(4,2).yxxy和和的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為和和圖圖

4、形形A如如下下圖圖. .1,01( ),2 ,14xxfxxx . 40,2 xxxf,Ax若若把把看看作作型型區(qū)區(qū)域域 則則24xy 2(4, 2)xyO2xy(1, 1)A421()(2) dS Axxx113 210044()() d.33S Axxxx 112,fAAA由由于于分分段段定定義義分分為為二二圖圖形形和和1241439()()().3322S AS AS A423 2121432.3232xxx則則.29123122132yyy顯然顯然, ,由于由于 g1(y), g2(y) 不是不是分段定義的函數(shù)分段定義的函數(shù), ,比較比較 Ay若若把把看看作作為為型型區(qū)區(qū)域域，則則21

5、2( )( 12),( )2 ( 12).gyyygyyy 221( )(2)dS Ayyy容易計(jì)算容易計(jì)算.二、參數(shù)方程表示的 平面圖形的面積設(shè)曲線設(shè)曲線C 由參數(shù)方程由參數(shù)方程( ), ,( )xx ttyy t 表示表示,( ),( ).y tx t其其中中連連續(xù)續(xù)連連續(xù)續(xù)可可微微( ), (), ( ) ,xa xb x t 若若在在上上單單調(diào)調(diào)增增, ,則則,Cxa xbx 由由曲曲線線及及直直線線和和軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積為積為( )d( )( )d .baS Ayxy t x tt ( ), ( ), ( ) ,xa xb x t 若若在在上上單單調(diào)調(diào)減減時(shí)時(shí)，()d(

6、)( )dbaS Ayxy t x tt ( )d .S Ay t x tt 因此因此, ,不論不論 x(t)遞遞增或遞減增或遞減, ,( )( )d .y t x tt 若上述曲線若上述曲線C 是封閉的，即是封閉的，即( )(),( )(),xxyy 則由則由C 所圍的平面圖形所圍的平面圖形 A 的面積同樣是的面積同樣是 ( )d .S Ay t x tt ()d.S Ax t y tt 或或22220(1cos ) d3.atta 解解20( )(1cos ) (sin )dS Aat a ttt 所圍圖形的面積所圍圖形的面積. .aa2xyO2 a A與與 x 軸軸例例3 3(sin )

7、,0, 2 (1cos )xa tttyat 求求由由擺擺線線三、極坐標(biāo)表示的平面圖形的面積2, nAn把把扇扇形形分分割割成成個(gè)個(gè)小小扇扇形形xO A rr 由曲線由曲線 C . 和和兩兩條條射射線線= =與與= =圍圍成成xOi 0 n 1i i 1 i 設(shè)曲線設(shè)曲線C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為( ), ,.rrA 圖圖形形01,nT 作作分分割割 ：射射線線1,ii 從而從而2211111().22nnniiiiiiiimS AM由于由于2220011111limlim( )d ,222nniiiiTTiimMr 2211(),22iiiiimS AM 則則設(shè)設(shè)1inf( )|, ,

8、iiimr 1sup( )|, ,iiiMr1,2, .in12,.nAAA因此因此例例4(1cos ).ra 求求心心臟臟線線所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積解解2201( ) (1cos ) d2S Aa 23.2a21( )( )d .2S Ar 220(1cos ) da Oxya2a(1cos )ra 例例522cos2.ra 求求雙雙紐紐線線所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積由圖形的對(duì)稱性由圖形的對(duì)稱性,2401()4cos2 d2S Aa 解解20,r 因因?yàn)闉樗砸缘牡娜∪≈抵?3 5,.4444范范圍圍是是與與2240sin2.aa a/2 aOyx解解22240411( )