數(shù)列極限的定義1

1、 選題依據(jù)選題依據(jù) 本節(jié)課是選自同濟大學第六版高等數(shù)學第一章第二節(jié)。 極限是本課的重點難點，它是后面學習連續(xù)、導數(shù)乃至多元函數(shù)的基礎(chǔ)。教學對象教學對象 合訓本課大一新生有一定的數(shù)學基礎(chǔ)，認識數(shù)列，但對極限思維初次接觸。大學數(shù)學相對高中數(shù)學，增加了數(shù)學語言描述，更顯抽象，要培養(yǎng)學員的抽象能力。教學重難點教學重難點教學重點：數(shù)列極限的定義和判斷教學難點：理解數(shù)列極限的定義教學方法教學方法講授與討論教學進程教學進程導入導入導入導入導入小結(jié)看到極限，你想到了什么？看到極限，你想到了什么？討論劉徽九章算書注中言：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無所失矣。”割圓術(shù)，即是不斷倍增

2、內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。截丈問題截丈問題引例1一尺之錘，日取其半，永無截盡。rn如圖所示 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n當 n 無限增大時, 無限逼近 S . 推導至第 n天截丈的總長記為 增加時，截丈的總長度逐漸地接近于1.,nS當天數(shù)n 不斷地劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)引例2劉徽九章算書注中言：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。rn如圖所示 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n當 n 無限增大時, 無限逼近 S . 推導設(shè)有半徑為 r 的圓,

3、nA逼近圓面積 S .其內(nèi)接正 n 邊形的面積記為當 內(nèi)接正n 邊形的邊數(shù)增加時，它的面積逐漸地數(shù)學語言描述數(shù)學語言描述概括,0,N正整數(shù)當 n N 時,SAn總有舉例劉徽九章算書注中言：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。定義定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作)(nfxn或.nxnx稱為通項(一般項) .若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :,0,N正數(shù)當 n N 時, 總有記作此時也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnli

4、m或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,例如，,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散例例1. 已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當Nn 時, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2)

5、 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當Nn 時, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說明說明: 取11N例例3. 設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 則當 n N 時, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為0 .1nq劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)劉徽九章算書注中言：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)導入劉徽九章算書注中言：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)導入劉徽九章算書注中言：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。致謝致謝: : 首先，非常感