利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分ppt課件

1、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)目的：利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)目的：利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)重點(diǎn)：二重積分化為極坐標(biāo)形式教學(xué)重點(diǎn)：二重積分化為極坐標(biāo)形式教學(xué)難點(diǎn)：用極坐標(biāo)表示平面區(qū)域教學(xué)難點(diǎn)：用極坐標(biāo)表示平面區(qū)域由扇形面積公式可知其中第由扇形面積公式可知其中第i個(gè)小區(qū)域的面積為個(gè)小區(qū)域的面積為AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,c

2、os(二重積分化為二次積分的公式）二重積分化為二次積分的公式）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r例題例題區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r例題例題AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分二重積分化為二次積分 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 區(qū)域特征如

3、圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0二重積分化為二次積分二重積分化為二次積分例例 1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例題例題例例 2 2 計(jì)算計(jì)算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點(diǎn)，半徑為原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍

4、成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 例題例題例例3 3 求求廣廣義義積積分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2例題例題又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred00

5、22);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 例題例題當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例題例題例例 4 4 計(jì)算計(jì)算dxdyyxD)(22 ，其，其 D為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 y

6、yx222 03 yx03 xy例題例題例例 5 5 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中積分區(qū)域?yàn)槠渲蟹e分區(qū)域?yàn)?1| ),(22 yxyxD.解解由由對(duì)對(duì)稱稱性性，可可只只考考慮慮第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被積積函函數(shù)數(shù)也也要要有有對(duì)對(duì)稱稱性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D例題例題例例 6 6 求曲線求曲線 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.解解根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性有有 14DD 在在極

7、極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D例題例題由由 arar 2cos2, 得得交交點(diǎn)點(diǎn))6,( aA, 所所求求面面積積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a例題例題基本解法：基本解法： 先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解界區(qū)域時(shí)取極限求解.解解 先考慮圓域先考慮圓域| ),(222RyxyxD DyxdRI )1()(22例例 1 1 求廣義二重積分求廣義二重積分. 1,)1(22 DyxdI D是整個(gè)是整個(gè)xOy平面平面 廣義二

8、重積分廣義二重積分 2002)1(Rdrrrd 1)1(1112 R當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí) 1)(lim RIR 則則 1 I 當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí) )(limRIR 則則原原積積分分發(fā)發(fā)散散 例題例題例例 2 2 設(shè)設(shè)),()(),(,|0|21)(yxyxfaxaxax DdyxfzF,),()( 其其中中,| ),(zyxyxD 求求).(zF 解解 區(qū)域區(qū)域 D D 可以表示為可以表示為 ,| ),( xxzyyxD, ,故故 xzdyyxfdxzF),()( xzdyyxdx)()( xzdyydxx)()( 例題例題所所以以 dxxzxzF)()()( aadxxza)(21 令令xzt , , 則

9、則有有 azazdttazF)(21)( 于是有于是有: : ( (1 1) ) az2 時(shí)時(shí), , 0)( zF ( (2 2) ) 02 za時(shí)時(shí), , 242)(aazzF ( (3 3) ) az20 時(shí)時(shí), , 242)(azazF ( (4 4) ) az2 時(shí)時(shí), , 0)( zF 例題例題1.二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中注意使用對(duì)稱性）（在積分中注意使用對(duì)稱性）2.廣義二重積分基本解法：廣義二重積分基本解法： 先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解.小結(jié)小結(jié)一

10、、一、 填空題填空題: :1 1、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xyx222 , ,表示為極坐表示為極坐標(biāo)形式的二次積分標(biāo)形式的二次積分, ,為為_._.2 2、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xy 10, ,10 x, ,表表示為極坐標(biāo)形式的二次積分為示為極坐標(biāo)形式的二次積分為_._.3 3、 將將 xxdyyxfdx32220)(化為極坐標(biāo)形式的二化為極坐標(biāo)形式的二次積分為次積分為_._.4 4、 將將 2010),(xdyyxfdx化為極坐標(biāo)形式的二次積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分為為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；練習(xí)題答案練習(xí)題答案練習(xí)