3-5多維隨機變量的函數(shù)分布ppt課件

1、二、離散型隨機變量函數(shù)的分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 四、小結四、小結一、問題的引入一、問題的引入第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布.,),(,的分布的分布分布確定分布確定的的如何通過如何通過的函數(shù)關系的函數(shù)關系與與并且已知并且已知表示該人的血壓表示該人的血壓年齡和體重年齡和體重分別表示一個人的分別表示一個人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXgZYXZZYX 為了解決類似的問題下面為了解決類似的問題下面我們討論隨機變量函數(shù)的分布我們討論隨機變量函數(shù)的分布.一、問題的引入一、問題的引入二、離散型隨機變量函

2、數(shù)的分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律為為設設隨隨機機變變量量),(YX例例1 1.)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX 概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等價于等價于概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(

3、122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的的分分布布律律分分別別為為所所以以YXYX ,結論結論的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為若二維離散型隨機變量若二維離散型隨機變量, 2, 1, jipyYxXPijji的的分分布布律律為為則則隨隨機機變變量量函函數(shù)數(shù)),(YXgZ ),(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij例例2 2 設兩個獨立的隨機變量設兩個獨立的隨機變量 X X 與與 Y Y 的分布的分布律為律為

4、XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求隨機變量求隨機變量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0由于由于 X 與與 Y 相互獨立相互獨立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0例例3 3 設相互獨立的兩個隨機變量設相互獨立的兩個隨機變量 X, Y X, Y 具有同一具有同一分布律分布律, ,且且

5、 X X 的分布律為的分布律為XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律試試求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所所以以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互獨獨立立與與因因為為YX),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律為為故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為則則的的概概率率密密度度為為設設YXZyxfYX ),(),()(zZP

6、zFZ yxyxfzyxdd),( xyOzyx yux 三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 1. Z=X+Y 的分布的分布yxyxfyzdd),( yuyyufzdd),( .dd),(uyyyufz 由此可得概率密度函數(shù)為由此可得概率密度函數(shù)為.d),()( yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ 由于由于 X 與與 Y 對稱對稱, 當當 X, Y 獨立時獨立時,也也可可表表示示為為)(zfZ,d)()()( yyfyzfzfYXZ.d)()()(xxzfxfzfYXZ 或或由公式由公式,d)()()(xxzfxfzfYXZ 解解,e21)(22 xxfxX由

7、由于于,e21)(22 yyfyY例例4 4 設兩個獨立的隨機變量設兩個獨立的隨機變量 X X 與與Y Y 都服從標都服從標準正態(tài)分布準正態(tài)分布, ,求求 Z=X+Y Z=X+Y 的概率密度的概率密度. .)2 , 0(分布分布服從服從即即NZ2zxt ttzdee21242 .e2142z xzfxzxZdee21)(2)(222 xzxzdee212242 得得闡明闡明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布則則相互獨立且相互獨立且設設一般一般 有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性

8、組合仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布. .的概率密度的概率密度求電阻求電阻其他其他它們的概率密度均為它們的概率密度均為相互獨立相互獨立設設串聯(lián)聯(lián)接串聯(lián)聯(lián)接和和兩電阻兩電阻在一簡單電路中在一簡單電路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的的概概率率密密度度為為由由題題意意知知 R.d)()()( xxzfxfzfR例例5 5 ,100,100 xzx當當,10,100時時即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被積函數(shù)不為零中被積函數(shù)不為零 xxzfxfzfR)1(., 0,2010,d)()(,100,d)()()(10100

9、其他其他zzRzxxzfxfzxxzfxfzf ., 0,100,5010)(其他其他將將xxxf此時此時 ., 0,100,50)(10)(其他其他xzxzxzf ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzzzzzzfR式式得得代代入入)1(的分布的分布YXZ . 2分分布布函函數(shù)數(shù)為為的的則則的的概概率率密密度度為為設設YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ zYXP xyOzyx 1G2GyxyxfGdd),(1 yxyxfGdd),(2 yxyxfyzdd),(0 ,dd),(0yxyxfyz ,yxu 令令yxyxfGdd)

10、,(1 yxyxfyzdd),(0 yuyyuyfzdd),(0 uyyyuyfzdd),(0 同理可得同理可得 zGuyyyuyfyxyxf0,dd),(dd),(2故有故有)(zZPzFZ yxyxfGdd),(1 yxyxfGdd),(2 yyyzyfyyyzyfzfd),(d),()(00 .d),(yyyzfy 當當 X, Y 獨立時獨立時,.d)()()(yyfyzfyzfYX 由此可得分布密度為由此可得分布密度為.dd),(d),(00uyyyuyfyyyuyfz ., 0, 0,e2)(, 0, 0,e)(,2的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)試求試求其他其他其他其他它們的概率密度分

11、別為它們的概率密度分別為相互獨立相互獨立壽命壽命的燈泡的的燈泡的分別表示兩只不同型號分別表示兩只不同型號設設YXZyyfxxfYXYXyx ,d),(d),()(00yyyzyfyyyzyfzfZ 解解由公式由公式例例6 6 ., 0, 0, 0,ee2),(2其其他他yxyxfyxyyzyde2)2(0 ,)2(22z yyzfyyzZdee2)(20 得所求密度函數(shù)得所求密度函數(shù))0(時時當當 z)0(時時當當 z, 0)( zfZ得得 . 0, 0, 0,)2(2)(2zzzzfZ第三章第三章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布補充結論：補充結論：則令：,YXZ dyyyzfzfZ，數(shù)為，

12、其聯(lián)合密度函是二維連續(xù)型隨機變量，設yxfYX（1）則令：,XYZ （2），數(shù)為，其聯(lián)合密度函是二維連續(xù)型隨機變量，設yxfYX dyyyyzfdxxxzxfzfZ1,1,的的分分布布及及),min(),max(. 3YXNYXM 則有則有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP ),()(,yFxFYXYX和和的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為它們它們變量變量是兩個相互獨立的隨機是兩個相互獨立的隨機設設).(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX

13、 ).(1)(11)(minzFzFzFYX 推行推行的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為及及則則),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它它們們的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為量量個個相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變是是設設).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 則則分分布布函函數(shù)數(shù)相相互互獨獨立立且且具具有有相相同同的的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .),(iii),(ii),(i),2121如圖

14、所示如圖所示開始工作開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時當系統(tǒng)當系統(tǒng)備用備用并聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)串聯(lián)連接的方式分別為連接的方式分別為聯(lián)接而成聯(lián)接而成統(tǒng)統(tǒng)由兩個相互獨立的子系由兩個相互獨立的子系設系統(tǒng)設系統(tǒng)LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例7 7度分別為度分別為已知它們的概率密已知它們的概率密的壽命分別為的壽命分別為設設,21YXLL , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由解解串聯(lián)情況串聯(lián)情況(i),21就停止工作就停止工作系統(tǒng)系統(tǒng)中有一個損壞時中有一個損壞時由于當由于當LLL的的壽壽命命為為所所以以這這時時 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的壽壽命命接接方方式式寫寫

15、出出試試分分別別就就以以上上三三種種聯(lián)聯(lián)且且其其中中ZL , 0, 0, 0,e1)(xxxFxX , 0, 0, 0,e)(xxxfxX , 0, 0, 0,e)(yyyfyY ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e1)(yyyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的的壽壽命命為為所所以以這這時時 L).,max(YXZ 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz . 0, 0, 0,e

16、 )(ee)()(maxzzzfzzz并聯(lián)情況并聯(lián)情況(ii),21才才停停止止工工作作系系統(tǒng)統(tǒng)都都損損壞壞時時由由于于當當且且僅僅當當LLL,21才開始工作才開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時由于這時當系統(tǒng)由于這時當系統(tǒng)LL即即兩者之和兩者之和是是的壽命的壽命因此整個系統(tǒng)因此整個系統(tǒng),21LLZLYXZ 的概率密度為的概率密度為時時當當YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()( zyyzy0)(dee zyzy0)(dee備備用用的的情情況況(iii), 0)(,0 zfz時時當當?shù)母怕拭芏葹榈母怕拭芏葹橛谑怯谑荵XZ . 0, 0, 0,ee )(zzzfzz.ee zz 本節(jié)的解題步驟本

17、節(jié)的解題步驟 ，分布函數(shù)的，先求隨機變量函數(shù)zFYXgZZ ，密度函數(shù)的，再求隨機變量函數(shù)zFzfYXgZZZ第三章第三章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例 8解：的密度函數(shù)，試求隨機變量令，相互獨立，與設隨機變量ZYXZNYNXYX221010由題意，可知數(shù)為的聯(lián)合密度函，是相互獨立的，所以，與由于YXYX ,2122xexfxfxYX第三章第三章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例 8續(xù)）續(xù)）yxeyxfyx，22221的分布函數(shù)為所以，22YXZ zZPzFZzYXP22，則若0Z 0zFZ第三章第三章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布，則若0Z zYXPzFZ22zyxdxdyyxf22，zyxyxdxdye2222221例例 8續(xù)）續(xù)）則有，作極坐標變換sincosryrx zrZrdredzF0220221zrrdre022第三章第三章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 000022zzrdrezFz