x02-9高階導(dǎo)數(shù)與泰勒公式ppt課件

1、2-9 2-9 高階導(dǎo)數(shù)和高階微分。高階導(dǎo)數(shù)和高階微分。 泰勒公式泰勒公式一、一、 高階導(dǎo)數(shù)和高階微分高階導(dǎo)數(shù)和高階微分定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在即即處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)

2、數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf高階微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b)內(nèi)有微分 dy=d(f(x)=f (x)dx若導(dǎo)函數(shù)f (x)在點a,b) 可微分則稱： d2y =d(dy)=df(x)dx = f” (x) (dx)2 = f ” (x) dx2 為函數(shù)y=f(x)在點x的二階微分。.)(2222dxxfddxyd或dn

3、y = f (n) (x) (dx)n = f (n) (x) dxn為函數(shù)y=f(x)在點x的n階微分.)(nnnndxxfddxyd或例例1 1.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得例例2 2ydyRxynn,),()(求設(shè)解解1 xy)(1 xy2)1( x( )(1)(1)(1)nnynxn 則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 因而，因而，n次多項式的次多項式的n+1階導(dǎo)數(shù)

4、必為零。階導(dǎo)數(shù)必為零。(1)(1)nnnd ynxdx 例例3 3( )1,.nyyabx設(shè)求解解21()ybabx 23( 1)( 2)()ybabx( )1!()()nnnnybabx 例例4 4.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解11(1)1yxx 2( 1)(1)yx 3( 1)( 2)(1)yx )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則:則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()(

5、)3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式形式與牛頓二項公式相似：形式與牛頓二項公式相似：nkkknknnbaCba0)(例例1 1.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx202219218220 19220 22222!xxxexexe)9520(22220 xxex)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuv

6、u 例例2 2.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx有時在求導(dǎo)前，應(yīng)對函數(shù)作適當(dāng)變換。有時在求導(dǎo)前，應(yīng)對函數(shù)作適當(dāng)變換。.,21)(2nyxxy求求 解解 解解例例3 3)2111(31 xxy.,cos)(2nyxy求求 xxxy2sinsincos2 )2)1(2sin(21)( nxynn例例4 4.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)

7、cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn缺乏缺乏:問題問題:尋尋找找多多項項式式函函數(shù)數(shù))(xP, ,使使得得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計計1、精確度不高；、精確度不高；2、誤差不能估計、誤差不能估計.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,)(xP為為多多項項式式函函數(shù)數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤誤差差 )()()(xPxfxRnn 問題的提出問題的提出例例如如, , 當(dāng)當(dāng)

8、x很很小小時時, , xex 1 , , xx )1ln(二.泰勒公式. 求 n 次近似多項式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn那么)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0

9、)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(0202012301020300( )()()().()nnnP xaa xxa xxa xxa xx)()(00 xfxPn.)()(0)(0)(xfxPnnn)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn .!)(,.,! 2)( ),( ),( 0)(020100nxfaxfaxfaxfann 解得( )20000000()()( )()()()().()2!nnnfxfxP xf xfxxxxxxxn( )( )( )nnf xP xR x泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理1 1( )200000000(

10、)( )( )( )( )()()()() 2!nnnf xfxf xf xf x x xx xx xo x xn 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在含有在含有x0具有直到具有直到n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù),則在則在x0點有點有展開式：展開式： o(x-x0)n為佩亞諾余項為佩亞諾余項Peano) 上式為帶佩亞諾余項的上式為帶佩亞諾余項的n階泰勒公式階泰勒公式 X0=0 麥克勞林(Maclaurin)公式:( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn( )( )( )nnRxf xP x00001,( )()()()()nf xf xfxxxo xx003023000000

11、030( )3, lim()()()( ) ()()()()() 2!3!lim()nxxxxRxnxxfxfxf xf xfxxxxxxxxx020000020()( )()()()() 2!lim3()xxfxfxfxfxxxxxxx00000( ) ()()()lim6()xxfxfxfxxxxx0000( )()()lim06()6xxfxfxfxxx泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理2 2( )200000000()()( )()()()()()(, )2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxRxxn(1)1000( )(, )()()(1)!nnnfR

12、x xxxxxn在 與 之間或或 01 (1)10000()(, )()(1)!nnnfxxxRxxxxn拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項證證: :11010( )()(1)()nnRxxnx在 與 之間0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn( )20000000( )( )( )()()( ) ()()()().() 2!nnnnRxf xP xfxfxf xf xfxxxxxxxn2201120()()(1)()nnRxn nx在 與 之間0()nR x0()nR x(1)(1)( )( )nnnRxf

13、x, 0)()1( xPnn )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項項式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 階階泰泰勒勒公公式式函數(shù)展開為n 階馬克勞林公式的步驟：1求 n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x) (2)求n階導(dǎo)數(shù)在x0=0處的值 f(n)(0) (3)計算(1)1()( )(1)!nnnfxR xxn例例1. 寫出寫出f (x)=ex的的n階麥克勞

14、林公式階麥克勞林公式.解：解：xnexfxfxfxf )(.)()()()1(由1)0(.)0()0()0(0)( effffn得所以 21111.2!(1)!xxnneexxxxnn !.! 212nxxxenx2111.()2!xnnexxxo xn ( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn2xe求的馬克勞林展式。)(! 212nnxxonxxxe 解解)(!)(! 2122422nnxxonxxxe )(!)1(! 212242nnnxonxxx 間接展開法間接展開法例例2. 求求f (x)=sinx展開到展開到n階的麥克勞林公階的麥克勞林公式式解

15、：因為解：因為).2sin()0();2sin()()()(nfnxxfnn, 0)0( , 1)0( , 0)0(fff所以,.,0)0(, 1)0( )4(ffmmmRmxxxxxx212)1(753)!12() 1(.! 7! 5! 3sin212sin(21)2(01)(21)!mmxmRxm35721(1)21sin.( 1)()3!5!7!(21)!mmmxxxxxxo xm 35721(1)sin.( 1)3!5!7!(21)!mmxxxxxxm ( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn! 3sin3xxx|!5)25sin(|54xxR誤

16、差) 10(! 5|5x!5!3sin53xxxx|!7)27sin(|76xxR誤差) 10(! 7|7xm=2m=3oyxy = x! 5! 353xxxyy =sin x!33xxyxysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計計算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .3. ( )ln(1). ( 1)f xxx 例nnnxn

17、xf)1 ()!1() 1()(1)(由)!1() 1()0(1)(nfnn則2341ln(1).( 1)( )234nnnxxxxxxR xn 得2341ln(1).( 1)()234nnnxxxxxxo xn 得(1)111()( 1)( )(1)!(1)(1)nnnnnnfxR xxxnnx2341ln(1).( 1)234nnxxxxxxn ( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn1111ln(2)1.2349 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式2111.()2!xnnexxxo xn 例例4 按按(x-4)的冪展開多項式的冪展開多項式

18、 f(x)=x4-5x3+x2-3x+4( )(4)( )0(5)(4)56;(4)21(4)74(4)66(4)24nfxnfffff 由(4)234(4)(4)(4)( )(4)(4)(4)(4)(4)(4)02!3!4!ffff xffxxxx 23746624( )56 21(4)(4)(4)(4)02!3!4!nf xxxxx 432(4)11(4)37(4)21(4) 56xxxx 利用泰勒公式計算極限利用泰勒公式計算極限例例10ln(1)sinlim1xxxxex )(! 3sin33xoxxx)(2)1ln(22xoxxx)(! 2122xoxxex)(2sin)1ln(22x

19、oxxx1)(2)(2lim1sin)1ln(lim222200 xoxxoxxexxxxx例例 2 2 計計算算 403cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式利用泰勒公式證明題：利用泰勒公式證明題：例例(P148)：設(shè)：設(shè)f(x)在在(a,b)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0,則在則在(a,b)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點使：使：證明：證明：)()()(4)(2afbfbaf),2()

20、2)(21)()2()2,()2)(21)()2(222121bbababfbfbafbaaabafafbaf)()()(8)()()()()(81)()(:221212afbfabffffabafbf于是得取)(, )(max)(21fff)()()(4)(2afbfbaf例例 2 設(shè)設(shè)f(x)在在-1，1上三次可導(dǎo)，且上三次可導(dǎo)，且f(-1)=0,f(1)=1,f(0)=0證明：存在證明：存在-1x01使使f”(x0) 3證明：利用證明：利用Talyor公式公式f(1)=f(0)+f(0) + 1/2 f”(0)+1/6 f”(1), 0 11f(-1)=f(0)-f(0)+ 1/2 f”(0)- 1/6 f”(2), 0 20,f(x0)為極小值為極小值同理同理( )0()0,nfx20000