常用的離散分布 (2)ppt課件

1、四、二項分布四、二項分布每一次實驗每一次實驗, ,設在一次實驗中設在一次實驗中, ,只需兩個對立的結果只需兩個對立的結果: :,A或或A反復進展反復進展n n次獨立實驗次獨立實驗, ,A A發(fā)生發(fā)生的概率都是的概率都是A A不發(fā)生的概率不發(fā)生的概率這樣的這樣的n n次獨立反復實驗次獨立反復實驗 稱作稱作n n重貝努里實驗重貝努里實驗. . 用用 表示表示Xn n重貝努里實驗中重貝努里實驗中事件事件A(A(勝利勝利) )出現(xiàn)的出現(xiàn)的能夠取值能夠取值: :X次數(shù)次數(shù), ,0,1,2,3,.,n, pq 1, p 都是都是PnkX.210nq111nnpCq222nnpCq.kknn kpCq.np

2、稱隨機變量稱隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為,n p的二項分布的二項分布, ,記為記為kpn kq即即 ( , )Xb n pP XkknC 0,1,2,.,kn EXpnDXqn p可以證明，可以證明， 二項分布的數(shù)學期望和方差二項分布的數(shù)學期望和方差分別為分別為0.5, 0.5 XU 0.30.3 在四舍五入時在四舍五入時, ,今有今有n n個加數(shù)個加數(shù), ,每個加數(shù)的取整誤差每個加數(shù)的取整誤差服從服從 0.5, 0.5上的均勻分布上的均勻分布, ,計算它們計算它們絕對誤差小于絕對誤差小于 的概率的概率. .0.3例例 設設 表示一個加數(shù)的取整誤差表示一個加數(shù)的取整誤差, ,X解解P10.5

3、0.5)(xfy 的概率為的概率為: :每個加數(shù)的絕對誤差小于每個加數(shù)的絕對誤差小于0.30.3X P0.30.3X ( )Xfx dx0.30.31dx0.6 設設 為為n n個加數(shù)中個加數(shù)中Y絕對誤差小于絕對誤差小于0.30.3的個數(shù)的個數(shù). .Y 的能夠取值為的能夠取值為0,1,2,.,n中至少有中至少有3個的個的1)n1)n個加數(shù)個加數(shù)2)2)每個加數(shù)的絕對誤差每個加數(shù)的絕對誤差4)4)各加數(shù)的絕對誤差能否各加數(shù)的絕對誤差能否至少有至少有3 3個加數(shù)的個加數(shù)的10.50.5)(xfy 或者小于或者小于0.3,0.3 或者或者3)3)每個加數(shù)的絕對誤差每個加數(shù)的絕對誤差小于小于 的概率都

4、是的概率都是0.30.6小于小于0.3互不影響互不影響. . ()Yb,n0.6絕對誤差絕對誤差小于小于 的概率為的概率為: :0.3P3Y 0P Y 設設 為為n n個加數(shù)中個加數(shù)中Y絕對誤差小于絕對誤差小于0.30.3的個數(shù)的個數(shù). .1P3Y 1 1P Y 2P Y1 0.4n10.61nC 10.4n 20.62nC 20.4n 0.5, 0.5 XU設設 表示一個加數(shù)的取整誤差表示一個加數(shù)的取整誤差XP0.3X 0.30.3( )Xfx dx0.30.31dx0.6 五、幾何分布五、幾何分布例例 射擊的次數(shù)射擊的次數(shù). .XP直到擊中為止直到擊中為止, , 設每次設每次p擊中的概率都

5、是擊中的概率都是且各次射擊的結果且各次射擊的結果(01),p 令令 表示表示X對某一目的射擊對某一目的射擊, ,.123n是獨立的是獨立的.假定一個實驗假定一個實驗直到初次勝利為止直到初次勝利為止, ,勝利的概率是勝利的概率是, p( 01),p 不斷地反復實驗不斷地反復實驗, ,的結果的結果是獨立的是獨立的. .令令 表示表示X實驗的次數(shù)實驗的次數(shù). .XPppq2pq1npq .其中其中qp1設設 表示表示iA“第第 次勝利次勝利 iiP A()q 令令p iP A()p1P X 1APA 21()APPA 21() ()qp A A AP 312()AAPPP A 123() () ()

6、AP 1()p P X 2P X 3pqq nnA AAAP 121.()nnPPAAAAPP 121() (). () （ ）npq 1qp 2P Xn 稱稱X X服從服從參數(shù)為參數(shù)為 的幾何分布的幾何分布. .p且各次實驗且各次實驗.123n123.XnPppq2pq1npq .其中其中qp1幾何分布：幾何分布：p 01,p pq pq 2npq 1. q1p1 123.XnPppq2pq1npq .其中其中qp1幾何分布：幾何分布：p 01,p p 1 1np nnq1EX1p EX p qp 2qp 23npqn 1. .2q 23q 1.nnq .11nnxn 1x 時時，1n ()

7、nx1nnx 23(.)nxxxx 1x x21(1)x 2(1)q 123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 01,p 1EXp 1n2n1npq2EX p 22 pq 223 pq 21.npqn . 1np2n1nq121nnxn時，時，1 x1n ()nnx1nnnxx11nnxn x2(1)x 31(1)xx p3(1)q 1q p 3p1q 2p 1q DX 2EX 2()EX21pq 21p pq 2幾何分布有性質：幾何分布有性質：123.XnPppq2pq1npq .Xm XnmP nP X對恣意自然數(shù)對恣意自然數(shù)m m，n n，有有證證Xm XnmP P Xm n

8、PXm Xm mP X P Xnm P Xm mP X1P Xm2P Xmk. mpq mpq 1m kqp 1.q1mpqmq mq nmq nq nP X稱為無記憶性，稱為無記憶性， 是幾何分布的特征性質是幾何分布的特征性質. .六、超幾何分布六、超幾何分布0100010C0600C一個池塘中有一個池塘中有10001000條魚條魚, ,從池中恣意撈從池中恣意撈100100條魚條魚, ,其中有其中有600條草魚條草魚, 400400條鰱魚條鰱魚, ,草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量求這求這100100條魚中條魚中解解 設設 表示表示X草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量.條草魚條草魚條鰱魚條鰱魚400600X的能夠取值

9、為的能夠取值為0,1,2,3,.,100 0P X C400100C1000100kC600 P Xk kC1000400,1,2,3,. 00,1k 例例 100的概率分布的概率分布. .撈出的撈出的100100條魚中條魚中一個池塘中有一個池塘中有10001000條魚條魚, ,從池中恣意撈從池中恣意撈100100條魚條魚, ,其中有其中有8080條草魚條草魚, , 920920條鰱魚條鰱魚, ,中草魚的數(shù)量中草魚的數(shù)量求這求這100100條魚條魚解解 設設 表示表示X草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量.條草魚條草魚條鰱魚條鰱魚92080X的能夠取值為的能夠取值為0,1,2,3,.,80C1000100kC

10、80P Xk 192000 kC 0,1,2,3,. 80.,k 例例 100的概率分布的概率分布. .撈出的撈出的100100條魚中條魚中規(guī)定規(guī)定C80810, 8280C 80100.C 即當即當k80k80時時, ,800kC ,81,82100,.,一個池塘中有一個池塘中有10001000條魚條魚, ,從池中恣意撈從池中恣意撈100100條魚條魚, ,其中有其中有930條草魚條草魚, 7070條鰱魚條鰱魚, ,草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量求這求這100100條魚中條魚中解解 設設 表示表示X草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量.條草魚條草魚條鰱魚條鰱魚70930X的能夠取值為的能夠取值為,31,.30.,10

11、0C1000100kC930 P Xk 07010kC k 例例 100的概率分布的概率分布. .撈出的撈出的100100條魚中條魚中規(guī)定規(guī)定C701000, 9970C 0717.C 即當即當j 70j 70時時, ,700jC 30, 31, ., 1000, 1,., 29,EX 1NnN 可以證明可以證明, ,定義定義 對給定的自然數(shù)對給定的自然數(shù)12,n NN以及以及12,NNN 共共 12NNN 個個個個k1N2N個個nk n個個假設假設 P Xk , nNCkNC12kNnC 0,1,2,.,kn 那么稱那么稱 服服從從 X超幾何分布超幾何分布.超幾何分布超幾何分布的數(shù)學期望和方

12、差分別為的數(shù)學期望和方差分別為1,NnNDX n 12,NN 這里商定這里商定,ab 當當時時,0abC 2NN 1NnN (1)(1)無前往無前往(2)(2)有前往有前往kNN12)2)每次或取到紅球或取到黑球每次或取到紅球或取到黑球. .3)3)每次取到紅球的概率都是每次取到紅球的概率都是4)4)各次摸取互不影響各次摸取互不影響NN1個黑球個黑球, ,N2設袋中有設袋中有 個紅球個紅球, ,N1從中取從中取n n次次, ,每次取一個球每次取一個球, ,表示取到的紅球個數(shù)表示取到的紅球個數(shù). .X P Xk 12nNNC 1kNC2kNnC 0,1,2,.,kn 服從超幾何分布服從超幾何分布

13、. .X1) 1) 次摸取次摸取n服從二項分布服從二項分布. .XP Xkn kNN2knC當當N N很大時很大時, ,無前往無前往接近于有前往接近于有前往, ,故故超幾何分布超幾何分布接近于接近于1N2N共共 12NNN 個個1,nN 2nN ，二項分布二項分布. .kn 0,1,2,.,(1)(1)無前往無前往(2)(2)有前往有前往時時pNN1其中其中P60 (2.57)P60 (2.57)1N2N共共 12NNN個個 P Xk 12nNNC 1kNC2kNnC 0,1,2,.,kn 1kNN P Xk 2n kNN knC0,1,2,.,kn 對于固定的對于固定的n,N 當當 P Xk

14、 12nNNC1kNC2kNnCkp,n kq knC1qp當當 很大時很大時, ,N無前往接近于有前往無前往接近于有前往, ,故超幾何分布故超幾何分布接近于二項分布接近于二項分布. .1,N 2,N 且且例例 設設1010粒種子中粒種子中NC1080.9共共N N粒粒NC101010C 910C 一大批種子的發(fā)芽率為一大批種子的發(fā)芽率為90%,從中任取從中任取1010粒粒, ,求播種后求播種后(1)(1)恰有恰有8 8粒發(fā)芽的概率粒發(fā)芽的概率; ;(2)(2)不少于不少于8 8粒發(fā)芽的概率粒發(fā)芽的概率. .解解有有 粒種子發(fā)芽粒種子發(fā)芽. .X (1)8P X NC0.98NC0.1220.

15、1 C810 (2)8P X 8P X 9P X 10P X NC0.1280.9NCNC10NC0.11NC0.99NC10NC0.10NC0.91080.920.1 C81090.910.1 100.900.1 0.9N0.1N七、泊松分布七、泊松分布定義定義 且取這些值的概率為且取這些值的概率為其中其中( )XP 為常數(shù)為常數(shù), ,那么稱那么稱 服服從從X參數(shù)為參數(shù)為的的記為記為設隨機變量設隨機變量 能夠取的值為能夠取的值為X,!kke e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e 0,1,2,., ,.k0,1,2,3,.k P Xk0, 分布分布, ,泊松泊松( )XP 1

16、由由121.!012!2kXPeeeekk xe21.2!nxxxn x 0nP Xn e 1!1e 2.2.!e .!nne e 1 1!1 2.2. .! .!nn e e 泊松分布的數(shù)學期望與方差分別為泊松分布的數(shù)學期望與方差分別為 EX DXEX 泊松分布：泊松分布：. 1 用同樣的方法可求得用同樣的方法可求得DX2EX 2()EXe 2!2 1.!(.)n 1n . e 1!1e 2!22e 3!33e .!nenn e1!1e .2!2e 2EX 2 2 2 e .01.2.nXP!nen 例例 書籍中每頁的印刷錯誤書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布服從泊松分布,一個印刷錯誤的頁數(shù)一

17、個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)求恣意檢驗求恣意檢驗4 4頁頁, , 每頁上都沒有印刷錯誤每頁上都沒有印刷錯誤解解 設任一頁上設任一頁上X有有 個印刷錯誤個印刷錯誤. P Xm,!mme 0,1,2,3,.m 1P X 2P X 總頁數(shù)總頁數(shù)有一個印刷錯誤的頁數(shù)有一個印刷錯誤的頁數(shù) 總頁數(shù)總頁數(shù)有兩個印刷錯誤的頁數(shù)有兩個印刷錯誤的頁數(shù) 2P X有有一樣一樣, 1P X 1!1e 22!e 2 的概率的概率.例例 書籍中每頁的印刷錯誤書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布服從泊松分布,一個印刷錯誤的頁數(shù)一個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)求恣意檢驗

18、求恣意檢驗4 4頁頁, , 每頁上都沒有印刷錯誤每頁上都沒有印刷錯誤解解 設任一頁上設任一頁上X有有 個印刷錯誤個印刷錯誤. P Xm,!mme 0,1,2,3,.m 有有一樣一樣,2 的概率的概率.一頁上無印刷錯誤的概率為一頁上無印刷錯誤的概率為 0P X 2e 00!e 任取任取4 4頁頁, ,設設 表示表示iA“第第 頁上頁上i無印刷錯誤無印刷錯誤P A A A A12341234() () () ()P A P A P A P A 8e ()iP A2e 0.135335 40.135335 ( (表表P276)P276)例例 某商店根據(jù)某商店根據(jù)服從參數(shù)為服從參數(shù)為=10=10的的銷售量銷售量為了以為了以95%95%保證不