第四章非平穩(wěn)序列和季節(jié)序列模型

1、上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 1非平穩(wěn)序列和季節(jié)序列模型非平穩(wěn)序列和季節(jié)序列模型在實際應用中，我們經(jīng)常會遇見不滿足平穩(wěn)性的時間序列，尤其在經(jīng)濟領域和商業(yè)領域中的時間序列多數(shù)都是非平穩(wěn)的。圖4.1是美國1961年1月1985年12月16-19歲失業(yè)女性的月度數(shù)據(jù)；圖4.2是美國1871年1979年煙草生產(chǎn)量的年度數(shù)據(jù) 。 圖4.1 圖4.2上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 24.1均值非平穩(wěn)均值非平穩(wěn) 均值非平穩(wěn)性將對于時變均值函數(shù)的估計提出各種問題，我們將引入兩種比較常用的模型。 1.確定性趨勢模型確定性趨勢模型 2.隨機趨勢模型隨機趨勢模型上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 3確定性趨勢模型確定性趨勢模型 對于非平穩(wěn)序列的時

2、變均值函數(shù)，最簡單的處理方法就是考慮均值函數(shù)可以由一個時間的確定性函數(shù)來描述，這時，可以用回歸模型來描述。 假如均值函數(shù)服從于線性趨勢 我們可以利用確定性的線性趨勢模型 01tt201,0,tttXtWN上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 4 如果均值函數(shù)服從二次函數(shù) 則我們可以用 假如均值函數(shù)服從k次多項式 我們可以使用下列模型建模 2012ttt22012,0,tttXttWN01ktktt201,0,ktkttXttWN上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 5 更一般地，在模型中除了確定性趨勢之外，其余部分是平穩(wěn)部分 其中 由于 得到 上述的確定性趨勢可以通過差分運算加以消除 20,0,kjtttjttjXatG B

3、WN G BBB 0ttE aG B E0kjtjjE Xt上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 6 對于最簡單的線性趨勢 ，易得 的一階差分序列 則 是一個平穩(wěn)但是非可逆的MA(1)模型。 如果趨勢為k次多項式 則 經(jīng)過k階差分得到111ttttXXtX tY11tttttYXXX tY01ktktt 0kjtjtjBXtB 0kkttBXB 0!kk上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 7隨機趨勢模型和差分隨機趨勢模型和差分 一種使得均值函數(shù)非平穩(wěn)的情況是自回歸參數(shù)不滿足平穩(wěn)條件的ARMA模型 例如，考慮AR(1)模型 其中 。經(jīng)過簡單的迭代計算可得 由此，容易得到 的方差 則當 時， 的均值和方差都趨向于 ，這種過程稱

4、為爆炸性的。 1tttXX100ttitt iiXX tX21222201var1ttitiXt tX上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 84.2自回歸求和移動平均模型自回歸求和移動平均模型（ARIMA） 一般的一般的ARIMA模型模型 隨機游動隨機游動（Random Walk）模型模型 上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 9一般的一般的ARIMA模型模型 如果時間序列 的d階差分 是一個平穩(wěn)的ARMA(p, q)序列，其中 是整數(shù)，則稱 為具有階p，d和q的自回歸求和移動平均（ARIMA）模型， 記為 。ARIMA模型的表示 ARIMA(p, d, q)模型 可以寫成 tX1dttYBX1d tX , ,tXARIM

5、A pd q 111dp dp dBBBBB 1111ttp dt p dttq t qXXX 上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 10隨機游動隨機游動（Random Walk）模型模型 設時間序列 有下列模型 則稱 為隨機游動序列。 “隨機游動”一詞首次出現(xiàn)于1905年自然（Nature）雜志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機游動問題”。文中討論尋找一個被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點開始搜索。 tXtX21,0,ttttXXWN上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 11 隨機游走過程的均值為零，方差為無限大 隨機游動序列是非平穩(wěn)的時間序列 1121tttt

6、ttttXXX10tttE XE21varvarttttX上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 124.3方差和自協(xié)方差非平穩(wěn)方差和自協(xié)方差非平穩(wěn) 根據(jù)過程寬平穩(wěn)定義，當均值為常數(shù)時，其協(xié)方差也不一定滿足平穩(wěn)條件。前面所述，ARIMA模型的均值函數(shù)是依賴于時間的，進一步地，我們說明其方差和協(xié)方差也不滿足平穩(wěn)條件。 例如使用模型 去擬合 個觀測序列，關于這個時間原點 ，模型可以寫為211,0,tttB XBWN0n0n0001121211111ttttttttnttnnXXXX 上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 13 類似地有 假設 、 和 為常數(shù)，則可以計算 計算自協(xié)方差函數(shù)，設 ARIMA模型的方差依賴于時間，且 另外

7、，當 時，方差 的值是無界的；最后序列的自協(xié)方差 也依賴于時間。 0001111t knt kt knnXX 0n0nX0n220var11 1tXtn220var11 1t kXtkn0ntkt 220cov,11 1tt kXXtknvarvartt kXXt vartXcov,tt kXX上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 14 下面我們考慮另外一類問題，就是有些非平穩(wěn)時間序列通過有限階差分不一定能夠平穩(wěn)。有許多序列雖然均值平穩(wěn)但方差非平穩(wěn)，此時需要考慮利用適當?shù)淖儞Q使得方差平穩(wěn)。在許多場合，非平穩(wěn)時間序列的方差隨均值水平的改變而變化，即 對于某些正值常數(shù)c和函數(shù)f( )，上述等式成立。我們的工作是尋

8、找一個函數(shù)T使得變換后的序列 具有同方差。 varttXc f ttT X上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 15 若時間序列 的標準差與均值水平成正比，即 ，則 若時間序列 的方差與均值水平成正比，即 ，則 若時間序列 的標準差與均值水平的平方成正比，即 ，則tXtXtX22varttXc1logttttTdfvarttXc12ttttTdf24varttXc11ttttTdf 上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 16 一般地，我們可以采用Box-Cox變換，即 該變換是Box和Cox（1964）引入的，這里 稱為變換參數(shù)。 1tttXT XX上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 174.4 季節(jié)時間序列季節(jié)時間序列(SARIMA)模

9、型模型 在某些時間序列中，存在明顯的周期性變化。這種周期是由于季節(jié)性變化（包括季度、月度、周度等變化）或其他一些固有因素引起的。這類序列稱為季節(jié)性序列。比如一個地區(qū)的氣溫值序列（每隔一小時取一個觀測值）中除了含有以天為周期的變化，還含有以年為周期的變化。在經(jīng)濟領域中，季節(jié)性序列更是隨處可見。如季度時間序列、月度時間序列、周度時間序列等。 處理季節(jié)性時間序列只用以上介紹的方法是不夠的。描述這類序列的模型之一是季節(jié)時間序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。較早文獻也稱其為乘積季節(jié)模型（multiplicative seasonal model）。上海財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 18 設季節(jié)性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的變化周期為s，即時間間隔為s的觀測值有相似之處。首先用季節(jié)差分的方法消除周期性變化。季節(jié)差分算子定義為， = 1- Bs 若季節(jié)性時間序列用yt表示，則一次季節(jié)差分表示為 Xt = (1- Bs) Xt