第九章第7節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

1、2實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的問題的實質(zhì)實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最驟烈的方：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、問題的提出一、問題的提出3 討

2、論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義引射線引射線內(nèi)有定義，自點內(nèi)有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設函數(shù)設函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ,(,)( ).xlP xx yylPU p 設設軸軸正正向向到到射射線線 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為并并設設為為上上的的另另一一點點且且（如圖）（如圖）oyx lP xyP 4|PP 由由,)()(22yx (,)( , ),zf xx yyf x y得得增增量量z 考考慮慮增增量量比比此此增增量量有有別別于于全全增增量量(,)( , ),zf xx yyf

3、x y和和偏偏增增量量(, )( , ),zf xx yf x y( ,)( , ),zf x yyf x y0. 當當時時的的極極限限oyx lP xyP 5.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的的方方向向?qū)?shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點點在在，時時，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當當之之比比值值，兩兩點點間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為oyx lP xyP 6:說明說明.),(),(lim0 yxfyyxxflf 在直線上，且有在直線上，且有有約束，有

4、約束，),(,)(yyxxPyx1cos,sin,xy .,),(),(,),()(的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)軸正向軸正向沿著沿著在點在點則是則是存在存在若若0121exyxPyxfyxfxxyoPPl.),(),(lim0 yxfyyxxflfxyxfyxxfx ),(),(lim0oyx lP xyP 7xyxfyxxfx ),(),(lim0.xf.1 , 0),(),(,),(:2的的方方向向?qū)?shù)數(shù)軸軸正正向向著著沿沿在在點點則則是是存存在在若若同同理理eyyxPyxfyxfy,類類似似地地12,( , )( , ) 1,0,0, 1.xyfff x yP x yee 是是在在點點沿沿的的

5、方方向向?qū)?shù)數(shù).),(),(lim0 yxfyyxxf如如xyxfyxxfxe),(),(lim01方向方向沿沿( , ).xfx y 8證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf兩邊同除以兩邊同除以,得到得到?:如何求如何求方向?qū)?shù)何時存在方向?qū)?shù)何時存在問題問題9cos cos )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxfcoscosffxylf如果方向如果方向 l 的坐標為的坐標為( , ),x y 則則2222cos,cos.yxxyxycossin.

6、ffxy10例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點點)0 , 1(P處處沿沿從從點點 )0 , 1(P到到點點)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù).解解; 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù)111222lz.2211cos,cos,2211例例 2 2 求求函函數(shù)數(shù)22),(yxyxyxf 在在點點（1，1）沿沿與與x軸軸方方向向夾夾角角為為 的的方方向向射射線線l的的方方向向?qū)?shù)數(shù).并并問問在在怎怎樣樣的的方方向向上上此此方方向向?qū)?數(shù)數(shù)有有 （1）最最大大值值； （2）最最小小值值； （3

7、）等等于于零零？解解(1,1)(1,1)cos(1,1)cosxyfffl由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知(1,1)(1,1)(2)cos(2)cosxyyx sincos),4sin(2 12故故（1）當）當4 時，時，方方向向?qū)?shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，（3）當）當43 和和47 時，時，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.13對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點，它在空間一點),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得

8、三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）14 同理：當函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點同理：當函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 L的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有.coscoscos zfyfxflf設設方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z15例例 3 3 設設n是曲面是曲面632222 zyx 在點在點)1 , 1 , 1(P處的指向外側的法向量，求函數(shù)處的指向外側的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向 n 的方向的方向?qū)?shù)導數(shù). 解解令令, 632),(222 zyxzy

9、xF44,xPPFx66,yPPFy22,zPPFz故故,xyznFFF ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為16,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故17三、梯度的概念三、梯度的概念:?P問問題題 函函數(shù)數(shù)在在點點沿沿哪哪一一方方向向變變化化的的速速度度最最快快coscosffflxy, cos,cosffxya e | cos( , ),aa e coscos,eijl 設設是是方方向向

10、上上的的單單位位向向量量,ffaxy 由由方方向向?qū)?shù)數(shù)計計算算公公式式得得cos( , )1,za el 當當時時 方方向向?qū)?shù)數(shù)取取最最大大值值 即即此此時時.a 方方向向與與向向量量 同同方方向向1819 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結論結論當當xf 不不為為零零時時，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tangradfgradf P20),

11、(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P21等高線的畫法等高線的畫法播放播放22圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,23梯度與等高線的關系：梯度與等高線的關系：向向?qū)?shù)數(shù)的的方方于于函函數(shù)數(shù)在在這這個個法法線線方方向向模模等等高高的的等等高高線線，而而梯梯度度的的值值較較值值較較低低的的等等高高線線指指向向數(shù)

12、數(shù)從從數(shù)數(shù)線線的的一一個個方方向向相相同同，且且在在這這點點的的法法高高線線的的等等的的梯梯度度的的方方向向與與點點在在點點函函數(shù)數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),(24 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點GzyxP ),(，都可定義一個向量都可定義一個向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的

13、最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)25類似地類似地,設曲面設曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點的等量面，此函數(shù)在點),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與過點過點 P的等量面的等量面czyxf ),(在這點的法線的一在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).26例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.271、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關系、方向?qū)?shù)與梯度的關系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯