第九章第7節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

1、2實(shí)例實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出3 討

2、論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方向沿某一方向的變化率問(wèn)題的變化率問(wèn)題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義引射線(xiàn)引射線(xiàn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ,(,)( ).xlP xx yylPU p 設(shè)設(shè)軸軸正正向向到到射射線(xiàn)線(xiàn) 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為并并設(shè)設(shè)為為上上的的另另一一點(diǎn)點(diǎn)且且（如圖）（如圖）oyx lP xyP 4|PP 由由,)()(22yx (,)( , ),zf xx yyf x y得得增增量量z 考考慮慮增增量量比比此此增增量量有有別別于于全全增增量量(,)( , ),zf xx yyf

3、x y和和偏偏增增量量(, )( , ),zf xx yf x y( ,)( , ),zf x yyf x y0. 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限oyx lP xyP 5.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱(chēng)稱(chēng)這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)在在，時(shí)時(shí)，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當(dāng)當(dāng)之之比比值值，兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為oyx lP xyP 6:說(shuō)明說(shuō)明.),(),(lim0 yxfyyxxflf 在直線(xiàn)上，且有在直線(xiàn)上，且有有約束，有

4、約束，),(,)(yyxxPyx1cos,sin,xy .,),(),(,),()(的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)軸正向軸正向沿著沿著在點(diǎn)在點(diǎn)則是則是存在存在若若0121exyxPyxfyxfxxyoPPl.),(),(lim0 yxfyyxxflfxyxfyxxfx ),(),(lim0oyx lP xyP 7xyxfyxxfx ),(),(lim0.xf.1 , 0),(),(,),(:2的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)軸軸正正向向著著沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)則則是是存存在在若若同同理理eyyxPyxfyxfy,類(lèi)類(lèi)似似地地12,( , )( , ) 1,0,0, 1.xyfff x yP x yee 是是在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿的的

5、方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).),(),(lim0 yxfyyxxf如如xyxfyxxfxe),(),(lim01方向方向沿沿( , ).xfx y 8證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf兩邊同除以?xún)蛇呁?得到得到?:如何求如何求方向?qū)?shù)何時(shí)存在方向?qū)?shù)何時(shí)存在問(wèn)題問(wèn)題9cos cos )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxfcoscosffxylf如果方向如果方向 l 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( , ),x y 則則2222cos,cos.yxxyxycossin.

6、ffxy10例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1(P處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn) )0 , 1(P到到點(diǎn)點(diǎn))1, 2( Q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).解解; 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù)111222lz.2211cos,cos,2211例例 2 2 求求函函數(shù)數(shù)22),(yxyxyxf 在在點(diǎn)點(diǎn)（1，1）沿沿與與x軸軸方方向向夾夾角角為為 的的方方向向射射線(xiàn)線(xiàn)l的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).并并問(wèn)問(wèn)在在怎怎樣樣的的方方向向上上此此方方向向?qū)?dǎo) 數(shù)數(shù)有有 （1）最最大大值值； （2）最最小小值值； （3

7、）等等于于零零？解解(1,1)(1,1)cos(1,1)cosxyfffl由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知(1,1)(1,1)(2)cos(2)cosxyyx sincos),4sin(2 12故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時(shí)，時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.13對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得

8、三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）14 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 L的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有.coscoscos zfyfxflf設(shè)設(shè)方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z15例例 3 3 設(shè)設(shè)n是曲面是曲面632222 zyx 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 1(P處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向 n 的方向的方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù). 解解令令, 632),(222 zyxzy

9、xF44,xPPFx66,yPPFy22,zPPFz故故,xyznFFF ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為16,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故17三、梯度的概念三、梯度的概念:?P問(wèn)問(wèn)題題 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿哪哪一一方方向向變變化化的的速速度度最最快快coscosffflxy, cos,cosffxya e | cos( , ),aa e coscos,eijl 設(shè)設(shè)是是方方向向

10、上上的的單單位位向向量量,ffaxy 由由方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算公公式式得得cos( , )1,za el 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)取取最最大大值值 即即此此時(shí)時(shí).a 方方向向與與向向量量 同同方方向向1819 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論結(jié)論當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時(shí)時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tangradfgradf P20),

11、(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線(xiàn)在所得曲線(xiàn)在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線(xiàn)等高線(xiàn)),(yxgradf梯度為等高線(xiàn)上的法向量梯度為等高線(xiàn)上的法向量P21等高線(xiàn)的畫(huà)法等高線(xiàn)的畫(huà)法播放播放22圖形及其等高線(xiàn)圖形圖形及其等高線(xiàn)圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,23梯度與等高線(xiàn)的關(guān)系：梯度與等高線(xiàn)的關(guān)系：向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的方方于于函函數(shù)數(shù)在在這這個(gè)個(gè)法法線(xiàn)線(xiàn)方方向向模模等等高高的的等等高高線(xiàn)線(xiàn)，而而梯梯度度的的值值較較值值較較低低的的等等高高線(xiàn)線(xiàn)指指向向數(shù)

12、數(shù)從從數(shù)數(shù)線(xiàn)線(xiàn)的的一一個(gè)個(gè)方方向向相相同同，且且在在這這點(diǎn)點(diǎn)的的法法高高線(xiàn)線(xiàn)的的等等的的梯梯度度的的方方向向與與點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),(24 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類(lèi)似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類(lèi)似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的

13、最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)25類(lèi)似地類(lèi)似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線(xiàn)的一在這點(diǎn)的法線(xiàn)的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線(xiàn)方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).26例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問(wèn)問(wèn)在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.271、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯