全等三角形之截長補短法

1、創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日例題1之南宮幫珍創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日如圖所示，在RtzABC中，ZC=90,BC=AC,AD平分/BAC交BC于D,求證：AB=AC+CD考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：利用已知條件，求得/B=/E,/2=/1,AD=AD,得出ABDAED(AAS),AE=AB.;AE=AC+CE=AC+CDJAB=AC+CD解答：在證法一：如答圖所示，延長AC,至UE使CE=CD,連接DEE./ACB=90,AC=BC,CE=CD,./B=/CAB=45,/E=/CDE=45,./Bu/E.AD平分/BAC,/1=/2在ABD和AED中，/B=/

2、E,/2=/1,AD=AD,ABDAED(AAS).AE=ABAE=AC+CE=AC+CD,AB=AC+CD證法二：如答圖所示，在AB上截取AE=AC,連接DE,AD平分/BAC,創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日AkCDB./1=/2在AACD和AAED中，AC=AE,/1=/2,AD=AD,.ACDAED(SAS./AED2C=90,CD=ED,又AC=BC,./B=45,./EDB=/B=45,.DE=BE,CD=BE;AB=AE+BE,.AB=AC+CD點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；通過SAS的條件證明三角形全等，利用三角形全等得出的結(jié)論來求得三角形

3、各邊之間的關系.例題2圖，AD是ABC中BC邊上的中線，求證：AD<5(AB+AC.bD,考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關系.專題：計算題.分析：可延長AD至(JE,使AD=DE,連BE,則AACNEBD導BE=AC,進而在ABE中利用三角形三邊關系，證之.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日解答：3證明：如圖延長AD至E,使AD=DE,連接BE.;BD=DC,AD=DE,/ADC=EDB=AC乎EBD=AC=BEAABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC.AD</(AB+AC點評：本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的

4、三邊關系問題，能夠熟練掌握.在ABC中，/ACB=90,AC=BC,直線MNg過點C,且AD±MN于D,BEXMNTE.(1)當直線MNg§點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,求證：DE=AD+BE(2)當直線MNg§點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DEADBE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系.匚圖考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：證明題.分析：(1)由已知AC=BC,/ADC=CEB=90,利用互余關系可證/DACNECB,可證ACNCBE,得AD=CE,CD=BE,故創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日AD+BE

5、=CE+CD=QE(2)止匕時，仍有AC乎CBE,AD=CE,CD=BE,利用線段的和差關系得DE=AD-BE解答：證明：(1)./DACVACD=90,/ACD+ECB=90,/DACNECB,又AC=BC,/ADCNCEB=90,.AC*CBE,AD=CE,CD=BE,.DE=CE+CD=AD+BE(2)DE=BE-AD仿照(1)可證AC乎ACBE,/.AD=CE,CD=BE,.DE=CD-CE=BE-AD點評：本題考查了用旋轉(zhuǎn)法尋找證明三角形全等的條件，關鍵是利用全等三角形對應線段相等，將有關線段進如圖，點P在/AOB勺內(nèi)部，點MN分別是點P關于直線OAOB的對稱點，線段MNOAOB于點

6、E、F,若4PEF的周長是20cm,則線段MN的長是20cm.考點：軸對稱的性質(zhì).分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：EP=EM,PF=FN,所以線段MN的長=zPEF的周長.解答：解：根據(jù)題意,EP=EM,PF=FN,MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=PEF的周長,MN=20cm點評：主要考查了軸對稱的性質(zhì)：對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等.(1)如圖所示，已知ABC中，/ABC/ACB的平分線相交于點O.試說明/BOC=90+$frac12$/A;(2)如圖所示，在4創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日ABC中，BD、CD分別是/ABC/ACB的外角平分

7、線.試說明/D=90-$frac12$/A;(3)如圖所示，已知BD為4ABC的角平分線，CD為ABC外角/ACE的平分線，且與BD交于點D,試說明/a=2/D.考點：三角形的外角性質(zhì)；角平分線的界說；三角形內(nèi)角和定理.分析：(1)根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)可得，/BOC+OCB=90-$frac12$/A,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得/BOC=90+$frac12$/A;(2)根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得/BCD=$frac12$(/A+/ABC、/DBC=$frac12$(/A+/ACB；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得/BDC=90-$frac12$/A;(3)根據(jù)BD為4ABC的角平分線，CD為A

8、ABC外角/ACE的平分線，可知，/A=180-/1-/3,/D=180-Z4=25=180-/3-$frac12$(/A+2/1),兩式聯(lián)立可得2/D=/A.解答：解：(1)在ABC中，OB、OC分別是/ABC/ACB的平分線，/A為x./BOC+OCB=$frac12$(180-/A)創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日=$frac12$X(180-x)=90-$frac12$/A故/BOC=180-(90-$frac12$/A)=90+$frac12$/A;(2)BDCD為ABC兩外角/DBG/BCE的平分線/A為x./BCD=$frac12$(/A+/ABC、/

9、DBC=$frac12$(/A+/ACB由三角形內(nèi)角和定理得，/BDC=180-/BCD-/DBC=180-$frac12$ABC吆ACB=180-$frac12$(/A+180)=90$frac12$/A;(3)如圖：:BD為ABC的角平分線為ABC外角/ACE的平分線1=/2,/5=$frac12$/3=/4,在ABE中,/A=180-/1-/3-在/D=180-/4-/5=180-/3-$frac12$即2/D=360-2/3-/A-2/A-，把代入得2/D=/A.點評：此類題目比力簡單，考查的是三角形內(nèi)角與外角的關系角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學階段的慣例題.如圖，直線a、b

10、、c暗示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站.要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有處.考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；直線與圓的位置關系.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日專題：應用題.分析：依題意可作四個圓分別與三條直線相切，其中三個在三角形外部，一個在三角形內(nèi)部，其圓心就是可供選擇的地址.解答：解：可作四個圓分別與三條直線相切，其中三個在三角形外部，一個在三角形內(nèi)部.故填4.點評：本題涉及圓的相關知識，難度中等.如圖甲所示，在ABC中，AB=AC,在底邊BC上有任意一點P,則P點到兩腰的距離之和即是定長（腰上的高），即PD+PE=CF,若P點在BC的延長

11、線上，那么請你猜想PDPE和CF之間存在怎樣的等式關系？寫出你的猜想并加以證考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積.專題：證明題.分析：猜想：PDPE、CF之間的關系為PD=PE+CF根據(jù).Sapab=i11112AB?PD,Sapac=2AC?PE,Sacab=2AB?CF,Sapac=2AB?PE,2AB?PD=2AB?CF+5AB?PE,即可求證.解答：猜想：PDPE、CF之間的關系為PD=PE+CF證明：連接12AC?PE,SACAB=1AP,則Sapac+Sacab=Sapab,Sapab=AAB?PD,Sapac=iiill2AB?CF,又AB=AC,SapaC=2AB?PE,2AB

12、?PD=AAB?CF+2AB?PE,即弘B(PE+CF=AB?PD,.PD=PE+PF創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難度適中，關鍵是先猜想出PDPE、CF之間的關系為PD=PE+C再證明.如圖，zABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長BC到E使CE=CD,試判斷BDE的形狀.考點：等腰三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì).分析：因為ABC是等邊三角形，所以/ABC玄ACB=60,BD是AC邊上的中線，則/DBC=30,再由題中條件求出/E=30,即可判斷BDE的形狀.解答：證明：.ABC是等邊三角形./ABC之AC

13、B=60vAD=CD./DBC=5/ABC=30;CE=CD./CDENE/ACB之CDE廿E：/E=30./DBEhE：BD=DE.BDE是等腰三角形.點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；此題把等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定結(jié)合求解.考查了學生綜合運用數(shù)學知識的能力，獲得/E=30是正確解答本題的關鍵.（2007?吉林）某家電商場經(jīng)銷A,B,C三種品牌的彩電，五月份共獲利48000元.已知A種品牌彩電每臺可獲利100元，B種品牌彩電每臺可獲利144元，C種品牌彩電每臺可獲利360元.請你根據(jù)相關信息，補全彩電銷售臺數(shù)的條形圖和所獲利潤的百分創(chuàng)作時間：二零二一年六月三

14、十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日數(shù)的扇形考點：扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.專題：圖表型.分析：根據(jù)獲利總數(shù)與扇形圖，可計算出B型彩電的獲利，進而求出B型彩電的數(shù)目；接著可求出C型彩電的獲利和臺數(shù)；利用A、C型的獲利和獲利總數(shù)分別求出它們所獲利潤的百分數(shù)，進而補全彩電銷售臺數(shù)的條形圖和所獲利潤的百分數(shù)的扇形圖即可.解答：解：根據(jù)題意可得：五月份共獲利48000元，B種品牌彩電獲利占30%,即獲利48000X30%=14400元，故B種品牌彩電的臺數(shù)為14400+144=100臺，則C種品牌彩的臺數(shù)為(48000-120X100-14400)+360=60臺;據(jù)此可補全條形創(chuàng)作時間：二零二一年六月三

15、十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日（4分）五月份共賣出（120+100+60）=280臺，其中A種品牌彩電120臺，占獲利的25%,B種品牌彩100臺占獲利的30%,C種品牌彩電60臺，占獲利的45%,據(jù)此可補全扇形圖.各品牌彩電所獲利潤的百分數(shù)s圖（6分）說明：條形圖中每畫對1個條形圖得（2分）.扇形圖中每填對個扇形得（1分）.扇形圖中若標成暗示A,C計算的百分數(shù)正確填圖不正確，扣（1）.如另畫扇形圖正確也得分.點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從分歧的統(tǒng)計圖中獲得需要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地暗示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖中各部份占總體的百分

16、比之和為1,能直接反映部份占總體的百分創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日如圖所示，已知EMAB于點A,CDLDF于點D,AB/CD,請判斷EA與DF的位置關系，并說明理由.考點：平行線的判定；垂線；平行線的性質(zhì).專題：探究型.分析：首先由AB/CD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，獲得/BAD之ADC,再根據(jù)垂直的界說獲得/EAB=/CDF=90,則/EAB+/BAD之CDF吆ADC,即/EADNADF,滿足關于EA/DF的條件：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.解答：解：EA/DF.理由如下：:EA!AB于點A,CD，DF于點D（已知），./EAB=90,/CDF=90（垂直界說

17、）.;AB/CD（已知）,BAD之ADC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），EABtZBADNCDF吆ADC,即/EAD之ADF,fEA/DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的界說以及平行線的判定定理.（2002?河南）如圖，ABIICD,直線EF分別交ARCD于E、F,EG平分/BEF,若/1=72°,則/2=54度.考點：平行線的性質(zhì)；角平分線的界說.專題：計算題.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日分析：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可求出/FEB,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可獲得/BEG,然后用兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出/2.解答：解：A

18、B/CD,./BEF=180-Z1=180-72=108,/2=/BEG,又EG平分/BEF,./BEG=/BEF=2乂108=54,故/2=/BEG=54.點評：本題應用的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補.（2006?年夜連）在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，從盒中隨機地取出一個棋子，如果它是黑色棋子的概率是試寫出y與x的函數(shù)關系式.（2）若往盒中再放進10顆黑色棋子，則取得黑色棋子的概率釀成上求x和y的值.考點：概率公式；二元一次方程組的應用.有,is分析：（1）根據(jù)概率的求法：在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，共x+y顆棋子，如果它是黑色棋子的概率是率二雪成立.

19、化簡可得y與x的函數(shù)關系式；（2）若往盒中再放進10顆黑色棋子，在盒中有10+x+y顆棋子，則取得黑色棋子的概率釀成5,結(jié)合（1）的條件，可得J_3工+8J+101t+10-2解可得x=15,y=25.解答：解：（1）根據(jù)題意得:（3分）整理，得8x=3x+3y,（4分）5x=3y,衛(wèi)二科；（5分）（2）解法創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日根據(jù)題意工十1口工+什1口1-2(7分)整理，得2x+20=x+y+10,y=x+10,(8分)5x=3(x+10),x=15,y=25.解法二：J：4-10_13ya(2)根據(jù)題意，可得+?+10-2,整理得3=工+10,解得二

20、二15&=25.(8分)點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A呈現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=果.如圖，在等腰ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E,連接BP交AC于點F.(1)證明：/CAENCBF(2)證明：AE=BF考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CH平分/ACB,再證明ACE和BCF全等，然后根據(jù)全等三角形對應角相等和全等三角形對應邊相等即可證明.解答：(1)證明：在等腰ABC中，:CH是底邊上的高線，./(AC-BG(ACH=aECHACH2BCH,在ACE和BCF中，=,.ACEBCF(SAS),./CAE之CBF(全等三角形對應角相等)；(2).ACNBCF(SAS»,AE=BF(全等三角形對應邊相等).創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日點評：本題主要考查全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)