三維空間幾何坐標(biāo)變換矩陣ppt課件

1、第第7章章 三維變換三維變換 7.1 簡介 7.2 三維幾何變換 7.3 三維坐標(biāo)變換7.1 簡介簡介三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因?yàn)槲覀兛蛇x直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因?yàn)槲覀兛蛇x取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理起來更為復(fù)雜。起來更為復(fù)雜。與二維變換相似，我們也采用齊次坐標(biāo)技術(shù)與二維變換相似，我們也采用齊次坐標(biāo)技術(shù)來描述空間的各點(diǎn)坐標(biāo)及其變換，這時(shí)，描來描述空間的各點(diǎn)坐標(biāo)及其變換，這時(shí)，描述空間三維變換的變換矩陣是述空間三維變換的變換矩陣是44的形式。的形式。由此，

2、一系列變換可以用單個(gè)矩陣來表示。由此，一系列變換可以用單個(gè)矩陣來表示。7.2 三維幾何變換三維幾何變換7.2.1 基本三維幾何變換基本三維幾何變換 1. 平移變換平移變換 若空間平移量為若空間平移量為(tx, ty, tz)，則平移變換，則平移變換為為P(x,y,z)P(x,y,z)xyz補(bǔ)充說明：點(diǎn)的平移、補(bǔ)充說明：點(diǎn)的平移、物體的平移、多面體物體的平移、多面體的平移、逆變換的平移、逆變換2. 比例變換比例變換10000000000001 1 zyxssszyxzyx（1） 相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)P=(x,y,z)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換的矩相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的

3、比例變換的矩陣可表示為陣可表示為xyzzyxzszysyxsx,其中其中zyxsss,為正值。為正值。（2） 相對(duì)于所選定的固定點(diǎn)的比例變換相對(duì)于所選定的固定點(diǎn)的比例變換zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)(1)(2)(3) 1111000000000,fzfyfxzyxfffzyxfffzsysxsssszyxTsssSzyxT3. 繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換 三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換比二維空間中的旋轉(zhuǎn)變?nèi)S空間中的旋轉(zhuǎn)變換比二維空間中的旋轉(zhuǎn)變換復(fù)雜。除了需要指定旋轉(zhuǎn)角外，還需指定旋轉(zhuǎn)換復(fù)雜。除了需要指定旋轉(zhuǎn)角外，還需

4、指定旋轉(zhuǎn)軸。軸。 若以坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸若以坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸x,y,z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)實(shí)際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。則點(diǎn)實(shí)際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。此時(shí)用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變此時(shí)用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣。換矩陣。 規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點(diǎn)看是逆時(shí)針手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點(diǎn)看是逆時(shí)針方向。方向。 （1繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)xxxyyyzzzzzyxyyxxcossinsincosxzyx（2繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)xxzyz

5、zyycossinsincos（3繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)yyxzxxzzcossinsincos1000010000cossin00sincos1 1 zyxzyx10000cossin00sincos000011 1 zyxzyx10000cos0sin00100sin0cos1 1 zyxzyx繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，則該軸坐標(biāo)的一列元素不變。按照二維圖旋轉(zhuǎn)，則該軸坐標(biāo)的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉(zhuǎn)矩陣形變換的情況，將其旋轉(zhuǎn)矩陣cossinsincos中的元素添入相應(yīng)的位置中，即中的元素添入相應(yīng)的位置中，即對(duì)于單位矩陣對(duì)于單

6、位矩陣1000010000100001xyzxyz旋轉(zhuǎn)變換矩陣規(guī)律旋轉(zhuǎn)變換矩陣規(guī)律:，繞哪個(gè)坐標(biāo)軸(1) 繞繞z軸正向旋轉(zhuǎn)軸正向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的角，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的z坐標(biāo)值不變坐標(biāo)值不變, x、y坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在xoy平面內(nèi)作正平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)。角旋轉(zhuǎn)。1000010000cossin00sincos1 1 zyxzyx1000010000100001xyzxyz(2)繞x軸正向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的x坐標(biāo)值不變， Y、z坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在yoz平面內(nèi)作正平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)。角旋轉(zhuǎn)。10000cossin00sincos000011 1 zyxzyx10000cos

7、0sin00100sin0cos1 1 xyzxyz即即10000cos0sin00100sin0cos1 1 zyxzyx這就是說，繞這就是說，繞y軸的旋轉(zhuǎn)變換的矩陣與繞軸的旋轉(zhuǎn)變換的矩陣與繞x軸和軸和z軸軸變換的矩陣從表面上看在符號(hào)上有所不同。變換的矩陣從表面上看在符號(hào)上有所不同。(3) 繞繞y軸正向旋轉(zhuǎn)軸正向旋轉(zhuǎn)角，角，y坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)值不變，z、x的坐標(biāo)相當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)相當(dāng)于在于在zox平面內(nèi)作正平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)，于是角旋轉(zhuǎn)，于是7.2.2 組合變換組合變換物體繞平行于某一坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換?；静襟E物體繞平行于某一坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換?；静襟E: (1) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸與所平行的坐標(biāo)軸重合平

8、移物體使旋轉(zhuǎn)軸與所平行的坐標(biāo)軸重合; (2) 沿著該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn)沿著該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn); (3) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸移回到原位置。平移物體使旋轉(zhuǎn)軸移回到原位置。xyzxyz(a)(b)yxz(c)xz(d) 1TRTRx繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換(1)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點(diǎn)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點(diǎn);xyzP1P2xyzP1P2(1)(2)旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某個(gè)坐標(biāo)軸(如如z軸軸)重合重合;(3)關(guān)于該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn)關(guān)于該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn);xyzP1P2(2)yxzP1P2(3)(4) 應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換將旋轉(zhuǎn)軸回到

9、原方向應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換將旋轉(zhuǎn)軸回到原方向;(5) 應(yīng)用逆平移變換將旋轉(zhuǎn)軸變換到原位置。應(yīng)用逆平移變換將旋轉(zhuǎn)軸變換到原位置。xyzP1P2(4)xyzP1P2(5)例例. 求變換求變換AV，使過原點(diǎn)的向量，使過原點(diǎn)的向量V=(a,b,c)與與z軸的軸的正向一致。正向一致。xyzVxyz實(shí)現(xiàn)步驟實(shí)現(xiàn)步驟:(1)將將V繞繞x軸旋轉(zhuǎn)到軸旋轉(zhuǎn)到xz 平面上平面上;(2)再繞再繞y軸旋轉(zhuǎn)使之與軸旋轉(zhuǎn)使之與z軸正向重合。軸正向重合。旋轉(zhuǎn)角度的確定：繞旋轉(zhuǎn)角度的確定：繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度軸旋轉(zhuǎn)的角度 等于向量等于向量V在在yz 平平面上的投影向量與面上的投影向量與z 軸正向的夾角。軸正向的夾角。xyzV=(a,b,

10、c)V1=(0,b,c)VV根據(jù)矢量的點(diǎn)乘與叉乘，可以算出根據(jù)矢量的點(diǎn)乘與叉乘，可以算出:2222cos,sincbccbb因此，因此， 10000000000122222222cbccbbcbbcbcRx 22, 0 ,cbaVRVx類似地，可以求出類似地，可以求出:22222222cos,sincbacbcbaa 1000000010002222222222222222cbacbcbaacbaacbacbRy yxVRRA 利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為： 111TRRRRRTRxyzyxxyzP1P2xyzP1P21) Tx

11、yzP1P22)xzP1P23) yxRR zR給定具有單位長的旋轉(zhuǎn)軸給定具有單位長的旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az和旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)角 ， 則物體繞則物體繞OA軸旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示可確定如下：軸旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示可確定如下：xxxxxxxxxxxyzxyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaATxyxzyzzzyzxzzyyyxyzxyxxxMPPAAIAMaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaAsincos000*A軸角旋轉(zhuǎn)軸角旋轉(zhuǎn)7.2.3 繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換的簡單算法繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換的簡單算法xyzo其中其中TM表示表示M的轉(zhuǎn)置矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換

12、矩陣可表示為：利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：傳統(tǒng)的方法通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換的乘積表示繞任意軸旋傳統(tǒng)的方法通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換的乘積表示繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換。與之相比，這種方法更直觀。轉(zhuǎn)的變換。與之相比，這種方法更直觀。xyzP1P2xyzP1P2 1TMTRT其中旋轉(zhuǎn)軸其中旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az為為1212PPPPA7.2.4 三維變換矩陣的功能分塊三維變換矩陣的功能分塊stttpaaapaaapaaazyxzyx332313322212312111（1三維線性變換部分三維線性變換部分（2三維平移變換部分三維平移變換部分（3透視變換部分透視變換部分（4整體比例因子整體比例因

13、子7.3 三維坐標(biāo)變換三維坐標(biāo)變換幾何變換：在一個(gè)參考坐標(biāo)系下將物體從一個(gè)幾何變換：在一個(gè)參考坐標(biāo)系下將物體從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置的變換。位置移動(dòng)到另一個(gè)位置的變換。坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換： 一個(gè)物體在不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)一個(gè)物體在不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換。如從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換；變換。如從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換；觀察坐標(biāo)到設(shè)備坐標(biāo)之間的變換。再如，對(duì)物觀察坐標(biāo)到設(shè)備坐標(biāo)之間的變換。再如，對(duì)物體造型時(shí)，我們通常在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造物體，體造型時(shí)，我們通常在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造物體，然后重新定位到用戶坐標(biāo)系。然后重新定位到用戶坐標(biāo)系。坐標(biāo)變換的構(gòu)造方法坐標(biāo)變換的構(gòu)造方法:與二維的情況相

14、同，為將物體的坐標(biāo)描述從一與二維的情況相同，為將物體的坐標(biāo)描述從一個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為另一個(gè)系統(tǒng)，我們需要構(gòu)造一個(gè)個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為另一個(gè)系統(tǒng)，我們需要構(gòu)造一個(gè)變換矩陣，它能使兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)重疊。具體過變換矩陣，它能使兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)重疊。具體過程分為兩步：程分為兩步：（1平移坐標(biāo)系統(tǒng)平移坐標(biāo)系統(tǒng)oxyz，使它的坐標(biāo)原點(diǎn)與新，使它的坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)重合；坐標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)重合；（2進(jìn)行一些旋轉(zhuǎn)變換，使兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸進(jìn)行一些旋轉(zhuǎn)變換，使兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重疊。重疊。有多種計(jì)算坐標(biāo)變換的方法，下面我們介紹一有多種計(jì)算坐標(biāo)變換的方法，下面我們介紹一種簡單的方法。種簡單的方法。xyz(0,0,0)000,zyxxu

15、yuzuxzy設(shè)新坐標(biāo)系設(shè)新坐標(biāo)系oxyz 原點(diǎn)的原點(diǎn)的坐標(biāo)為坐標(biāo)為x0,y0,z0），相對(duì)），相對(duì)原坐標(biāo)系其單位坐標(biāo)矢量原坐標(biāo)系其單位坐標(biāo)矢量為：為：321,xxxxuuuu321,yyyyuuuu321,zzzzuuuu將原坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系xyz下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成新坐標(biāo)系xyz的坐標(biāo)的坐標(biāo)可由以下兩步完成：可由以下兩步完成：首先，首先， 平移坐標(biāo)系平移坐標(biāo)系xyz，使其原點(diǎn)與新坐標(biāo)系，使其原點(diǎn)與新坐標(biāo)系xyz的的原點(diǎn)原點(diǎn)x0,y0,z0重合；重合；xyz(0,0,0)000,zyxxuyuzuxzyxyz(0,0,0)1010000100001000zyxT平移矩陣為：平移矩陣為：(x,y,z)第二步，利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣第二步，利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣1000000333222111zyxzyxzyxuuuuuuuuuR該矩陣該矩陣R將單位向量將單位向量xuyuzu分別變換到分別變換到x,y和和z 軸。軸。綜合以上兩步，從綜合以上兩步，從oxyz到到oxyz的坐標(biāo)變換的矩陣為的坐標(biāo)變換的矩陣為RzyxT000, RzyxTzyxzyx000,1 ,1 ,闡明：變換矩陣闡明：變換矩陣TR將一個(gè)直角坐標(biāo)系變換為另一個(gè)將一個(gè)直角坐標(biāo)系變換為另一個(gè)坐標(biāo)系。即使一個(gè)坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，另一個(gè)為坐標(biāo)系。即使一個(gè)坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，另一個(gè)