空間直線方程

1、直線方程的三種表示法：一般式、點(diǎn)直線方程的三種表示法：一般式、點(diǎn)向式、參數(shù)式；向式、參數(shù)式； 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程pzznyymxx000 直線的點(diǎn)向式方程直線的點(diǎn)向式方程其中方向向量其中方向向量(,),sm np 已知點(diǎn)已知點(diǎn)000(,).xyz ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程t為為參參數(shù)數(shù)兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式 ；直線與平面的夾角公式。直線與平面的夾角公式。121212cos(,)ssL Lss n sn s sincos( , )n s xyzo1 2 定義定義 空間直線可看成兩平面的交

2、線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程Lxyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL注：注：同一條直線的方向向量有無(wú)窮多個(gè)。同一條直線的方向向量有無(wú)窮多個(gè)。有單位向量，還有一般的向量。有單位向量，還有一般的向量。),(0000zyxM,LM ),(zyxMsMM0/(,),sm np 0000(,)M Mxxyyzz xyzosL0

3、M M 下面導(dǎo)出直線的點(diǎn)向式方程下面導(dǎo)出直線的點(diǎn)向式方程pzznyymxx000 直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的方向余弦方向向量的方向余弦稱為直線的稱為直線的方向余弦方向余弦. .直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程下面得出直線的參數(shù)方程下面得出直線的參數(shù)方程在求直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)或交點(diǎn)時(shí)，利用直線的在求直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)或交點(diǎn)時(shí)，利用直線的參數(shù)方程求解更加簡(jiǎn)便參數(shù)方程求解更加簡(jiǎn)便pzznyymxx000 直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程0000 xxyymnyyzznp 直線的一般方程直線的一般方

4、程0000()()0()()0n xxm yyp yyn zz 下面從對(duì)稱式方程得出直線的一般方程下面從對(duì)稱式方程得出直線的一般方程111122220:0A xB yC zDLA xB yC zD 從空間直線的一般方程到對(duì)稱式方程從空間直線的一般方程到對(duì)稱式方程0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA1111(,)nA B C 2222(,)nA B C 12snn 先在直線上任取一點(diǎn)。再求直線的方向向量。先在直線上任取一點(diǎn)。再求直線的方向向量。注：直線方程的表示形式均不唯一。注：直線方程的表示形式均不唯一。例例1 1 用點(diǎn)向式方程表示直線用點(diǎn)向式方程表示直線2023100

5、.xyzxyz 舉例說(shuō)明如何將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為舉例說(shuō)明如何將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)向式方程。點(diǎn)向式方程。方法一：用點(diǎn)向式表示直線方程方法一：用點(diǎn)向式表示直線方程方法二：用消元法求直線方程方法二：用消元法求直線方程解解 方法一：方法一：202100 xyxy 點(diǎn)向式點(diǎn)向式42xy 12,snsn下找所求直線的方向向量，由已知可知下找所求直線的方向向量，由已知可知12snn12(1,1,1),(2, 1,3)nn 于是點(diǎn)于是點(diǎn)(-4,2,0)是所求直線上的一點(diǎn)。是所求直線上的一點(diǎn)。先找直線上的一點(diǎn)，在直線方程中令先找直線上的一點(diǎn)，在直線方程中令z=02023100.xyzxyz 43ijk 1

6、2snn42413xyz111111132321ijk 111213ijk 用點(diǎn)向式寫出直線方程用點(diǎn)向式寫出直線方程方法二：方法二：20(1)23100(2)xyzxyz 消元法求直線方程消元法求直線方程44132113zxzy 34120 (3)360(4)xzyz 將方程將方程分別消去分別消去x，y得到得到312436xzzy pzznyymxx000 42413xyz 于是直線方程為于是直線方程為4241133xyz 化簡(jiǎn)整理得直線方程為化簡(jiǎn)整理得直線方程為練練 習(xí)習(xí)210( 1,2,1),210 xyzxyz 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)且且平平行行于于直直線線的的直直線線方方程程。解解12snn 1

7、2(1,1, 2),(1,2, 1)nn 由由題題意意有有：121211211112ijk 112121ijk 3ijk ( 1,2,1) 又又直直線線經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，于于是是，由由點(diǎn)點(diǎn)向向式式寫寫出出直直線線方方程程為為121311xyz 定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式121212121222222212111222|cos(,)ssm mn np pL Lssmnpmnp 兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：12(1)

8、LL 1212121200,ssm mn np p 21)2(LL/11112222/,mnpssmnp直線直線:1L直線直線:2L1(1, 4, 0),s 2(0,0,1),s , 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即解解12(1, 4,1),(2, 2, 1)ss從題意可得：兩直線的方向向量為從題意可得：兩直線的方向向量為于是，代入兩直線的夾角公式于是，代入兩直線的夾角公式121212cos(,)ssL Lss 2.2 12281cos(,)1161 441L L .4 所以兩直線的夾角為所以兩直線的夾角為練練 習(xí)習(xí)5339032102223038180 xyzxyzxyz

9、xyz 求求直直線線與與直直線線位位置置關(guān)關(guān)系系。解解112,snn 234snn 1234(5, 3,3),(3, 2,1),(2,2, 1),(3,8,1)nnnn 由由題題意意有有：112snn 34ijk 533321ijk 335353213132ijk 234snn 10510ijk 221381ijk 212122813138ijk 121212cos(,)ssL Lss 0. 3020109161 10025100 綜綜上上，這這兩兩條條直直線線垂垂直直。直線方程的三種表示法：一般式、點(diǎn)直線方程的三種表示法：一般式、點(diǎn)向式、參數(shù)式；向式、參數(shù)式； 0022221111DzCyB

10、xADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程pzznyymxx000 直線的點(diǎn)向式方程直線的點(diǎn)向式方程其中方向向量其中方向向量(,),sm np 已知點(diǎn)已知點(diǎn)000(,).xyz ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程t為為參參數(shù)數(shù)兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式 ；121212cos(,)ssL Lss 2222227.00zaxyxyaxx yxoz 求求上上半半球球與與圓圓柱柱體體的的公公共共部部分分在在面面和和面面上上的的投投影影。解解-2-1012-2-101200.511.5200.511.52xoy公公共共部部分分體體在在坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的投投影影為為

11、圓圓面面2220 xyaxy 14xoz公公共共部部分分體體在在坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的投投影影為為 圓圓2220 xzay 3737頁(yè)頁(yè) 習(xí)題習(xí)題8-48-4-2-1012-2-101200.511.5200.511.522222227.0zaxyxyaxxOyxOz 求求上上半半球球與與圓圓柱柱體體的的公公共共部部分分在在面面和和面面上上的的投投影影。解解-2-1012-2-101200.511.5200.511.52xoy交交線線在在面面的的投投影影為為：2220 xyaxzy 消消去去參參數(shù)數(shù) ，xoz交交線線在在坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的投投影影22,0zaaxyy 消消去去參參數(shù)數(shù)定義定義直線和它在

12、平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx(,),sm np ( ,),nA B C 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式n sn s sincos( , )n s 直線與平面的位置關(guān)系：直線與平面的位置關(guān)系：(1)L .ABCmnp(2)/L sn/sn0.AmBnCp (,),sm np ( ,),nA B C 解解124231xyz 從題意可得：已知平面的法向量就是從題意可得：已知平面的法向量就是所求直線的方向向量。所求

13、直線的方向向量。于是，直線的方程為于是，直線的方程為解解(1, 1, 2),n (2, 1, 2),s |sinn sn s 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角練練 習(xí)習(xí)443251( 3,2,5)xzxyz 例例 求求與與兩兩平平面面和和的的交交線線平平行行且且過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線的的方方程程。解解 設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為s 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns 12(1,0, 4),(2, 1, 5)nn ( 4, 3, 1), 104215ijk 12snn041410152521ijk .153243

14、 zyx所求直線的方程所求直線的方程解解12(3,1, 2),(4, 3,0)MM(5,2, 1),s 12(1, 4,2)M M 12nsM M521142ijk 練練 習(xí)習(xí)215152421214ijk 8922ijk 于是所求平面方程為于是所求平面方程為8(3)9(1)22(2)0 xyz即即8922590.xyz解解234112260 xyzxyz 即求方程組即求方程組的解。的解。 利用直線的參數(shù)方程求解更簡(jiǎn)便利用直線的參數(shù)方程求解更簡(jiǎn)便1t 4234260ttt 1,2,2xyz234112xyzt2,3,42xt yt zt 設(shè)設(shè) 代入題中平面方程代入題中平面方程260 xyz 代

15、入?yún)?shù)方程中得：代入?yún)?shù)方程中得：(1,2,2).于是所求交點(diǎn)坐標(biāo)為于是所求交點(diǎn)坐標(biāo)為中得：中得：解解12121xyz 12121210 xyzxyz 于于是是，投投影影坐坐標(biāo)標(biāo)為為垂垂線線和和平平面面的的交交點(diǎn)點(diǎn)。即即方方程程組組的的解解。練練 習(xí)習(xí)( 1,2,0)210 xyz求求點(diǎn)點(diǎn)在在平平面面上上的的投投影影。( 1,2,0) 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)且且垂垂直直于于已已知知平平面面的的直直線線方方程程為為12121xyzt 設(shè)設(shè)1,22 ,xtyt zt 2522,3333txyz 代入平面方程代入平面方程5 2 2(, , ).3 3 3 綜上，投影坐標(biāo)為綜上，投影坐標(biāo)為210 xyz例例6方法一

16、：方法一：點(diǎn)向式求直線方程。關(guān)鍵在于求點(diǎn)向式求直線方程。關(guān)鍵在于求出兩條直線的交點(diǎn)。用過(guò)出兩條直線的交點(diǎn)。用過(guò)A A的直線與垂直已的直線與垂直已知平面的交點(diǎn)來(lái)求。知平面的交點(diǎn)來(lái)求。方法二：方法二：點(diǎn)向式求直線方程。假設(shè)交點(diǎn)坐點(diǎn)向式求直線方程。假設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，解未知數(shù)的方法來(lái)求。標(biāo)，解未知數(shù)的方法來(lái)求。方法三：方法三：利用所求直線是由兩個(gè)平面的交利用所求直線是由兩個(gè)平面的交線來(lái)求。這兩個(gè)平面分別是：線來(lái)求。這兩個(gè)平面分別是：1 1、過(guò)已知點(diǎn)過(guò)已知點(diǎn)和已知直線的平面；和已知直線的平面；2、過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A且垂直于已且垂直于已知直線的平面。知直線的平面。解解先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)A且與已知直線垂直的平面且與已

17、知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)B, ,例例6方法一：方法一：點(diǎn)向式求直線方程。關(guān)鍵在于求點(diǎn)向式求直線方程。關(guān)鍵在于求出兩條直線的交點(diǎn)。用過(guò)出兩條直線的交點(diǎn)。用過(guò)A A的直線與垂直已的直線與垂直已知平面的交點(diǎn)來(lái)求。知平面的交點(diǎn)來(lái)求。令令tzyx 121313121xtytzt 代入平面方程得代入平面方程得37t 解解得得：2 133(,)777B 于于是是交交點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為sAB 3(312)2(211)(3)0ttt sAB 2133(2,1,3)77712 624(,)777

18、 所求直線方程為所求直線方程為213.214xyz 解解先求出直線上任意一點(diǎn)先求出直線上任意一點(diǎn)B的坐標(biāo)的坐標(biāo)( 13 ,12 ,)ttt 例例6方法二：點(diǎn)向式求直線方程。假設(shè)交點(diǎn)坐方法二：點(diǎn)向式求直線方程。假設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，解未知數(shù)的方法來(lái)求。標(biāo)，解未知數(shù)的方法來(lái)求。由分析得：由分析得：0AB s ( 33 ,2 , 3)ABttt (3,2, 1)s 37t 解解得得：2 133(,)777B 于于是是交交點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為sAB 3( 33 )2 2( 3)0ttt ( 33 ,2 , 3)ABttt (3,2, 1)s sAB 2133(2,1,3

19、)77712 624(,)777 所求直線方程為所求直線方程為213.214xyz 解解例例63(2)2(1)(3)0 xyzA，垂垂直直于于已已知知直直線線的的平平過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)面面方方程程為為3250 xyz化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得： 方法三：方法三：利用所求直線是由兩個(gè)平面的交利用所求直線是由兩個(gè)平面的交線來(lái)求。這兩個(gè)平面分別是：線來(lái)求。這兩個(gè)平面分別是：1 1、過(guò)已知點(diǎn)過(guò)已知點(diǎn)和已知直線的平面；和已知直線的平面；2、過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A且垂直于已且垂直于已知直線的平面。知直線的平面。下求過(guò)已知點(diǎn)和已知直線的平面。下求過(guò)已知點(diǎn)和已知直線的平面。(2,1,3),( 1,1,0),AB用用點(diǎn)點(diǎn)向向式式求求平平面面方方程

20、程，或或用用混混合合積積求求平平面面方方程程。( 3,0, 3)AB ( , , )M x y z設(shè)設(shè)為為平平面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)。(1,1, ),BMxyz (3,2, 1)s ()0BMABs 113030321xyz 033330(1)(1)2131320 xyz 6(1)12(1)06xyz230 xyz整整理理得得： 綜綜上上，所所求求直直線線方方程程為為3250023zyyzxx 練練 習(xí)習(xí)( 4, 5,3)132321211235Axyzxyz 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)且且與與兩兩直直線線和和都都相相交交的的直直線線方方程程。練練 習(xí)習(xí)132( 4, 5,3)321211235xyzAx

21、yz 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)且且與與兩兩直直線線和和都都相相交交的的直直線線方方程程。方法一：方法一：用所求直線在用所求直線在A A與直線與直線1 1確定的平確定的平面上，同時(shí)也在面上，同時(shí)也在A A與直線與直線2 2確定的平面上來(lái)確定的平面上來(lái)求。即所求直線為兩平面的交線。求。即所求直線為兩平面的交線。方法二：方法二：點(diǎn)向式求直線方程。假設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)向式求直線方程。假設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為B B、C C。利用交點(diǎn)與。利用交點(diǎn)與A A共線來(lái)求。共線來(lái)求。解解(3, 2, 1),s 已已知知第第一一條條直直線線的的方方向向向向量量為為( , , )M x y z設(shè)設(shè)是是平平面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)。( 4

22、, 5,3),( 1, 3,2)AB 直直線線上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)于于是是有有：(3, 2, 1),(3,2, 1)sAB (4,5,3)AMxyz ()0AMABs 4533210321xyz 213132(4)(5)(3)2131203xyz 4(4)1 (302)xz305xz整整理理得得： (2,3, 5),s 已已知知第第二二條條直直線線的的方方向向向向量量為為下下求求另另一一平平面面方方程程( 4, 5,3),(2, 1,1)AC 直直線線上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)于于是是有有：(2,3, 5),(6,4, 2)sAC (4,5,3)AMxyz ()0AMACs 4536420235xyz 426264(4)(5)(3)3525230 xyz 14(4)26(5)010(3)xyz7135022xyz整整理理得得：