241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義三維目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：（1）理解平面向量數(shù)量積的幾何意義及其物理意義； （2）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；（3）理解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（4）了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。2、過程與方法 （1）在學(xué)習(xí)和運(yùn)用向量的數(shù)量積的過程中，進(jìn)一步體會(huì)平面向量本質(zhì)及它與生活和自然科學(xué)聯(lián)系，認(rèn)識(shí)事物的統(tǒng)一性，并通過學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積感受數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法以及分析問題、解決問題的能力及鉆研精

2、神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。（3）通過對(duì)向量的數(shù)量積的探究、交流、總結(jié)，從各角度、用各方法來體會(huì)向量之間的關(guān)系和作用，不斷從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)，。3、情態(tài)與價(jià)值觀（1）通過用向量數(shù)量積解決問題的思想的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性、概括性和應(yīng)用性，培養(yǎng)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。（2）通過對(duì)向量數(shù)量積及所產(chǎn)生的思想方法的學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識(shí)和合作精神； 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義

3、及應(yīng)用(能利用數(shù)量積解決求平行、垂直、夾角等問題) 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入、引出新課1、提出問題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么 ？期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。 2、提出問題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？期望學(xué)生回答：物理模型概念性質(zhì)運(yùn)算律應(yīng)用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 二、合作探究，精講點(diǎn)撥探究一：數(shù)量積的概念SF1、給

4、出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計(jì)算公式”嗎?期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義（1） 數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 ·bcos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·= ·cos（2）定義說明：記法“·”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替

5、。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 期望學(xué)生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。（4）學(xué)生討論，并完成下表：的范圍0°<90°=90°0°<180°·的符號(hào)（5）探究題組一 ：已知，當(dāng)，與的夾角是60°時(shí)，分別求·.解：當(dāng)時(shí)，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3×6×11

6、8；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當(dāng)時(shí)，它們的夾角90°，·；當(dāng)與的夾角是60°時(shí)，有·cos60°3×6×9評(píng)述： 兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0°，180°，因此，當(dāng)時(shí)，有0°或180°兩種可能. 探究二：研究數(shù)量積的幾何意義1.給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=cos注：投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影

7、為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？期望學(xué)生回答：數(shù)量積·等于的長度與在的方向上的投影cos 的乘積。探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、數(shù)量積的性質(zhì)性質(zhì)：若和均為非零向量 （1）·0 （垂直） （2）與同向時(shí)，· =·，與 反向 時(shí)，· =-· 特別地：·=2 = （長度）（3）cos=（夾角）（4）· ·（注意等號(hào)成立的條件）2、探究題組二（師生共同完成）已知

8、=6，=4, 與的夾角為60°，求（+2 ）·（-3），并思考此運(yùn)算過程類似于實(shí)數(shù)哪種運(yùn)算？解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6. =36-3×4×6×0.5-6×4×4 = -72評(píng)述：可以和實(shí)數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運(yùn)算律變式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22 探究四、數(shù)量積的運(yùn)算律： （1）交換律： ； （2）對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律： ； （3）分配律： 注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律和消去律，即：（1） （2）_探究題組3：解： 三、思悟小結(jié)：知識(shí)線：（1）平面向量的數(shù)量積；（2）平面向量的數(shù)量積的幾何意義；（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；（4）平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。思想方法線：（1）公