概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件

1、二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布第三章第三章 n二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布n邊緣分布與獨(dú)立性邊緣分布與獨(dú)立性n兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例如例如 E：抽樣調(diào)查：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高歲青少年的身高 X與體重與體重 Y,以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。 前面我們討論的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中單獨(dú)的一個(gè)隨機(jī)變量，又稱為一維隨機(jī)變量；然而在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常需要同時(shí)研究一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)甚至更多個(gè)隨機(jī)變量。 不過(guò)此時(shí)我們需要研究的不僅僅是不過(guò)此時(shí)我們需要研究的不僅僅是X及及Y各自的性各自的性質(zhì)，質(zhì)， 更

2、需要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互依賴和制約更需要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互依賴和制約關(guān)系。因此，關(guān)系。因此， 我們將二者作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究，我們將二者作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究，記為記為(X, Y),稱為二維隨機(jī)變向量。稱為二維隨機(jī)變向量。 設(shè)X、Y 為定義在同一樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱向量（ X，Y ）為上的一個(gè)二維隨機(jī)變量。n定義定義二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X, Y)(X, Y)的取值可看作平面上的點(diǎn)的取值可看作平面上的點(diǎn)（x，y）A二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)假設(shè)假設(shè)X X，Y Y是隨機(jī)變是隨機(jī)變量，量，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y.x

3、,y.( , ),F x yP Xx Yy稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)(1)( , )F x yxy分別關(guān)于 和 單調(diào)不減(, )0Fy( ,)0F x (,)0F (,)1F (2) 0( , )1F x y(3) xy(x,y)x1x2y1y2 P Px1x1 X X x2x2，y1y1 Y Y y2y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)F(x1,y1)聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率P Px1 x1 X X x2 x2，

4、y1 y1 Y Y y2 y2）F(x2,y2)F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x2,y1)-F(x1,y2)-F(x1,y2)+F(x1,y1)+F(x1,y1)二維離散型隨機(jī)二維離散型隨機(jī)變量變量 若二維若二維 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 （X X，Y Y的所的所有可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱有可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱X X，Y Y為二維離散型隨機(jī)變量。為二維離散型隨機(jī)變量。如何反映如何反映X X，Y Y的取值規(guī)律呢？的取值規(guī)律呢？n研究問(wèn)題研究問(wèn)題聯(lián)想一維離散型隨機(jī)變量的分布律。聯(lián)想一維離散型隨機(jī)變量的分布律。111ijijp YX1y2yjy1x11p12p1 jp2x21p22

5、p2 jpix1 ip2ipijp。.。.。. 。. 。. 。. 。. 。.。. 。. 。. 。. . 。. 。性質(zhì)性質(zhì) 01ijp, (1,2,;1,2,)ijijP Xx Yypij 一個(gè)口袋中有三個(gè)球， 依次標(biāo)有數(shù)字1， 2， 2， 從中任取一個(gè)， 不放回袋中， 再任取一個(gè)， 設(shè)每次取球時(shí)， 各球被取到的可能性相等.以、分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字， 求(, )X Y的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列. (, )X Y的可能取值為的可能取值為(1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ， (1/3) (1/3) (2/2) (2/2)1/31/3， ， (2/3) (2/3) (1

6、/2)(1/2)1/31/3， ，= (2/3) = (2/3) (1/2)(1/2)1/31/3， 1/31/31/3 例例解解 見(jiàn)書(shū)P69，習(xí)題1(, )X Y的可能取值為的可能取值為例例解解(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（，（2，0）11(, )(0,0),(, )( 1,1)6315(, )( 1,1 3),(, )(2,0)1212PX YPX YPX YPX Y （X，Y的的聯(lián)合分布律為聯(lián)合分布律為 y X011/301/600-101/31/1225/1200( ,)( , )xyF x yf u v dudv 則稱則稱(X,Y)(X,Y)是二元連續(xù)型隨機(jī)

7、變量。是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。f fx x，y y稱為二稱為二元隨機(jī)變量元隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù). .二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)( ,)1fx y dxdy( ,)( ,)DPx yDf x y dn非負(fù)性非負(fù)性Dxy( , )f x y( , )0f x y n. .2( , )( , )F x yf x yx y n. .(,)1F 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率=曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(, )X Y的概率密度為的概率密度為 (1)

8、確定常數(shù)確定常數(shù) k； (23 ) 0,0( , ) 0 xykexyf x y其它(, )X Y (2) 求求的分布函數(shù)；的分布函數(shù)；04,01PXY(3)求； . P XY (4) 求求例例23 00 xykedxedy230011 23xykee6k (1)(23 ) 0 0 xykedxdy 116k ( , )f x y dxdy 所以所以 解解 ( , )( , )xyF x yf u v dudv (2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 xy或( , )0F x y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 xy且2300( , )6xyxyF x yedudv 23(1)(1)xyee 所以，所以，23(1)

9、(1), (0,0)( , ) 0 xyeexyF x y 其他 04, 01PXY(3) 1 4(23 ) 0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95ee4 1或解或解 04, 01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0 xyyx x0y( , )DP XYf x y dxdy(4)32310yyeedy35323310055yyedyedy ( , )x yf x y dxdy(23 )600 xyyedx dy224例例 已知二維隨機(jī)變量已知二維隨機(jī)變量X，Y的分布密度為的分布密度為 1(6), 02,24( , )8

10、0, xyxyf x y其他求概率求概率 (1)1,3 ;(2)3P XYP XY解解 1,3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy112320113(6)828yxyydx3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx524續(xù)解續(xù)解 .x+y=3 思索思索 已知二維隨機(jī)變量已知二維隨機(jī)變量X，Y的分布密度為的分布密度為 1(6), 02,24( , )8 0, xyxyf x y其他求概率求概率 41P XYX2241解答解答 41P XYX4,11P XYXP X241224121(6)8

11、1(6)8xdxxy dydxxy dy7 4873 818二維均勻分布二維均勻分布1,( , )( , )0,x yDf x yA其它設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (, )X Y的概率密度為的概率密度為 DA(, )X YD上服從均勻分布上服從均勻分布.在在，則稱，則稱是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為其中其中 思索思索 已知二維隨機(jī)變量已知二維隨機(jī)變量X，Y服從區(qū)域服從區(qū)域D上的上的均勻分布，均勻分布，D為為x軸，軸，y軸及直線軸及直線y=2x+1所圍成的三角形所圍成的三角形區(qū)域。求區(qū)域。求1分布函數(shù)；（分布函數(shù)；（2） 12P Y解解 （X,Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)

12、為 y=2x+1 -1/2 ( , ),F x yP Xx Yy（1當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，12x ( , )0F x yP 分布函數(shù)為分布函數(shù)為 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他y=2x+1 -1/2 （2當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，102x0( , )0,yf x y時(shí)，( , )0F x y 所以，021yx 時(shí)，( , )4F x ydxdy梯形42212ySyx 梯形21yx 時(shí)，( , )4F x ydxdy三角形21442Sx三角形y=2x+1 -1/2 （3當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 x 0( , )0,yf x y時(shí)，( , )0F x y 所以，01y 時(shí)，( , )4F x y

13、dxdy梯形4212ySy梯形1y 時(shí)，( , )4F x ydxdy三角形41S三角形所以，所求的分布函數(shù)為所以，所求的分布函數(shù)為 21 0, (0)21221 , (0,021)2211( , )4, (0,21)2221, (0,01)2 1, (0,1)xyyyxxyxF x yxxxyyyxyxy 或0.5y=2x+1 -1/2 12P Y4dxdy梯形34二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (, )X Y的概率密度為的概率密度為 12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy (,)xy 1212, 120,0

14、, 11 其中其中均為參數(shù)均為參數(shù) 則稱則稱 (, )X Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1212, 的二維正態(tài)分布的二維正態(tài)分布 221212(, )N 邊緣分布邊緣分布 marginal distribution(, )X Y 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 ,是兩個(gè)隨機(jī)變量視為是兩個(gè)隨機(jī)變量視為一個(gè)整體，來(lái)討論其取值規(guī)律的，我們可用分布一個(gè)整體，來(lái)討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來(lái)描述其取值規(guī)律。函數(shù)來(lái)描述其取值規(guī)律。( , ),F x yP Xx Yy 問(wèn)題：能否由二維隨機(jī)變量的分布來(lái)確定兩個(gè)問(wèn)題：能否由二維隨機(jī)變量的分布來(lái)確定兩個(gè)一維隨機(jī)變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？一維隨機(jī)變量的取值規(guī)律呢？如

15、何確定呢？邊緣分布問(wèn)題邊緣分布問(wèn)題 邊緣分布邊緣分布 marginal distribution(, )X Y( , )F x y 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ， (, )X YXY依次稱為二維隨機(jī)變量依次稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于關(guān)于和關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )( ,)XFxF x( )(, )YFyFy( ),(, )YFyP YyP XYyFy 二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 如果二維離散型隨機(jī)變量如果二維離散型隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布

16、律為的聯(lián)合分布律為 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33ijjiipP Xxp二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布jijijpP Yyp關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布jijijpP Yyp關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第

17、第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布例例1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求關(guān)于求關(guān)于X、Y的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布Y011/3概率 7/121/31/12解解 關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布為的邊緣分布為 X-102概率 5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布 ( )( ,)

18、( , )XxFxF xf u v dv du n關(guān)于關(guān)于X的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 ( )( ,)Xfxf x y dyn關(guān)于關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 ( )(, )( , )YyFxFyf u v du dvY的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于關(guān)于 ( )( ,)Yfyf x y dxX的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于關(guān)于 例例2 2 設(shè)設(shè)X, YX, Y的聯(lián)合的聯(lián)合密度為密度為01,13( , )0kxyxyf x y其它求求k值和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)值和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)12k ( )( , )Xfxf x y dy 311021kydyxdxk解解由

19、由 ( , )1dxf x y dy得得 0,1x當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 31122( )Xfxxydyx 關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 113113( )0Xfx 20,1( )0Xxxfx其它1,3( )40Yyyfy其它解解所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 ( )( , )Yfyf x y dx ( )0Yfy 所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 0,1x當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 1,3y當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 1,3y當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 10124( )Yyfyxydx 關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 邊緣分布密度和概率的計(jì)算邊緣分布密度和概率的計(jì)算例例3設(shè)設(shè)X,

20、 Y) 的聯(lián)合分布密度為的聯(lián)合分布密度為 221( , )0kxyf x y 其它其它（1求求k值值(2) 求關(guān)于求關(guān)于X和和Y的邊緣密度的邊緣密度（3求概率求概率P(X+Y1/2)(2)( )( , )Xfxf x y dy 22111( )xXxfxdy均勻分布均勻分布解解 (1)由由 ( , )1f x y dxdy 2211xykdxdyk得得 1k 1,1x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)221x-11221 1,1( )0Xxxfx 其它 1,1x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)( )0Xfx 所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣的邊緣分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 -11續(xù)解續(xù)解 . -11( )( , )Yfyf x y dx

21、 22111( )yYyfydx221 1,1( )0Yyyf y其它解解 1,1y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 1,1y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)( )0Yfy 所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣的邊緣分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 221y1()( ,)2DP Xf x y dxdy(1)( , )DP XYf x y dxdy 解解 （3） 13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy見(jiàn)課本見(jiàn)課本P59P59例例3 3 如果二維隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量X，Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 221212,N 則兩個(gè)邊緣分布分別服從正態(tài)分布則兩個(gè)邊緣分布分別服從正態(tài)分布 2

22、11,XN 222,YN 與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù) 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 可見(jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，可見(jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布例例4 設(shè)設(shè)X，Y的聯(lián)合分布密度函數(shù)為的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 2221( , )(1 sin sin ), ,2xyf x yexyx y 求關(guān)于求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù)的邊緣分布密度函數(shù) 解解 關(guān)于關(guān)于X的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ( )( , )Xfxf x y dy2221(1 sin sin )2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212

23、xe22221sinsin2xyexeydy0,1XN所以，所以， 0,1YN同理可得同理可得 不同的聯(lián)合分布，可不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布。有相同的邊緣分布?？梢?jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，可見(jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性( , )( )( )XYf x yfxfyn 特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于分別等價(jià)于 ijijppp對(duì)任意對(duì)任意i,j 對(duì)任意對(duì)任意x,y 在實(shí)際問(wèn)題或應(yīng)用中，當(dāng)在實(shí)際問(wèn)題或應(yīng)用中，當(dāng)X X的取值與的取值與Y

24、 Y的取值互不影響的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為時(shí)，我們就認(rèn)為X X與與Y Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用公式運(yùn)用. . 在在X與與Y是相互獨(dú)立的前提下，是相互獨(dú)立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy設(shè)設(shè)X，Y的概率分布律為的概率分布律為證明：證明：X、Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。例例1 1ijijppp 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐個(gè)驗(yàn)證等式逐個(gè)驗(yàn)證等式 證證 XX與與Y Y的邊

25、緣分布律分別為的邊緣分布律分別為XX、Y Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立111.1220ppp 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y121.2120ppp131.3420ppp212.1ppp 222.2ppp 232.3ppp 313.1ppp 323.2ppp 333.3ppp 例例2 2 設(shè)設(shè)X X，Y)Y)的概率密度為的概率密度為(23 )60 ,0( , )0 xyexyx y其他求求 (1) P(1) P0X1 0X1 ，0Y10Y1） (2) (X,Y)(2) (X,Y)的邊緣密度，的邊緣密度， （3 3判斷判斷X X、Y Y是

26、否獨(dú)立。是否獨(dú)立。解解 設(shè)設(shè)A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1 ，0y10y1） ( , )01,01( , )x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11( )( , )Xxx y dy22, (0)( )0, (0)xXexxx 邊緣密度函數(shù)分別為邊緣密度函數(shù)分別為當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0 x 2320( )62xyxXxedye當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0 x ( ) 0Xx所以，所以， 同理可得同理可得 33, (0)( )0, (0)yYeyyy232,03,0( ),( )0 ,00 ,0 xyXYexeyxyxy(23 )6, (0,0)( )( )0,

27、 xyXYexyxy其它所以所以 X X 與與 Y Y 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。(, )xy例例3 已知二維隨機(jī)變量已知二維隨機(jī)變量X，Y服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分上的均勻分 布，布，D為為x軸，軸，y軸及直線軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)所圍成的三角形區(qū) 域。判斷域。判斷X，Y是否獨(dú)立。是否獨(dú)立。 解解 （X,Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，102x210( )4xXfxdy4(21)x所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 14(21), (0)( )2 0, Xxxfx其它關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布密度為

28、的邊緣分布密度為 ( )( , )Xfxf x y dy當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)時(shí)12x 0 x ( )0Xfx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，01y012( )4yYfydx2(1)y所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 2(1), (01)( ) 0, Yyyfy其它關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 ( )( , )Yfyf x y dx當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)時(shí)0y 1y ( )0Yfy 18(21)(1),(0,01 )( )( )2 0, XYxyxyfxfy其它所以所以 ( , )f x y所以，所以，X與與Y不獨(dú)立。不獨(dú)立。 1,()()( , )0axb cydba dcf x y其他

29、( , )|,x yaxbcyd11( )( , )()()dXcfxf x y dydyba dcba a x b 1( )0Xfxbaotherwiseaxb 1( )0ycxydfycdotherwise 于是于是( , )( )( )XYf x yfxfy( )0Xfx ( , )x ab ( ) ( , )ZFzP ZzP g x yz設(shè)設(shè) (, )X Y是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量, , 其聯(lián)合分布函數(shù)為其聯(lián)合分布函數(shù)為 ( , ),F x y(, )Zg X Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 ,X Y的二元函數(shù)的二元函數(shù) Zn 的分布函的分布函數(shù)數(shù)問(wèn)題：如何確定隨機(jī)變量問(wèn)題：如何確定隨機(jī)變

30、量Z的分布呢？的分布呢？ 設(shè)設(shè) (, )X Y是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量, ,其聯(lián)合分布列為其聯(lián)合分布列為 , (1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(, )Zg X Y那么那么 是一維的離散型隨機(jī)變量是一維的離散型隨機(jī)變量 其分布列為其分布列為 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jP Zg a bpij例例 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 (, )X Y YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分別求出分別求出1X+Y；（；（2X-Y；（；（3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的聯(lián)合分布列可得如

31、下表格的聯(lián)合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(, )X Y( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0)1( , 2)21( , 1)2(3, 2)(3,0)XYXY22XY 解解 得所求的各分布列為得所求的各分布列為 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1

32、/121/123/122/121/122/122/12設(shè)設(shè) (, )X Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量是二維連續(xù)型隨機(jī)變量, ,其聯(lián)合分布密度為其聯(lián)合分布密度為 (, )Zg X Y那么那么 是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f x y( , )zg x y是二元連續(xù)函數(shù)，是二元連續(xù)函數(shù)，其分布密度函數(shù)為其分布密度函數(shù)為 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy例例 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y的概率密的概率密度為度為(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求

33、隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z=X+2Y 的分布密度函數(shù)的分布密度函數(shù)解解( )2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2 )2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2( , )xy zf x y dxdy例例 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y的概率密的概率密度為度為(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z=X+2Y 的分布函數(shù)的分布函數(shù)00( )10ZzzzFzezez解解 所求分布函數(shù)為所求分布函數(shù)為 分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 00( )0Zzzfzzez見(jiàn)課本見(jiàn)課本P67P67例例1 1 假設(shè)假設(shè)X，Y的聯(lián)合分布密度函數(shù)為的聯(lián)

34、合分布密度函數(shù)為 f(x,y)，那么，那么Z=X+Y的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, )Zfzf zy y dy或或 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，有卷積公式相互獨(dú)立時(shí)，有卷積公式 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx或或 ( )()( )ZXYfzfzy fy dy記記 住住 結(jié)結(jié) 論！論！1122()()()XPXYPYP n如果如果X X與與Y Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立(,)(,)( ,)XB mXYB mn pBppYn 211221212222(,)(,)(,)XNXYNYN 例例 證明：如果證明：如果X與與Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)

35、立，且XBn,p），）， YBm,p），則），則X+YBn+m,p）證明證明 X+Y所有可能取值為所有可能取值為 0，1，,m+n. 0,kiP XYkP Xi Yki0kiP XiP Yki0kiin ik ik im k inmiC p qCpq 0kik inmiknkmp qCCkknmkmnCp q證畢證畢 第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征u數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望u方差方差u* * 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)u大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)學(xué)期望的引例數(shù)學(xué)期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expect

36、ation例如：某例如：某7人的高數(shù)成績(jī)?yōu)槿说母邤?shù)成績(jī)?yōu)?0，85，85，80，80， 75，60，則他們的平均成績(jī)?yōu)?，則他們的平均成績(jī)?yōu)?085 280 2756071221190858075607777779.3以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)1 12 2( ) kkkkkE Xpxp xp xp x () 1,2,kkP XxpkMathematical ExpectationMathematical Expectation定義定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 u離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量kkkp x 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕

37、對(duì)對(duì)收收斂斂， 則則稱稱此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作的數(shù)學(xué)期望，記作EX），即），即 XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計(jì)算數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布律：的分布律：1 1223 3 ) (E Xp xp xp x例例 求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望EX） 解解 111()4565424E X 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)E(X)() ( )E Xx f x dxu連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 f (x), 那么那么( ) 若廣義積分絕對(duì)收斂, 則稱此積分為 若廣義積

38、分絕對(duì)收斂, 則稱此積分為的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望xf x dxX 即即 數(shù)學(xué)期望的計(jì)算數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為例例 211( )101xf xxx()( )E Xxf x dx求數(shù)學(xué)期望。求數(shù)學(xué)期望。 解解 1121110010 xdxxdxxdxx 數(shù)學(xué)期望的意義 試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，X的觀測(cè)值的算術(shù)平均值的觀測(cè)值的算術(shù)平均值 在在E(X)附近擺動(dòng)附近擺動(dòng)x()xE X數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了隨機(jī)變量反映了隨機(jī)變量X取值的取值的“概率平均概率平均”,是

39、是X的的可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量(, )( (), ( )E X YE XE Y.()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p.( )jjjjjijjjjiE Yy P Yyy py p() ( ) ( ,),XE Xx fx dxx f x y dxdy() ( ) ( ,).YE Yy fy dyy f x y dxdy(X,Y)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量為二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y

40、)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為例例0,1,1,3( , )0kxyxyf x y 其其它它(1) 求求k(2) 求求X和和Y的邊緣密度的邊緣密度(3) 求求E(X), E(Y).14212kk 12k ( )( , )Xfxf x y dy 31122xydyx 20,1( )0Xxxfx 其它其它( , )1f x y dxdy (1)由由解解3110kydyxdx 所以所以所以所以得得1 11 13 30,1x (2)(2)( )( , )Yfyf x y dx 101124xydxy 1,3( )40其它yyyfy ()( )XE Xxfx dx （）（）()( )YE Yyfy dy 10

41、223xxdx 311346yydy 1,3y 1131 11 13 3()( ,)E Xxf x y dxdy （另解（另解10223xxdx 311346yydy 130112dxxxydy ()( , )E Yyf x y dxdy 311012dyyxydx 無(wú)需求無(wú)需求邊緣分布密度函數(shù)邊緣分布密度函數(shù) 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理 1：一維情形：一維情形()Yg X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 X的函數(shù)的函數(shù),1( ) ()()kkkE YE g Xg xp , 1,2,kkP Xxpk( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( )f x

42、概率密度為概率密度為X服從服從2 , 0sinYX上的均勻分布，求上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 ( )sinsin E YEXx fx dx 1,0220,xf x；其它。 2 01sinsin02EXxdx由于由于 所以所以 例例 解解隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 (,)(,)ijijijE g X Yg xyp 定理定理 2：二維情形：二維情形1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ( , )f x y聯(lián)合概率密度為聯(lián)合概率密度為(,)Zg X Y 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 X

43、， Y的函數(shù)的函數(shù),離散型離散型 1 15 5)( , )E XYxyf x y dxdy 例例 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為 12 , (01)( )0, xxf x其它(5)2, (5)( ) 0, yeyfy其它求求EXY）解解 12( )( )xyf x fy dxdy 1(5)052ydxxyx edy12(5)052yx dxyedy4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),X Y相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí)u當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量 ()() ( )E XYE X E Y( )E CCu.C C 為常數(shù)為常數(shù) ()()E CXCE Xu.()()( )

44、E XYE XE Yu.設(shè)設(shè)X,YX,Y在由在由4 4個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)0 0，0 0）（）（3 3，0 0），（），（3 3，2),2),(0,2)(0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).E(Y2),E(XY).3 30 02 26面積答案：答案：25(); ()3;2E XYE X243(); ()32E YE XY0-1分布的數(shù)學(xué)期望分布的數(shù)學(xué)期望X服從服從0-1分布，其概率分布為分布，其概率分布為P(X=1)=pP(X=0)=1- pXP0 11-p p若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的0-

45、1分布，分布， 則則E(X) = p()0 (1)1E Xppp 分布律分布律數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望If XB( n, p ), then E(X)= np(1)kknknP XkCpp 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望分布律分布律X X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為服從二項(xiàng)分布，其概率分布為數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望n二項(xiàng)分布可表示為二項(xiàng)分布可表示為個(gè)分布的和個(gè)分布的和1niiXX0, 1iAiXAi在第 次試驗(yàn)中不發(fā)生， 在第 次試驗(yàn)中發(fā)生11()()()nniiiiE XEXE Xnp 其中其中 那么那么 泊松分布的數(shù)學(xué)期望泊松分布的數(shù)學(xué)期望If , then ( )XP()E X()!kP Xkek分

46、布律分布律數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望101()!(1)!kkkkE Xkeekk(1)kt 0!ttee et1()0axbfxba 其其 它它均勻分布的期望均勻分布的期望分布密度分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 ()2( )baxxf x dxdxE Xbbaa X N (，2）正態(tài)分布的期望正態(tài)分布的期望分布密度分布密度222)(21)(xexf數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望22()2()12xxedxE X221()2ttedtxt0( )00 xexfxx指數(shù)分布的期望指數(shù)分布的期望分布密度分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望0()xxf x dExx edxX 00 01|xxxxeedxe 1數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)期

47、望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用An application of Expected Value in Medicine 考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每1010個(gè)人一組，把這個(gè)人一組，把這1010個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則結(jié)果為陰性，則1010個(gè)人只需化驗(yàn)個(gè)人只需化驗(yàn)1 1次；若結(jié)果為陽(yáng)性，則需對(duì)次；若結(jié)果為陽(yáng)性，則需對(duì)1010個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)1111次。假定人群中這種病的患病次。假定人群中這種病的患病率是率是10%10%，且每人患病與否是相互獨(dú)

48、立的。試問(wèn)：這種分組化，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：分析：設(shè)隨機(jī)抽取的設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X我們需要計(jì)算我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較比較 化驗(yàn)次數(shù)化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是陰性人都是陰性”（X=11)=“至少至少1人陽(yáng)性人陽(yáng)性”結(jié)論：結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)注

49、意求注意求 X期望值的期望值的步驟！步驟！10101(1 0.1)0.9P X 10111 0.9P X 1010() 0.91(1 0.9 ) 117.51310E X 1、概率、概率p對(duì)是否分組的影響對(duì)是否分組的影響問(wèn)題的進(jìn)一步討論問(wèn)題的進(jìn)一步討論若若p=0.2，那么，那么當(dāng)當(dāng)p0.2057時(shí)，時(shí)，E(X)10() 0.91 (1 0.9 ) 11 10nnE X 1010() 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2、概率、概率p對(duì)每組人數(shù)對(duì)每組人數(shù)n的影響的影響 21.86n 當(dāng)當(dāng)p=0.2時(shí)，可得出時(shí)，可得出n10.32，才能保證，才能保證EX10.當(dāng)當(dāng)p=0.1時(shí)，為

50、使時(shí)，為使 例例 獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生故障的概率分別獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為為p1p1和和p2.p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為 p1 + p2p1 + p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X X則則X X的所有可能取值為的所有可能取值為0 0，1 1解解12(0)(1- )(1- )P Xpp1212(1) (1- ) (1- ) P Xpppp12(2) P Xp p121212() (1- ) (1- ) 2 E Xppppp p12 pp所以所以 方方 差差 的的 引引 入入E( X1 )=5 X2P

51、 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E( X2 )=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下： 兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直徑為如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品較產(chǎn)品2理想。理想。方差方差Variance的定義的定義u 定義定義 2()()D XE XE X u均方差標(biāo)準(zhǔn)差）均方差標(biāo)準(zhǔn)差） ()()XD X與與 X有相同的量綱有相同的量綱()D X()Var XX 設(shè)設(shè) 是一隨機(jī)變量，假設(shè)是一

52、隨機(jī)變量，假設(shè) 存在，則稱存在，則稱為為 的方差，記作的方差，記作 或或 2()E XE X X即即 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式22()() ()D XE XE XProof.2()() D XEXE X222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X一維隨機(jī)變量的方差一維隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為()kkP Xxp1, 2, ,k 222()()kkkkkkD Xpxxpu離散型離散型u連續(xù)型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為的分布密度為 f (x)()E

53、X 其中其中 222()()( )( )D Xxf x dxx f x dx方方 差差 的的 計(jì)算計(jì)算E( X1 )=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E( X2 )=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下： 求求D(X1) ,D(X2) 解解 2221111()(45)(55)(65)0.5424D X222222111()(25)(35)(55)88211 (75)(85)3.2588D X0-1分布的方差分布的方差()E Xp222()10(1)E Xppp222(

54、)()()D XE XE XpppqXP0 11-p pu分布律分布律u方差方差1-qp其中其中 二項(xiàng)分布的方差二項(xiàng)分布的方差I(lǐng)f X B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p )u分布律分布律u方差方差(1)kknknP XkCpp X B ( n, p )22()(1)E Xn npnp()E Xnp22()() ()(1)D XE XE Xnppnpq1-qp其中其中 推導(dǎo)？推導(dǎo)？泊松分布的方差泊松分布的方差I(lǐng)f ( ),XPthen ()D Xu分布律分布律u方差方差()!kP Xkek()E X22()E X22()() ()D XE XE X推導(dǎo)

55、？推導(dǎo)？1()()2E Xab1()0axbfxba 其其 它它均勻分布的方差均勻分布的方差u分布密度分布密度u方差方差2322 2 ()3()3bbaaxxaabbE Xdxbaba222()1()()1(2)E XE XD Xba 正態(tài)分布的方差正態(tài)分布的方差u分布密度分布密度u方差方差2( ,)XN ()E X22()221()2()xxedxD X22222tt edt222222ttt eedt2xt0( )00 xexf xx指數(shù)分布的方差指數(shù)分布的方差1()E Xu分布密度分布密度u方差方差 +22 0()xE Xxedx2222221() ()1()E XD XE X +20

56、02xxx exedx +0 02xxxeedx 02222xe常見(jiàn)分布及其期望和方差列表常見(jiàn)分布及其期望和方差列表P84 分布名稱分布名稱 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望EX） 方差方差DX） 0-1分布分布 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 ppqnpnpq2ab2()12ba1221()()EXxfx dx方差的計(jì)算步驟方差的計(jì)算步驟Step 1: 計(jì)算期望計(jì)算期望 E(X)1 12 2 ( )k kkkkE Xpxp xp xp xStep 2: 計(jì)算計(jì)算 E(X2)22()( )E Xx f x dx222221 12 2 ) (k kkkk

57、E Xpxp xp xp xStep 3: 計(jì)算計(jì)算 D(X)22()() ()D XE XE X離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)()()( )D XYD XD Y,X Y相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí) u 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量22()() ()D XYE XYE XY222(2) ()( )E XYE XYXYE2222() ()() ( )E XE XE YE Y()( )D XD Y( )0D C C C 為常數(shù)為常數(shù)u 2()( )D aXa D Xu a為常數(shù)為常數(shù)證明證明 二維隨機(jī)變量的方差二維隨機(jī)變量的方差u(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量為二維離

58、散型隨機(jī)變量 (, )(),( )D X YD XD Y22.( )( )( )iiiiiiD XxE XP XxxE Xp 22.( )( )( )jjjjjjD YyE YP YyyE Yp2( )iijijxE Xp2( )jijjiyE Yp二維隨機(jī)變量的方差二維隨機(jī)變量的方差(, )(),( )D X YD XD Y2( )( )( )XDXx E Xf xdx u(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 2( )( )( )YDYy EYf y dx 2( )( , )x E Xf x ydxdy 2( )( , )y EYf x y dxdy 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，

59、其概率密度是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度12,XX分別為分別為., 10, 0,2)(1其它xxxf., 5, 0,)(52其它）（xexfx求求12()D XX.解解 由于由于 相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以 12,XX1212()()()D XXD XD X而而 11()( )E Xxf x dx10223xxdx22()( )E Xyfy dy(5)56yy edy2211()( )E Xx f x dx120122xxdx2222()( )E Xy fy dy2(5)5yyedy2(5)(5)552yyyey edy (5)(5)552522yyy eedy(5)535237ye所

60、以所以 21121()2318D X22()3761D X12119()11818D XX 例例 某地出產(chǎn)的某品種的蘋(píng)果的總量某地出產(chǎn)的某品種的蘋(píng)果的總量X服從正態(tài)分服從正態(tài)分布。若布。若E(X)=148, D(X)=162.寫(xiě)出寫(xiě)出X的分布律和概的分布律和概率密度，并用積分表示率密度，并用積分表示(135)P X 2(148,16 )XN22(148)2 161( )16 2xf xe22(148)1352 161(135)16 2xP Xedx解解 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X服從均值為服從均值為2，方差為，方差為2的正態(tài)的正態(tài)分布，且分布，且P2X4=0.3,求求PX0。所以所以 2(2,)X