數(shù)值積分有關(guān)的基本概念

1、 第五章第五章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分5.1 數(shù)值積分有關(guān)的基本概念數(shù)值積分有關(guān)的基本概念5.2 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龍貝格算法龍貝格算法5.4 高斯求積公式高斯求積公式badxxffI)()(對于積分對于積分公式有則由的原函數(shù)如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會(huì)見到以下現(xiàn)象常會(huì)見到以下現(xiàn)象:的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函數(shù)如求不出來的原函數(shù))(,)()()2(xFxFxf求原函數(shù)較困難的表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜,)()3(xf5.1

2、數(shù)值積分有關(guān)的基本概念數(shù)值積分有關(guān)的基本概念一一. .基本思想基本思想 badxxfI)()()( fab ba, 其其中中YXba)(xfy 則則有有若若取取),2()(baff )2()(bafabI 則則有有若若取取,2)()()(bfaff )()(2bfafabI :,進(jìn)進(jìn)行行如如下下劃劃分分對對區(qū)區(qū)間間一一般般地地babxxxan 10矩形公式矩形公式梯形公式梯形公式進(jìn)行加權(quán)平均進(jìn)行加權(quán)平均niwi,1 ,0 取取權(quán)權(quán)1)()(0 nxfwfniii 則則 badxxfI)()()( fab 1)()(0 nxfwabniii1)(nwabAkk記nI nkkkbaxfAdxxfI

3、0)()( badxxfI)(1)()(0nxfwabniii求求積積系系數(shù)數(shù)求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn) nkkkbannxfAdxxfIIR0)()(求積余項(xiàng)求積余項(xiàng)如何來衡量一個(gè)求積公式的好壞呢?二. .代數(shù)精度代數(shù)精度:.1 定定義義:1.2 定定理理.,1,代數(shù)精度代數(shù)精度次次則稱該公式具有則稱該公式具有式不精確成立式不精確成立次多項(xiàng)次多項(xiàng)而至少對一個(gè)而至少對一個(gè)多項(xiàng)式都精確成立多項(xiàng)式都精確成立的的有次數(shù)不大于有次數(shù)不大于如果某個(gè)求積公式對所如果某個(gè)求積公式對所mmm 次次代代數(shù)數(shù)精精度度某某求求積積公公式式具具有有 m.)(,), 1 , 0()(1不不精精確確成成立立而而對對精精確確成成立立

4、該該公公式式對對 mkxxfmkxxf等等價(jià)價(jià)于于例例1.1.驗(yàn)證求積公式驗(yàn)證求積公式?)2()(的的代代數(shù)數(shù)精精度度為為多多少少bafabI 右右左左時(shí)時(shí) abdxxfba1:1)()(21:)(22abxdxxxfba 左左時(shí)時(shí)2)(baab 右右右右左左 解解：)(31:)(3322abdxxxxfba 左左時(shí)時(shí)2)2)(baab 右右右右左左 1代代數(shù)數(shù)精精度度為為 例例2. 試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.)()()0()()0(2)()(120fIhffahhffhdxxffIhhdxxI00解解:221hI 202231hahhI0)(xxf對于hI 1hhdxx

5、I011)(xxf對于22hhdxxI022)(xxf對于33h3)221(ha1II 令121a3022241hahhIhdxxI033)(xxf對于44h44h4023251hahhIhdxxI044)(xxf對于55h65h3 , 2 , 1 , 0)()(1jxIxIjj)()(414xIxI因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度 三三. . 插值型求積公式插值型求積公式), 2 , 1(),(,( :)(nkxfxxfykk 的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)設(shè)設(shè)已已知知函函數(shù)數(shù)則可得則可得： nkkknxlxfxP0)()()(則則有有取取),()(xPxfn banbadxxPdxxfI)()( ban

6、kkkdxxlxf) )()(0 nkkbakxfdxxl0)()( bakkdxxlA)(:記記 nnkkkbaIxfAdxxfI0)()(:則則有有稱之為插值型求積公式稱之為插值型求積公式 nkkbakxfdxxl0)()( bandxxPxf)()(dxxxnfnkkban0)1()()!1()( 求積余項(xiàng)求積余項(xiàng)nnIIR 次次代代數(shù)數(shù)精精度度它它至至少少具具有有是是插插值值型型的的個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)求求積積公公式式定定理理nn 1:2. :次代數(shù)精度次代數(shù)精度至少具有至少具有證證n 代數(shù)精度代數(shù)精度,)(次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為 nxli nkkikbaixlAdxxl0)()(iAnnkkk

7、baIxfAdxxfI 0)()(), 1 , 0()( nkxxfk 則則對對為為插插值值型型公公式式 bankknndxxxnfII0)1()()!1()( 0.次次代代數(shù)數(shù)精精度度則則至至少少具具有有即即公公式式精精確確成成立立n第第五五章章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分5.1 數(shù)值積分有關(guān)的基本概念數(shù)值積分有關(guān)的基本概念5.2 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龍貝格算法龍貝格算法5.4 高斯求積公式高斯求積公式一、一、Newton-Cotes數(shù)值求積公式數(shù)值求積公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值

8、求積公式多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式,)(baCxf設(shè)函數(shù)為插值多項(xiàng)式及余項(xiàng)分別的Lagrangexf)(等份分割為將積分區(qū)間nba,nkkhaxk, 1 ,0,為步長其中nabh各節(jié)點(diǎn)為各節(jié)點(diǎn)為nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn,baniinxxx01)()(其中其中kjnjjkjkxxxxxl0)(而而)()()(xRxLxfnn因此對于定積分因此對于定積分badxxffI)()(banndxxRxL)()(有有badxxffI)()( bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)(nkkkxfA0)(bandxxR)(令令nkkknxfAf

9、I0)()(banndxxRIR)()(badxxffI)()(bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0n階階Newton-Cotes求積公式求積公式Newton-Cotes公式的余項(xiàng)公式的余項(xiàng)(誤差誤差)bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的計(jì)算kA注意是等距節(jié)點(diǎn)注意是等距節(jié)點(diǎn)thax假設(shè),bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1(dtjtknknabnkjnjkn 00)()!( !)1()()()(nkkCabAnkkknxfAfI

10、0)()(nkknkxfCab0)()()(所以所以Newton-Cotes公式化為公式化為系數(shù)稱為CotesCnk)(注：注：Cotes 系數(shù)系數(shù)僅取決于僅取決于 n 和和 k，可通過查表得到。，可通過查表得到。與被積函數(shù)與被積函數(shù) f (x) 及積分區(qū)間及積分區(qū)間 a, b 均無關(guān)。均無關(guān)。q 科特斯系數(shù)具有以下特點(diǎn)：科特斯系數(shù)具有以下特點(diǎn)：(1) 10)(niniC(2) )()(ninniCC科特斯系數(shù)表科特斯系數(shù)表二、低階二、低階Newton-Cotes公式及其余項(xiàng)公式及其余項(xiàng)在在Newton-Cotes公式中公式中,n=1,2,4時(shí)的公式是最常用也時(shí)的公式是最常用也最重要三個(gè)公式最

11、重要三個(gè)公式,稱為低階公式稱為低階公式1.梯形梯形(trapezia)公式及其余項(xiàng)公式及其余項(xiàng)abhbxaxn, 110則取dtt10)1()1(0CCotes系數(shù)為系數(shù)為21dtt10)1(1C21求積公式為求積公式為)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)()(2bfafab)(1fI即上式稱為上式稱為梯形求積公式梯形求積公式,也稱也稱兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)公式，記為，記為-0.500.511.500.511.522.533.544.5)()(2)(bfafab)(1fIT 梯形公式的余項(xiàng)為梯形公式的余項(xiàng)為)()(1IRTRbadxxR)(1dxbxaxfTRba

12、)(2)()(dxbxaxfba )(2)(,ba第二積分第二積分中值定理中值定理6)(2)(3abf )()!1()()(1)1(xnfxRnnn)(12)(3fab 2312)(|)(|MabTR|)(|max,2xfMbax 梯形梯形(trapezia)公式具有公式具有1次代數(shù)精度次代數(shù)精度故故2.Simpson公式及其余項(xiàng)公式及其余項(xiàng)2,2,2210abhbxabxaxn則取Cotes系數(shù)為系數(shù)為dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求積公式為求積公式為)(2fI20)2()()(kkkxfCab)(61)(6

13、4)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式稱為上式稱為Simpson求積公式求積公式，也稱，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式三點(diǎn)公式或拋物線公式記為記為)(2fIS Simpson公式的余項(xiàng)為公式的余項(xiàng)為)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有公式具有3次代數(shù)精度次代數(shù)精度3.Cotes公式及其余項(xiàng)公式及其余項(xiàng)4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk則取Cotes系數(shù)為系數(shù)為dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(

14、0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4907求積公式為求積公式為)(4fI40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式稱為上式稱為Cotes求積公式求積公式，也稱，也稱五點(diǎn)公式五點(diǎn)公式記為記為)(4fIC Co

15、tes公式的余項(xiàng)為公式的余項(xiàng)為)()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有公式具有5次代數(shù)精度次代數(shù)精度三、三、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性公式的穩(wěn)定性(舍入誤差舍入誤差)dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(考察考察Cotes系數(shù)系數(shù)因此用因此用Newton-Cotes公式計(jì)算積分的舍入誤差主要由公式計(jì)算積分的舍入誤差主要由的計(jì)算引起函數(shù)值)(kxf其值可以精確給定其值可以精確給定響的舍入誤差對公式的影只需討論)(kxf)()()(,)(計(jì)算值的近似值作為而以為精確值假設(shè)kkkxfxfxf為誤差)()(kk

16、kxfxf)( fInnkknkxfCab0)()()(記記)(計(jì)算值的近似值為nI而理論值為而理論值為)( fInnkknkxfCab0)()()(的誤差為與nnII)()(fIfInnnkkknkxfxfCab0)()()()(nnII nkknkCab0)()(nkknkCab0)()(nnII nknkCab0)()(|max|k有若,0,)(nkCnknnII nknkCab0)()()(ab 10)(nknkC性質(zhì)：Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的倍)(ab 時(shí)，公式都是穩(wěn)定的當(dāng)事實(shí)上8,n公式是穩(wěn)定的時(shí)即CotesNewtonC

17、nknk,0,)(nknkCab0)()(有有正有負(fù)若,)(nkCnknkCab0)()()(ab 此時(shí)此時(shí),公式的穩(wěn)定性將無法保證公式的穩(wěn)定性將無法保證因此因此,在實(shí)際應(yīng)用中一般不使用高階在實(shí)際應(yīng)用中一般不使用高階Newton-Cotes公式公式而是采用低階復(fù)合求積法而是采用低階復(fù)合求積法四四. . 復(fù)合求積法復(fù)合求積法固定時(shí)而節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的長度較大當(dāng)積分區(qū)間1,nba直接使用直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會(huì)較大公式的余項(xiàng)將會(huì)較大增加時(shí)即而如果增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)1,n公式的舍入誤差又很難得到控制公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度為了提高公式的精度,又使算法簡單易行又使算法簡單

18、易行,往往使用復(fù)合方法往往使用復(fù)合方法分成若干個(gè)子區(qū)間即將積分區(qū)間,ba然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式公式最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加1.復(fù)合求積公式建立方法復(fù)合求積公式建立方法等份分割為的積分區(qū)間將定積分nbadxxfba,)(nkkhaxk, 1 ,0,nabh各節(jié)點(diǎn)為1,(0,1,1)kkxxkn在子區(qū)間上使用比如：NewtonCotes低階公式梯形公式，辛浦生公式，梯形公式，辛浦生公式，Cotes公式公式110( )( )kknbxaxkf x dxf x dx110()()2nkkkhf x

19、f x110 ()()2nkkkhf xf x11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf b310()12nnnkkhRITf)(TR)(12)(3fab )(12103 nkkfh2( ) , ,f xC a b設(shè)被積函數(shù)nTI 103)(12nkkfh)(max)()(min10 xfnfxfbxankkbxa 由于使得由介值定理,ba)()(10fnfnkk nTI 103)(12nkknfnh)(123fnh 即有)()(12)(2nTRfhab 110( )( )kknbxaxkf x dxf x dx41(4)1()180 2nnnkkhhRISf41(4)11()180

20、2nkkba hfn 4(4)( ), , 1802bahfa b 11102 ()4 ()()6nkkkkhf xf xf x11102 ()4 ()()6nkkkkhf xf xf x111012 ( )4()2()( )6nnnkkkkhSf af xf xf bkx1kx12kx6(6)2()( ), , 9454nbahICfa b 111112300014447 ( )32() 12()32() 14()7 ( )90nnnnnkkkkkkkkhCf af xf xf xf xf b要注意這個(gè)公式還將小區(qū)間要注意這個(gè)公式還將小區(qū)間x,x劃分為四等分，要用劃分為四等分，要用到四等分點(diǎn)

21、到四等分點(diǎn)!kx12kx1kx14kx34kx例1.10sindxxxI計(jì)算定積分使用各種復(fù)合求積公式解:00.1250.250.3750.50.6250.750.8751x0 x1x2x3x4x5x6x7x8x0 x1/2x1x3/2x2x5/2x3x7/2x4x0 x1/4x1/2x3/4x1x5/4x6/4x7/4x210.99739790.98961580.97672670.95885110.93615560.90885170.87719260.84147108T )1()(2)0(16171kkfxff分別由復(fù)合分別由復(fù)合Trapz、Simpson、Cotes公式有公式有945690

22、86. 04S)1()(2)(4)0(241313021fxfxffkkkk94608331. 02C)1(7)(14)(32)(12)(32)0(718011110434241fxfxfxfxffkkkkkk94608307. 08T94569086. 04S94608331. 02C94608307. 0原積分的精確值為10sindxxxI671839460830703. 0精度最高精度次高精度最低 比較三個(gè)比較三個(gè)公式的結(jié)果公式的結(jié)果那么哪個(gè)復(fù)合求積公式的收斂最快呢？滿足使其余項(xiàng)及若存在對于復(fù)合求積公式nnIIcpI, 00chIIpnh0lim階收斂的是則稱復(fù)合求積公式pIn()pnI

23、IO h階收斂的概念也等價(jià)于顯然 p,當(dāng)被積函數(shù)可導(dǎo)時(shí)不難知道,復(fù)合梯形、Simpson、Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階2.復(fù)合公式收斂性復(fù)合公式收斂性通常情況下通常情況下,定積分的結(jié)果只要滿足所要求的精度即可。定積分的結(jié)果只要滿足所要求的精度即可。精度越高越大分割的小區(qū)間數(shù)而積分區(qū)間nInba,運(yùn)算量也很大太大但,n但精度可能又達(dá)不到運(yùn)算量雖較小太小,n取多大值合理呢？那么n五五.自動(dòng)變步長復(fù)合求積公式自動(dòng)變步長復(fù)合求積公式11,2hh將步長縮小一倍 即nTI22( )( )122ba hf nnTITI21( )14( )4ff)(3122nnnTTTI為的近似值的截?cái)嗾`差約

24、作為因此ITn2)(3122nnnTTTI21( )12bah f 復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為2( )12nbaIIh f 為的近似值的截?cái)嗾`差約作為ISn2)(15122nnnSSSI為的近似值的截?cái)嗾`差約作為ICn2)(63122nnnCCCI利用辛浦生公利用辛浦生公式式 的誤差余的誤差余項(xiàng)可類推項(xiàng)可類推若預(yù)先給定的誤差限為有因此對一般的復(fù)合積分nI)(122nnnIIpIIpIInn2只要nII2就有的近似值即為滿足要求的IIn2步長自動(dòng)選取的步驟步長自動(dòng)選取的步驟:11,1. 1Iabhn計(jì)算，取取不同的值不同的方法p|1,212,12212IIpIhhn和計(jì)算，取步長折

25、半否則停止計(jì)算若,2II |1,214,. 224424IIpIhhn和計(jì)算，取步長折半否則停止計(jì)算若,4II 依此類推依此類推kII2,停止計(jì)算直到以上這種方法稱為以上這種方法稱為自動(dòng)變步長復(fù)化求積法自動(dòng)變步長復(fù)化求積法有時(shí)也去有時(shí)也去掉掉精度會(huì)更精度會(huì)更高高自動(dòng)變步長梯形求積公式自動(dòng)變步長梯形求積公式當(dāng)將區(qū)間劃分成n份時(shí)：11 ( )2()( )2nnnknkhbaTf af xf bhn當(dāng)步長減小一半時(shí)，區(qū)間被劃分成2n份時(shí)，記新加入的n節(jié)點(diǎn)為 xk+1/2：kx1kx12kxnh12112102 ( )2()2()( )2nnnnkkkkhTf af xf xf b所有中間節(jié)所有中間節(jié)

26、點(diǎn)點(diǎn)所有中間節(jié)所有中間節(jié)點(diǎn)點(diǎn)121201()22nnnnkkhTTf x所以步長分半前后的梯形值有關(guān)系：所以步長分半前后的梯形值有關(guān)系：這個(gè)公式使我們可以很方便計(jì)算這個(gè)公式使我們可以很方便計(jì)算 分半后的新梯形值分半后的新梯形值!kx1kx12kxnh所有新增中所有新增中間節(jié)點(diǎn)間節(jié)點(diǎn)12481632.TTTTTTnxxdxxsI1)(31 ,22,3 ,4,)()()()(iiiiiiiixxxxxxxq41 ,32,23 ,4,432)(1iiiiiiiixxihhhhdxxqiiMatlab命令：命令：I = quad(FUN,a,b,tol)第五章第五章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微

27、分5.1 數(shù)值積分有關(guān)的基本概念數(shù)值積分有關(guān)的基本概念5.2 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龍貝格算法龍貝格算法5.4 高斯求積公式高斯求積公式 綜合前幾節(jié)的內(nèi)容綜合前幾節(jié)的內(nèi)容,我們知道我們知道梯形公式梯形公式,Simpson公式公式,Cotes公式的代數(shù)精度分別為公式的代數(shù)精度分別為1次次,3次和次和5次次復(fù)合梯形、復(fù)合復(fù)合梯形、復(fù)合Simpson、復(fù)合、復(fù)合Cotes公式的收斂階分別為公式的收斂階分別為2階、階、4階和階和6階階無論從代數(shù)精度還是收斂速度無論從代數(shù)精度還是收斂速度,復(fù)合梯形公式都是較差的，復(fù)合梯形公式都是較差的，但是計(jì)算是相當(dāng)方便的但是計(jì)算是相當(dāng)方便的!能否充分發(fā)

28、揮梯形公式能否充分發(fā)揮梯形公式 的優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)構(gòu)造出更好的數(shù)值公式？構(gòu)造出更好的數(shù)值公式？由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)公式由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)公式)(3122nnnTTTI24133nnITT可以證明可以證明n等分區(qū)間的復(fù)化辛浦生公式等分區(qū)間的復(fù)化辛浦生公式Sn：24133nnnSTT)(15122nnnSSSI由復(fù)合由復(fù)合Simpson公式的余項(xiàng)又得：公式的余項(xiàng)又得：21611515nnnISSC同樣由復(fù)合同樣由復(fù)合Cotes公式的余項(xiàng)還可得：公式的余項(xiàng)還可得：)(63122nnnCCCI26416363nnnICCR稱為稱為 Ronberg公公式式可以證明可以證明(1)Romberg公式具有公式具有

29、7次代數(shù)精度，次代數(shù)精度，誤差滿足：誤差滿足：8()nIRO h它不是插值型公式即求積系數(shù)不能由它的對應(yīng)求積節(jié)點(diǎn)它不是插值型公式即求積系數(shù)不能由它的對應(yīng)求積節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)積分表示的基函數(shù)積分表示!(1)計(jì)算順序?yàn)椋簭纳现料轮鹦杏?jì)算，每行從左至計(jì)算順序?yàn)椋簭纳现料轮鹦杏?jì)算，每行從左至右依次計(jì)算。右依次計(jì)算。Romberg算法算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2(2)停機(jī)準(zhǔn)則為：停機(jī)準(zhǔn)則為：2nnRR)1()(4141)1(11kTkTkTmmmmm其中外推加速公式可簡化為其中外推加速公式可簡化為-(9)0(0T)1(0T)0(1T)2(0T)1(1T)0(2T)3(0T)

30、2(1T)1(2T)0(3T,2 , 1mm可以推廣到并且,2 , 1kRomberg算法的收斂算法的收斂階高達(dá)階高達(dá)m+1的兩倍的兩倍Romberg算法求解步驟算法求解步驟Romberg算法的代算法的代數(shù)精度為數(shù)精度為m的兩倍的兩倍第五章第五章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分5.1 數(shù)值積分有關(guān)的基本概念數(shù)值積分有關(guān)的基本概念5.2 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龍貝格算法龍貝格算法5.4 高斯求積公式高斯求積公式( (代數(shù)精度最高的公式代數(shù)精度最高的公式) )有有n n 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型公式個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型公式 nkkkbaxfAdxxf1)()(,1 n其其代代數(shù)數(shù)精精

31、度度至至少少為為?最最高高可可達(dá)達(dá)多多少少怎樣構(gòu)造這個(gè)代數(shù)精度最高的公式？怎樣構(gòu)造這個(gè)代數(shù)精度最高的公式？5.4 高斯求積公式高斯求積公式例：例：在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量，在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量， 則有則有4 4個(gè)未知量個(gè)未知量 , ,可以列出可以列出4 4個(gè)方程個(gè)方程： （以（以f(x)f(x)在在-1,1-1,1為例）為例）1010,xxaa032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxaxdxxaxadxaa可解出：可解出：31,31, 1, 11010 xxaa可以看出，數(shù)值積分公式可以看出，

32、數(shù)值積分公式)31()31(11fffdx具有具有3 3階代數(shù)精階代數(shù)精度，比梯形公度，比梯形公式式1 1階代數(shù)精度高階代數(shù)精度高一一. .高斯求積公式高斯求積公式 nkkkbaxfAdxxf1)()(定義：定義：有有n n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的求積公式如果具有個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的求積公式如果具有 2n-12n-1次次 代數(shù)精度，則稱為代數(shù)精度，則稱為n n點(diǎn)點(diǎn)高斯型求積公式高斯型求積公式。高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)：高斯型求積公式中的求積節(jié)點(diǎn)高斯型求積公式中的求積節(jié)點(diǎn)高斯系數(shù)高斯系數(shù)：高斯型求積公式中的求積系數(shù)。高斯型求積公式中的求積系數(shù)。12( )()()()nw xxxxxxx badxxwxP0)()(定理定理: :

33、對對n n個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式 nkkkbaxfAdxxf1)()(為高斯型求積公式的充要條件是以求積節(jié)點(diǎn)為根的為高斯型求積公式的充要條件是以求積節(jié)點(diǎn)為根的n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式與任何次數(shù)小于與任何次數(shù)小于n n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式p(x)p(x)正交即正交即二、高斯二、高斯勒讓德求積公式勒讓德求積公式 1 1、勒讓德多項(xiàng)式、勒讓德多項(xiàng)式 )2 , 1 , 0()1(!21)(2 nxdxdnxPnnnnnn次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式多多項(xiàng)項(xiàng)式式稱稱為為勒勒讓讓德德)(legendre2) !(2)!2(maxnnaxnnn 的的系系數(shù)數(shù)為為次次數(shù)數(shù)其其多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的性性質(zhì)質(zhì)legendre.2正正交交性性)1( .1 ,1)(上上是是兩兩兩兩正正交交的的在在區(qū)區(qū)間間 xPn )( ,122)(,0)()(11nmnmmdxxPxPnm遞遞推推關(guān)關(guān)系系)2(1)(0 xPxxP )(1 ),2,1()()()12(11)(11 nxnPxxPnnxPnnn零零點(diǎn)點(diǎn))3( 內(nèi)內(nèi)且且全全部部在在區(qū)區(qū)間間點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)互互實(shí)實(shí)零零有有多多項(xiàng)項(xiàng)式式次次1,1,)( nxPlegen