時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第1頁/共150頁第2頁/共150頁()( )jj nnX ex n e(2.2.1) 為序列x(n)的傅里葉變換， 可以用FT(Fourier Transform)縮寫字母表示。 FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件， 即滿足下式： ( )nx n (2.2.2) 第3頁/共150頁()()()( )( )2()1( )()2jj mj nj nnjm nnjm njj mX eedx n eedx nedednmx nX eed(2.2.3)(2.2.4) 式中 因此 第4頁/共150頁第5頁/共150頁10

2、/2/2/2/2/2/2(1)/2()( )1()1()sin(/2)sin/2Njj nj nNnnj Nj Nj Nj Njj Njjj NX eRn eeeeeeeeeeNe解： (2.2.5) 設(shè)N=4， 幅度與相位隨變化曲線如圖2.2.1所示。 第6頁/共150頁 圖 2.2.1 R4(n)的幅度與相位曲線 第7頁/共150頁(2)()( ),jjM nnX ex n eM為整數(shù)(2.2.6) 因此序列的傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)， 周期是2。第8頁/共150頁11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjX eFT x nXeFT x nFT ax nbx n

3、aX ebXe那么 設(shè)(2.2.7) 3. 時移與頻移時移與頻移設(shè)X(e j)=FTx(n)， 那么0000( ()()( )()j njjnjFT x nneX eFT ex nX e (2.2.8) (2.2.9) 式中a, b為常數(shù)第9頁/共150頁)()()(njxnxnxeiere)()(*nxnxee)()()(njxnxnxeiere4. FT的對稱性的對稱性 設(shè)序列xe(n)滿足下式：(2.2.10)將上式兩邊n用-n代替， 并取共軛， 得到第10頁/共150頁)()(nxnxerer)()(nxnxeiei)()(*nxnxoo對比上面兩公式， 左邊相等， 因此得到(2.2.

4、11)(2.2.12) 由上面兩式得到共軛對稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)偶函數(shù)， 而虛部是奇函數(shù)奇函數(shù)。 類似地， 可定義滿足下式的稱共軛反對稱序列(2.2.13)第11頁/共150頁)()()(njxnxnxoioro)()(nxnxoror)()(nxnxoioi將x0(n)表示成實(shí)部與虛部如下式：可以得到(2.2.14)(2.2.15)即共軛反對稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)奇函數(shù)， 而虛部是偶函數(shù)偶函數(shù)。第12頁/共150頁sinn由上式表明， 共軛對稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。第13頁/共150頁利用(2.2.16)和(2.2.17)兩式，得到1( ) ( )()21( ) ( )()2e

5、ox nx nxnx nx nxn(2.2.18) (2.2.19) 第14頁/共150頁)()(*jejeeXeX1()()()21()()()2jjjejjjoXeX eXeXeX eXe(2.2.23) (2.2.24) )()()(jojejeXeXeX)()(*jojoeXeX對于頻域函數(shù)X(ej)也有和上面類似的概念和結(jié)論：(2.2.20) 式中, Xe(ej)與Xo(ej)分別稱為共軛對稱部分和共軛反對稱部分， 它們滿足同樣有下面公式滿足：(2.2.21)(2.2.21)第15頁/共150頁式中 nnjrrjeenxnxFTeX)()()(nnjiijoenxjnjxFTeX)(

6、)()()()()(jojejeXeXeX第16頁/共150頁 最后得到結(jié)論： 序列分成實(shí)部與虛部兩部分，序列分成實(shí)部與虛部兩部分， 實(shí)部對應(yīng)的實(shí)部對應(yīng)的FT具有共軛對稱性，具有共軛對稱性， 虛部和虛部和j一起一起對應(yīng)的對應(yīng)的FT具有共軛反對稱性。具有共軛反對稱性。 第17頁/共150頁1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn第18頁/共150頁)()(Im)()(21)(*jIjjjoejXeXjeXeXnxFT上式表示序列的共軛對稱部分序列的共軛對稱部分xe(n)的的FT對應(yīng)著原序列對應(yīng)著原序列FT的實(shí)部的實(shí)部XR(ej)， 而序列的共軛反對稱部分而

7、序列的共軛反對稱部分xo(n)的的 F T對應(yīng)著對應(yīng)著原 序 列原 序 列FT的虛部。的虛部。 )()(Re)()(21)(*jRjjjeeXeXeXeXnxFT)()()(jIjRjejXeXeX將上面兩式分別進(jìn)行FT， 得到因此對(2.2.25)式進(jìn)行FT得到：(2.2.26)第19頁/共150頁 HI(ej)=-HI(e-j)考察實(shí)序列考察實(shí)序列h(n)傅立葉變換的對稱性傅立葉變換的對稱性第20頁/共150頁( )eh n ( ),01( ),021(),02h onh nnhnn(2.2.27) 第21頁/共150頁(2.2.28) 實(shí)因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為

8、 (2.2.29) (2.2.30)0),(210),(210, 0)(nnhnnhnnh)()0()()()()()()(nhnunhnhnunhnhoe第22頁/共150頁2,01,00,0nnn( )u n(2.2.31)例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函數(shù)xe(n) 和奇函數(shù)xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 按(2.2.2)式得到(0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ex n 第23頁/共150頁1,01,021,02nnnanan按照(2.2.28)式得到(0),01( ),021(),02xnx n nxn n

9、( )ox n 0,210,210, 0nanannn第24頁/共150頁圖 2.2.3 例2.2.3圖 第25頁/共150頁( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e 令k=n-m 第26頁/共150頁第27頁/共150頁()11()()*()()()22()( ) ( )1( )()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH e

10、ede 第28頁/共150頁()()1()()( )21()21()*()2jjjnnjjjjY eH ex n edH eXedH eH e 7. 帕斯維爾(Parseval)定理222*1( )(21( )( )( )( )()2jnjj nnnnx nx edx nx n x nx nX eed(2.2.34) 第29頁/共150頁2*1()( )211()()()22jj nnjjjX ex n edX eXedX ed第30頁/共150頁表 2.2.1 序列傅里葉變換的性質(zhì) 第31頁/共150頁( )x n2( )jknNkkx na e(2.3.1) 式中ak是傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

11、為求系數(shù)ak， 將上式兩邊乘以 ， 并對n在一個周期N中求和 2jmnNe第32頁/共150頁 kNnnmkNjkNnmnNjkknNjkNnmnNjeaeeaenx10)(21022102)(2.3.2) ,0,N kmkm10)(2NnnmkNjel 取整數(shù) ,2)(2knNjnlNkNjee-k (2.3.3),)(1210knNjNnkenxNakNakX)(第33頁/共150頁 1010)(2102102102)()()(NnNkknlNjNkklNjNnknNjNkklNjenxeenxekX( )x n2jklNe同樣按照(2.3.2)式， 得到 (2.3.5) 將(2.3.4)

12、式和(2.3.5)式重寫如下： 102)(1)(NkknNjekXNnx)(kX第34頁/共150頁(2.3.6)(2.3.7) (1/)( )N X k(1/)(1)N X102102)(1)()()()()(NkknNjNnknNjekXNkXIDFSnxenxnxDFSkX第35頁/共150頁( )x n( )x n273840044442224888( )( )111()1()jknknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kX n eeeeeeeeeeee第36頁/共150頁38sin2sin8jkkek( )X k第37頁/共150頁圖 2.3.1 例2.3.1圖第38頁

13、/共150頁0( )jtax te00()( )2()jtj taaXjFT x teedt (2.3.8) 對于時域離散系統(tǒng)中， x(n)=e jon， 2/o為有理數(shù)， 暫時假定其FT的形式與(2.3.8)式一樣， 也是在=0處的單位沖激函數(shù)， 強(qiáng)度為2，但由于n取整數(shù)， 下式成立00(2),jnjr neer 取整數(shù)第39頁/共150頁因此e j0n的FT為00()2(2)jnjrX eFT er (2.3.9) 0jne derdeeXnjnjj)2(221)(210第40頁/共150頁圖 2.3.2 的 FT 0jne第41頁/共150頁按(2.3.4)式展開DFS， 第k次諧波為，

14、 類似于復(fù)指數(shù)序列的FT， 其FT為0jne001()()2jnjjj neX eedIFT X e( )x n22( )/(2)rX kNkrN knNjeNkX2/ )(第42頁/共150頁1022)(2)()(NkrjrkNNkXnxFTeX(2.3.10) kjkNkXNeX2)(2)(102)()(NnknNjenxkX式中因此 的FT如下式)(nx第43頁/共150頁 表 2.3.2 基本序列的傅里葉變換 第44頁/共150頁1( )( )21(1)(1)2( )(1)( )(1)( )1()1jjx nu nx nu nx nx nu nu nnX ee對(a)式進(jìn)行FT， 得到

15、()()(2)1()(2)1jjkjjkX eU ekU eke 第45頁/共150頁( )X k38sin(/2)()()4sin(/8)4jkjkkX eekk 其幅頻特性如圖2.3.3所示。 例 2.3.2 求例2.3.1中周期序列的FT。 第46頁/共150頁圖 2.3.3 例2.3.2圖 第47頁/共150頁第48頁/共150頁0( )cosx nn( )x n00000001( )2()cos12 (2)(2)2(2)(2)jnjnjrrx neeX eFTnrrrr (2.3.11) 按照(2.3.9)式， 其FT推導(dǎo)如下： 第49頁/共150頁第50頁/共150頁圖 2.3.4

16、 cos0n的FT 0 0 0X(ej)22第51頁/共150頁()( )1( )()2j taaj taaXjx t edtx tXjedt (2.4.1)(2.4.2) 第52頁/共150頁a變換之間的關(guān)系， 由采樣定理(1.5.5)式描述， 重寫如下：ksaajkjXTjX)(1)(naanTtnTxtx)()()()( txa第53頁/共150頁()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eed第54頁/共150頁1()()2j nTaax nTXjed(2.4.4) (21)/(21)/1()()2rTj nTaarTrx nTXjed 第55頁/共150頁

17、令 ， 代入上式后， 再將用代替， 得到2rT 式中， 因?yàn)閞和n均取整數(shù)， e-j2n=1， 交換求和號和積分號得到(2.4.5) rTTrnjnTjaadeerTjjXnTx/2)2(21)(TTrnTjaaderTjjXnTx/)2(21)(第56頁/共150頁 式中T是采樣周期T=1/fs， 將(1.2.10)式代入(2.4.5)式得到 112()()212()()j naarjarx nTXjjr edTTTX eXjjrTTT現(xiàn)在對比(2.4.1)式和(2.4.6)式， 得到(2.4.6) (2.4.7) 第57頁/共150頁，應(yīng)關(guān)系用(1.2.10)式表示。第58頁/共150頁第

18、59頁/共150頁圖 2.4.1 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系0.5 100.510.5 100.510.5 100.51 fs2sffsff 2s2sf2sss00022第60頁/共150頁)( txa0002200()( )cos212 (2)(2)aaj tjf tjf tj tXjFT x tf tedteeedtff )( txa第61頁/共150頁( )axt( )axt0( )cos(2) ()anxtf nTtnT 的傅里葉變換用(1.5.5)式確定， 即以s=2fs為周期， 將Xa(j)周期延拓形成， 得到： ( )axt第62頁/共150頁00()( )1() (2)(

19、2)aaasksskXjFT xtXjjkTkfkfT (2.4.9) 如圖2.4.2(b)所示。 將采樣信號轉(zhuǎn)換成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)()aXj 按照(2.4.7)式， 得到x(n)的FT， 實(shí)際上只要將=/T=fs代入 中即可。 ()aXj第63頁/共150頁00() (22)(22)jsssskX efkfffkffT () (2)(2)22jkX ekkT (2.4.10) 第64頁/共150頁 圖 2.4.2 例2.4.1圖Xa(j )00 s2s2s sTXa(j )022（ a ）（ b ）（ c ）X(ej)02f02f02

20、f02f22第65頁/共150頁( )( )nnX zx n z(2.5.1) 式中z是一個復(fù)變量復(fù)變量， 它所在的復(fù)平面稱為z平面平面。 注意在定義中， 對n求和是在之間求和， 可以稱為雙邊雙邊Z變換變換。 還有一種稱為單邊Z變換的定義， 如下式 0( )( )nnX zx n z(2.5.2) 第66頁/共150頁 使(2.5.3)式成立， Z變量取值的域稱為收斂域。 一般收斂域用環(huán)狀域表示( )nnxxx n zRzR (2.5.3) 第67頁/共150頁圖 2.5.1 Z變換的收斂域 第68頁/共150頁義(2.2.1)式， 很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系， 用下式表示：( )( )(

21、 )P zX zQ z()( )jjz eX eX z(2.5.4) 第69頁/共150頁X(z)存在的條件是|z-1|1，0( )( )nnnnX zu n zz11( )1X zz|z|1 第70頁/共150頁第71頁/共150頁其它第72頁/共150頁21( )( )nnn nX zx n z 設(shè)x(n)為有界序列， 由于是有限項(xiàng)求和， 除0與兩點(diǎn)是否收斂與n1、 n2取值情況有關(guān)外， 整個z平面均收斂。 如果n10， 則收斂域不包括z=0點(diǎn)； 如果是因果序列， 收斂域包括z=點(diǎn)。 具體有限長序列的收斂域表示如下：第73頁/共150頁1101( )( )1NNnnNnnzX zRn zz

22、z第74頁/共150頁1列值不全為零， 而其它nn1，序列值全為零。01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX第75頁/共150頁第76頁/共150頁在收斂域中必須滿足|az-1|a|。 3. 左序列左序列 左序列是在nn2時， 序列值不全為零， 而在nn1，序列值全為零的序列。 左序列的Z變換表示為 2( )( )nnnX zx n z1011)()(azzaznuazXnnnnnn第77頁/共150頁11( )(1)nnnnnnnnnX za unza zaz X(z)存在要求|a-1 z|1， 即收斂域?yàn)閨z|a|1111( ),11a zX zzaa zaz第78頁

23、/共150頁)()()()(21zXzXznxzXnnxnnnRzznxzX0 ,)()(11zRznxzXxnnn,)()(121第79頁/共150頁0101)(nnnnnnnnnnnnnnnzazazazazazX第80頁/共150頁1211( )111,(1)(1)azX zazazaazaz|a|z|a|-1 如果|a|1， 則無公共收斂域， 因此X(z)不存在。 當(dāng)0a1時， x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。 第81頁/共150頁 圖 2.5.2 例2.5.5圖第82頁/共150頁(2.5.5) ),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjn

24、xRzRznxzX第83頁/共150頁(2.5.6) 式中 表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)， 逆Z變換則是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。 如果zk是單階極點(diǎn)， 則根據(jù)留數(shù)定理11Re ( ),()( )knnkkz zs X z zzzzX z z(2.5.7) 1Re ( ),nks X z zzkkncnzzzXsdzzzXj,)(Re)(2111第84頁/共150頁如果zk是N階極點(diǎn)， 則根據(jù)留數(shù)定理11111Re ( ),()( )(1)!kNnNnkkz zNds X z zzzzX z zNdz(2.5.8)1( )( )nF zX z z第85頁/共150頁121

25、211Re ( ),Re ( ),NNkkkks F z zs F z z (2.5.9) 注意(2.5.9)式成立的條件是F(z)的分母階次比分的分母階次比分子子階次必須高二階以上階次必須高二階以上。 設(shè)X(z)=P(z)/Q(z)， P(z)與Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。 (2.5.9)式成立的條件是第86頁/共150頁第87頁/共150頁cndzzazjnx111)1 (21)(azzzazzFnn1111)(第88頁/共150頁( )Re ( ), ()nz anx ns F z azzazaa第89頁/共150頁圖 2.5.4 例2.5.6中n0時F(z)極點(diǎn)分布 但對于F(z)，

26、c外沒有極點(diǎn)，則 x(n)=0, n0第90頁/共150頁(2) |a|z|z-1|， 對應(yīng)的x(n)是雙邊序列；(3) |z|a|， 對應(yīng)的x(n)是左序列。211( ),1(1)(1)aX zaazaz第91頁/共150頁圖 2.5.5 例2.5.7 X(z)極點(diǎn)分布圖 第92頁/共150頁211211( )(1)(1)1()()nnaF zzazazaza zaza 種收斂域是因果的右序列， 無須求n0時的x(n)。 當(dāng)n0時， 圍線積分c內(nèi)有二個極點(diǎn)z=a和z=a-1， 因此 第93頁/共150頁改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和112211( )Re ( ), Re ( ),(1)(1)()()(

27、)(1)()()nnz az annx ns F z as F z aazazzazazaaza zazaaa 第94頁/共150頁=an11221110, ( )Re ( ), Re ( ),(1)(1)()()()()()()()nnz az annnnnx ns F z as F z aazazzazaa zazaa zazaaaaa 第95頁/共150頁第96頁/共150頁是正冪級數(shù)。例 2.5.8 已知，用長除法求其逆Z變換x(n)。解：由收斂域判定這是一個右序列， 用長除法將其展成負(fù)冪級數(shù)11( ),1X zzaaz第97頁/共150頁1221112222111aza zazaza

28、za za z 1-az-1 122330( )1( )( )nnnnX zaza za za zx na u n 第98頁/共150頁11( ),1X zzaaz12233111222211a za za za za za za za z第99頁/共150頁1122( )( )(1)nnnnX za za za zx na un 第100頁/共150頁0101( )( )NmmmNmmmA zX zAzzX zAAzzzz(2.5.11) (2.5.12) 0( )Re ,0( )Re ,mmX zAszX zAszz(2.5.13) (2.5.14) 求出Am系數(shù)(m=0,1,2,N)后，

29、很容易示求得x(n)序列。第101頁/共150頁解：212122122311( )555166(2)(3)23( )( )Re ,2(2)1( )( )Re , 3(3)1( )11(2)(3)11( )1213zzX zzAAzzzzzzzzzX zX zAszzzX zX zAszzzX zzzzX zzz 32 ,615)(211zzzzzX第102頁/共150頁) 1()3()(2)(nununxnn第103頁/共150頁 表2.5.1 常見序列Z變換 第104頁/共150頁第105頁/共150頁=aX(z)+bY(z), R m -|z|R m+ (2.5.15) Rm+=min R

30、x+,Ry+Rm-=max Rx,Ry-第106頁/共150頁則(2.5.16)xxnRzRzXznnxZT|),()(00第107頁/共150頁證明11( )( )( )()()nnnnnY za x n zx n a zX a z因?yàn)镽x-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。第108頁/共150頁111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n zz ZT nx ndX zZT nx nzdz 4.序列乘以n設(shè) ( ) ( )( )( )xxxxX zZT x nRzRdX z

31、ZT nx nzRzRdz 則(2.5.18) 證明 第109頁/共150頁xxRzRnxZTzX|),()(則 證明 (2.5.19)xxRzRnxZTzX|),()(nnnnznxznxnxZT)()()(nnznx)()(zX第110頁/共150頁(2.5.20) 120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxz證明 因此 7.終值定理 若x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則 (2.5.21) 則 )(lim)0(zXxz)0()(limxzXz)() 1(lim)(lim1zXznxzn第111頁/共150頁(

32、)( )( )( ) ( ),( ) ( ),( ) ( )( )( ),min,max,xxyyyynx ny nX zZT x nRzRY zZT y nRzRW zZTnX zY z RzRRRRRRR則 第112頁/共150頁( ) ( )( )( ) ()( )()( )( )( )( )nnnnnnmnW zZT x ny nx m y nm zx my nm zx m zY zX zY z證明 W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。第113頁/共150頁010(1)( )( ) ()( ) ()1,01mmmnmmy nh m x nma u m u nmaana第

33、114頁/共150頁由收斂域判定 y(n) = 0, n 0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a)()()(nxnhny1,11)()(1zznuZTzXazaznuaZTzHn,11)()(11,111)()()(11zazzzXzHzYcndzazzzjny)(1(21)(1(2)第115頁/共150頁111111111( )( )1nnnaaaaaay nu na將y(n)表示為 9.復(fù)卷積定理如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n)則第116頁/共150

34、頁1( )( ) ( )2max(,)min(,)cxyxyxxyyz dvW zX v YjvvR RzR RzzRvRRRW(z)的收斂域 (2.5.24)式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)?2.5.24) (2.5.25)(2.5.26)cvdvvzYvXjzW)()(21)(第117頁/共150頁11( ),11X zzz 112,)1)(1 (1)(azaazazazYcvdvzvavavajzW11)1)(1 (121)(12第118頁/共150頁11( )Re ( ), ,1( )( )nW zs F v aazazw na u n 第119頁/共150頁那么 v平面上，c所在的收斂域?yàn)?1max(,)min(,)xxyyRvRRRcndvvvYvXjnynx11)(21)()(1, 1,|),()(|),()(yxyxyyxxRRRRRzRnyZTzYRzRnxZTzX第120頁/共150頁(2.5.30) 1.求穩(wěn)態(tài)解 如果輸入序列x(n)是在n=0以前時加上的，n時刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(2.5.30)式求Z變換，得到MkkNkkknxbknya00)()(第121頁/共150頁式中 (2.5.31) (2.5.32)MkkkNkkkz