數(shù)學(xué)變化率與導(dǎo)數(shù)新人教A選修PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1數(shù)學(xué)變化率與導(dǎo)數(shù)新人教數(shù)學(xué)變化率與導(dǎo)數(shù)新人教A選修選修1.1. 變化率與導(dǎo)數(shù)第1頁/共48頁第2頁/共48頁研究某個變量相對于另一個變量變化導(dǎo)數(shù)研究的問題 的快慢程度變化率問題第3頁/共48頁第4頁/共48頁氣球的體積氣球的體積V(單位單位:L)與半徑與半徑r(單位單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是之間的函數(shù)關(guān)系是34( )3V rr如果將半徑如果將半徑r表示為體積表示為體積V的函數(shù)的函數(shù),那么那么33( )4Vr V第5頁/共48頁當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率膨脹率為當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率膨脹率為(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)

2、(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L顯然顯然問題問題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程的過程,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加量的增加,氣球的半徑增加越來越慢氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢?33( )4Vr V第6頁/共48頁2121()()r Vr VVV第7頁/共48頁請計算請計算00.52:ttv 和1時的平均速度hto第8頁/共48頁00.52:ttv 和1時的平均速度htoh(t

3、2+6.5t+10第9頁/共48頁121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x這里這里x看作是對于看作是對于x1的一個的一個“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同樣同樣f=y=f(x2)-f(x1)l上述問題中的變化率可用式子上述問題中的變化率可用式子 表表示示稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)從從x1到到x2的的平均變化率平均變化率第10頁/共48頁121)( )f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直線直線AB的斜率的斜率第11頁/共48頁D 2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度

4、。 2x0+x 第12頁/共48頁1.t2質(zhì)點運動規(guī)律s=t +3,則在時間(3,3+ t)中相應(yīng)的平均速度為( )9A. 6+ t B. 6+ t+C.3+ t D.9+ t 2.物體按照物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直的規(guī)律作直線運動線運動,求在求在4s附近的平均變化率附近的平均變化率.A253 t 第13頁/共48頁( )f xx121)()f xxx2f(x2.求函數(shù)的平均變化率的步驟求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量求函數(shù)的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)計算計算平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x第14頁/共48頁3322(1)13

5、3()3 3 0.1 0.13.31(1)xkxxxx 第15頁/共48頁第16頁/共48頁問題問題2 高臺跳水高臺跳水 在在高臺跳水運動中高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高運動員相對于水面的高度度h(h(單位：米單位：米) )與起跳后的時間與起跳后的時間t t（單位：秒）（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系 h(th(t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用運動員在某些時如何用運動員在某些時 間段內(nèi)的平均速度粗略間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運動狀態(tài)地描述其運動狀態(tài)? ?hto第17頁/共48頁65()(0)1049hh0hvt 6549t 計算運動員在0這段時間里的平均速度，

6、計算運動員在0這段時間里的平均速度，思思考考下下面面問問題題；1 1）運運動動員員在在這這段段時時間間里里是是靜靜止止的的嗎嗎？2 2）你你認認為為用用平平均均速速度度描描述述運運動動員員的的狀狀態(tài)態(tài)有有什什么么問問題題嗎嗎？第18頁/共48頁又如何求又如何求瞬時速度呢瞬時速度呢?我們把物體在某一時刻的速度稱為我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速瞬時速度度.第19頁/共48頁當當t趨近于趨近于0時時,平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢?第20頁/共48頁0limt(2)(2)13.1htht 那么那么, ,運動員在某一時刻運動員在某一時刻t t0 0的瞬時速度的瞬時速度? ?0lim

7、 t00()( )h tth tt 局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。第21頁/共48頁從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是:第22頁/共48頁6fxx0lim6xyx第23頁/共48頁例例1 物體作自由落體運動物體作自由落體運動,運動方程為：運動方程為： 其其中位中位 移單位是移單位是m,時間單位是時間單位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2,2.1上的平均

8、速度；上的平均速度； (2) 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t=2(s)時的瞬時速度時的瞬時速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 第24頁/共48頁解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)將將 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的極極限限為為：從從而而平平均均速速度度當當_,

9、22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 第25頁/共48頁27fxxx關(guān)鍵是求出：關(guān)鍵是求出：它說明在第它說明在第2（h)附近，原油附近，原油溫度大約以溫度大約以3 0C/h的速度下降的速度下降；在第；在第6（h)附近，原油溫度附近，原油溫度大約以大約以5 0C/H的速度上升。的速度上升。027limxfxx再求出第26頁/共48頁21()2Emv200022253limlimlim(253)251110 253125( )22xxxsttvtttEmvJ 第27頁/共48頁;svt00()( ).limlimxxss tts ttt1由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的

10、一般步驟：由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均變化率求平均變化率（3）求極限）求極限yx00()limxyfxx第28頁/共48頁x24x第29頁/共48頁第30頁/共48頁回顧回顧平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域為的定義域為D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :割線的斜率割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx12

11、1)()f xxx2f(x第31頁/共48頁回顧回顧以平均速度代替瞬時速度，然后通過以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。我們把物體在某一時刻的速度稱為我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度瞬時速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f f (x(x0 0) )或或y y|xx|xx0 0即即00000()()(),l

12、imlimxxfxfffxxxxx第32頁/共48頁 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負它可正也可負. 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應(yīng)的形式也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.回回顧顧第33頁/共48頁2

13、7fxxx關(guān)鍵是求出：關(guān)鍵是求出：它說明在第它說明在第2（h)附近，原油附近，原油溫度大約以溫度大約以3 0C/h的速度下降的速度下降；在第；在第6（h)附近，原油溫度附近，原油溫度大約以大約以5 0C/H的速度上升。的速度上升。027limxfxx再求出第34頁/共48頁PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當點當點Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P即即x0時時,割線割線PQ如果有一個極限位置如果有一個極限位置PT.則我則我們把直線們把直線PT稱為曲線在點稱為曲線在點P處的處的切線切線.第35頁/共48頁 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那那么當

14、么當x0時時,割線割線PQ的的斜率斜率,稱為曲線在點稱為曲線在點P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線這個概念這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).要注意要注意,曲線在某點處的切線曲線在某點處的切線: 1) 與該點的位置有關(guān)與該點的位置有關(guān); 要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限如有極限,則在則在 此點有切線此點有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存

15、在如不存在,則在此點處無切則在此點處無切線線;3) 曲線的切線曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點并不一定與曲線只有一個交點, 可以有多個可以有多個,甚至可以無窮多個甚至可以無窮多個.PQoxyy=f(x)割割線線切切線線T第36頁/共48頁例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點處的切線方程求曲線在某點處的切線方程的基

16、本步驟的基本步驟:求出求出P點的坐標點的坐標;利用切線斜率的定義求利用切線斜率的定義求 出切線的斜率出切線的斜率;利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程.第37頁/共48頁練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點點P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上一點上一點 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點點P處的切線的斜率等于處的切

17、線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.第38頁/共48頁第39頁/共48頁00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡稱也簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當時當時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當當x變化時變化時,便是便是x的的一個函數(shù)

18、一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:第40頁/共48頁如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù)第41頁/共48頁.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一個例子看一個例子:第42頁/共48頁下面把前面知識小結(jié)下面把前面知識小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學(xué)表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物學(xué)表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義認識這一概念的實質(zhì)，學(xué)會用事物在理意義認識這一概念的實質(zhì)，學(xué)會用事物在全過全過 程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。 b.要切實掌握求導(dǎo)數(shù)的三個步驟：要切實掌握求導(dǎo)數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增）求函數(shù)的增 量；量；（2）求平均變化率；）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。）取極限，得導(dǎo)數(shù)。第43頁/共48頁（3）函數(shù)）函數(shù)f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)