數(shù)學(xué)變化率與導(dǎo)數(shù)新人教A選修PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)變化率與導(dǎo)數(shù)新人教數(shù)學(xué)變化率與導(dǎo)數(shù)新人教A選修選修1.1. 變化率與導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)/共48頁(yè)第2頁(yè)/共48頁(yè)研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題 的快慢程度變化率問(wèn)題第3頁(yè)/共48頁(yè)第4頁(yè)/共48頁(yè)氣球的體積氣球的體積V(單位單位:L)與半徑與半徑r(單位單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是之間的函數(shù)關(guān)系是34( )3V rr如果將半徑如果將半徑r表示為體積表示為體積V的函數(shù)的函數(shù),那么那么33( )4Vr V第5頁(yè)/共48頁(yè)當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率膨脹率為當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率膨脹率為(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)

2、(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L顯然顯然問(wèn)題問(wèn)題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢?33( )4Vr V第6頁(yè)/共48頁(yè)2121()()r Vr VVV第7頁(yè)/共48頁(yè)請(qǐng)計(jì)算請(qǐng)計(jì)算00.52:ttv 和1時(shí)的平均速度hto第8頁(yè)/共48頁(yè)00.52:ttv 和1時(shí)的平均速度htoh(t

3、2+6.5t+10第9頁(yè)/共48頁(yè)121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x這里這里x看作是對(duì)于看作是對(duì)于x1的一個(gè)的一個(gè)“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同樣同樣f=y=f(x2)-f(x1)l上述問(wèn)題中的變化率可用式子上述問(wèn)題中的變化率可用式子 表表示示稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)從從x1到到x2的的平均變化率平均變化率第10頁(yè)/共48頁(yè)121)( )f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直線直線AB的斜率的斜率第11頁(yè)/共48頁(yè)D 2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度

4、。 2x0+x 第12頁(yè)/共48頁(yè)1.t2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=t +3,則在時(shí)間(3,3+ t)中相應(yīng)的平均速度為( )9A. 6+ t B. 6+ t+C.3+ t D.9+ t 2.物體按照物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)線運(yùn)動(dòng),求在求在4s附近的平均變化率附近的平均變化率.A253 t 第13頁(yè)/共48頁(yè)( )f xx121)()f xxx2f(x2.求函數(shù)的平均變化率的步驟求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量求函數(shù)的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)計(jì)算計(jì)算平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x第14頁(yè)/共48頁(yè)3322(1)13

5、3()3 3 0.1 0.13.31(1)xkxxxx 第15頁(yè)/共48頁(yè)第16頁(yè)/共48頁(yè)問(wèn)題問(wèn)題2 高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水 在在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度度h(h(單位：米單位：米) )與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間t t（單位：秒）（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系 h(th(t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí) 間段內(nèi)的平均速度粗略間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)? ?hto第17頁(yè)/共48頁(yè)65()(0)1049hh0hvt 6549t 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0這段時(shí)間里的平均速度，

6、計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0這段時(shí)間里的平均速度，思思考考下下面面問(wèn)問(wèn)題題；1 1）運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)員員在在這這段段時(shí)時(shí)間間里里是是靜靜止止的的嗎嗎？2 2）你你認(rèn)認(rèn)為為用用平平均均速速度度描描述述運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)員員的的狀狀態(tài)態(tài)有有什什么么問(wèn)問(wèn)題題嗎嗎？第18頁(yè)/共48頁(yè)又如何求又如何求瞬時(shí)速度呢瞬時(shí)速度呢?我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速瞬時(shí)速度度.第19頁(yè)/共48頁(yè)當(dāng)當(dāng)t趨近于趨近于0時(shí)時(shí),平均平均速度有什么變化趨勢(shì)速度有什么變化趨勢(shì)?第20頁(yè)/共48頁(yè)0limt(2)(2)13.1htht 那么那么, ,運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t t0 0的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度? ?0lim

7、 t00()( )h tth tt 局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。第21頁(yè)/共48頁(yè)從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是:第22頁(yè)/共48頁(yè)6fxx0lim6xyx第23頁(yè)/共48頁(yè)例例1 物體作自由落體運(yùn)動(dòng)物體作自由落體運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為：運(yùn)動(dòng)方程為： 其其中位中位 移單位是移單位是m,時(shí)間單位是時(shí)間單位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2,2.1上的平均

8、速度；上的平均速度； (2) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t=2(s)時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 第24頁(yè)/共48頁(yè)解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)將將 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的極極限限為為：從從而而平平均均速速度度當(dāng)當(dāng)_,

9、22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 第25頁(yè)/共48頁(yè)27fxxx關(guān)鍵是求出：關(guān)鍵是求出：它說(shuō)明在第它說(shuō)明在第2（h)附近，原油附近，原油溫度大約以溫度大約以3 0C/h的速度下降的速度下降；在第；在第6（h)附近，原油溫度附近，原油溫度大約以大約以5 0C/H的速度上升。的速度上升。027limxfxx再求出第26頁(yè)/共48頁(yè)21()2Emv200022253limlimlim(253)251110 253125( )22xxxsttvtttEmvJ 第27頁(yè)/共48頁(yè);svt00()( ).limlimxxss tts ttt1由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的

10、一般步驟：由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均變化率求平均變化率（3）求極限）求極限yx00()limxyfxx第28頁(yè)/共48頁(yè)x24x第29頁(yè)/共48頁(yè)第30頁(yè)/共48頁(yè)回顧回顧平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :割線的斜率割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx12

11、1)()f xxx2f(x第31頁(yè)/共48頁(yè)回顧回顧以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f f (x(x0 0) )或或y y|xx|xx0 0即即00000()()(),l

12、imlimxxfxfffxxxxx第32頁(yè)/共48頁(yè) 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.回回顧顧第33頁(yè)/共48頁(yè)2

13、7fxxx關(guān)鍵是求出：關(guān)鍵是求出：它說(shuō)明在第它說(shuō)明在第2（h)附近，原油附近，原油溫度大約以溫度大約以3 0C/h的速度下降的速度下降；在第；在第6（h)附近，原油溫度附近，原油溫度大約以大約以5 0C/H的速度上升。的速度上升。027limxfxx再求出第34頁(yè)/共48頁(yè)P(yáng)Qoxyy=f(x)割割線線切線切線T導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即即x0時(shí)時(shí),割線割線PQ如果有一個(gè)極限位置如果有一個(gè)極限位置PT.則我則我們把直線們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切線切線.第35頁(yè)/共48頁(yè) 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那那么當(dāng)

14、么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線PQ的的斜率斜率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線這個(gè)概念這個(gè)概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).要注意要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線曲線在某點(diǎn)處的切線: 1) 與該點(diǎn)的位置有關(guān)與該點(diǎn)的位置有關(guān); 要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限如有極限,則在則在 此點(diǎn)有切線此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存

15、在如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切則在此點(diǎn)處無(wú)切線線;3) 曲線的切線曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn), 可以有多個(gè)可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè)甚至可以無(wú)窮多個(gè).PQoxyy=f(x)割割線線切切線線T第36頁(yè)/共48頁(yè)例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基

16、本步驟的基本步驟:求出求出P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo);利用切線斜率的定義求利用切線斜率的定義求 出切線的斜率出切線的斜率;利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程.第37頁(yè)/共48頁(yè)練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上一點(diǎn)上一點(diǎn) yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)P處的切線的斜率等于處的切

17、線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.第38頁(yè)/共48頁(yè)第39頁(yè)/共48頁(yè)00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),f(x0) 是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí),便是便是x的的一個(gè)函數(shù)

18、一個(gè)函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:第40頁(yè)/共48頁(yè)如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù)第41頁(yè)/共48頁(yè).yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一個(gè)例子看一個(gè)例子:第42頁(yè)/共48頁(yè)下面把前面知識(shí)小結(jié)下面把前面知識(shí)小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具有相同的數(shù)導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在理意義認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過(guò)全過(guò) 程中的發(fā)展變化規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。程中的發(fā)展變化規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。 b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增）求函數(shù)的增 量；量；（2）求平均變化率；）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。）取極限，得導(dǎo)數(shù)。第43頁(yè)/共48頁(yè)（3）函數(shù)）函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)