生活中的優(yōu)化問題舉例70171

1、1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（一）教材分析本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)選修2-2 第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例，是在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用后體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)可知，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具這一節(jié)利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題。教材首先給出背景性的問題，在生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，逐步引入到數(shù)學(xué)問題中，按照學(xué)生的思維過程，逐步展開問題，解決問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程。培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。課時(shí)分配本節(jié)

2、內(nèi)容用1課時(shí)的時(shí)間完成，通過兩個(gè)例題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。教學(xué)目標(biāo)：重點(diǎn):通過使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。難點(diǎn)：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，數(shù)學(xué)建模。知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大（?。┲?，解決一些生活中的優(yōu)化問題。能力點(diǎn)：主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，曾強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。教育點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題。自主探究點(diǎn)：分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決。

3、考試點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大（?。┲?，解決一些生活中的優(yōu)化問題。易錯(cuò)易混點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域。拓展點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案教具準(zhǔn)備多媒體課件和三角板課堂模式學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題。二、探究新知探究（一）：海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)【背景材料】學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳.現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼

4、的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm.如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸才能使四周空白面積最??？思考1：版心面積為定值128dm2，海報(bào)的面積是否也為定值？思考2：設(shè)版心的高為x，則海報(bào)的面積為多少？海報(bào)四周空白的面積為多少？思考3：設(shè)海報(bào)四周空白的面積為S(x)，則S(x)的最簡(jiǎn)表達(dá)式如何？其定義域是什么？思考4：海報(bào)四周空白的面積S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？ 思考5：如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最??？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬 dm，此時(shí)四周空白面積為列表討論如下：x(0，16)16(16，+)S (x)0+S (x)減函數(shù)極小

5、值增函數(shù)S(x)在(0，+)上只有一個(gè)極值點(diǎn)由上表可知，當(dāng)x=16，即當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，S(x)最小答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周的空白面積最小。探究（二）：飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響【背景材料】下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價(jià)格如下表所示，則（1）對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對(duì)制造商而言，哪一種的利潤(rùn)更大？規(guī)格（L）21.250.6價(jià)格（元）5.14.52.5例2 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶

6、子的最大半徑為6cm.則每瓶飲料的利潤(rùn)何時(shí)最大，何時(shí)最小呢？思考1：1mL飲料所占的體積是多少cm3？半徑為r的瓶子最多能裝多少mL的飲料？思考2：每瓶滿裝的飲料的利潤(rùn)(單位：分)是多少？思考3：設(shè)每瓶滿裝飲料的利潤(rùn)為f(r)，則函數(shù)f(r)的定義域是什么？ 思考4：函數(shù)是否存在最值？若存在，如何求其最值？ 思考5：函數(shù)的大致圖象是什么？據(jù)圖象分析，瓶子半徑的大小對(duì)制造商的利潤(rùn)產(chǎn)生什么影響？當(dāng)0r3時(shí)，利潤(rùn)為負(fù)值；-O X3-Y2當(dāng)r3時(shí)，利潤(rùn)為零；當(dāng)r3時(shí)，利潤(rùn)為正值，并隨著瓶子半徑的增大利潤(rùn)也相應(yīng)增大.思考6：市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些（如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價(jià)

7、格要高），在數(shù)學(xué)上有什么道理？ （將包裝盒捏成球狀，因?yàn)樾“b的半徑小，其利潤(rùn)低，生產(chǎn)商就提高銷售價(jià)格來(lái)平衡與大包裝的利潤(rùn). ）解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是令 解得 （舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑時(shí)， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低。（1） 半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值。（2） 半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大。換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時(shí)，即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)才為正值當(dāng)時(shí)，為

8、減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小。三、理解新知導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具。利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案四課堂練習(xí)1用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積（高為1.2 m，最大容積）2 某汽車制造廠有