高等數(shù)學(xué)8.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念和性質(zhì)ppt課件

1、8.18.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形邊形, , 這個(gè)和逼近于圓的面積這個(gè)和逼近于圓的面積 A .0a1a2ana設(shè)設(shè) a0 表表示示,時(shí)n內(nèi)接正三角形面積內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)表示邊數(shù)添加時(shí)添加的面積添加時(shí)添加的面積, 那么圓內(nèi)接正那么圓內(nèi)接正邊形面積為n23即即naaaaA210引例引例2.小球從小球從 1 米高處自在落下米高處自在落下, 每次跳起的高度減每次跳起的高度減少一半少一半, 問小球

2、能否會(huì)在某時(shí)辰停頓運(yùn)動(dòng)問小球能否會(huì)在某時(shí)辰停頓運(yùn)動(dòng)? 闡明道理闡明道理.由自在落體運(yùn)動(dòng)方程由自在落體運(yùn)動(dòng)方程2g21ts 知知g2st 那么小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間那么小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為為1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2( s )設(shè)設(shè) tk 表示第表示第 k 次小球落地的時(shí)間次小球落地的時(shí)間, 定義：定義：給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依將各項(xiàng)依,1nnu即即1nnunuuuu321稱上式為無窮級(jí)數(shù)，稱上式為無窮級(jí)數(shù)， 其中第其中第 n 項(xiàng)項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的普通項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的普通項(xiàng),級(jí)數(shù)的前級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和nkknuS1稱為級(jí)數(shù)的部分和稱為級(jí)數(shù)的部分

3、和.nuuuu321次相加次相加, 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,那么稱無窮級(jí)那么稱無窮級(jí)數(shù)數(shù)并稱并稱 S 為級(jí)數(shù)的和為級(jí)數(shù)的和, 記作記作1nnuS當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值稱差值21nnnnuuSSr為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,lim不存在若nnS那么稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)那么稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散散 .顯然顯然0limnnr例例1. 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù)又稱幾何級(jí)數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1q12nnqaqaqaaSqqaan1時(shí)，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而從而qannS

4、1lim因此級(jí)數(shù)收斂因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1 qa,1時(shí)當(dāng)q,limnnq由于從而從而,limnnS那么部分那么部分和和因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為其和為2). 假假設(shè)設(shè),1q,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)當(dāng)qaaaaan 1) 1(因此因此nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而nnSlim綜合綜合 1)、2)可知可知,1q時(shí)時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂等比級(jí)數(shù)收斂 ;1q時(shí)時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .那那么么,級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為,a,0不存在不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散.例例2. 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性判別以下級(jí)數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1

5、(11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧:利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消 求求和和23ln34lnnn1ln(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) (2) 收斂收斂, 其和為其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消 求和求和 例例3.判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)2211lnnn的斂散性的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln

6、3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為其和為.2ln二、級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、級(jí)數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS那么必有那么必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見可見: 假設(shè)級(jí)數(shù)的普通項(xiàng)不趨于假設(shè)級(jí)數(shù)的普通項(xiàng)不趨于0 , 那么級(jí)數(shù)必發(fā)那么級(jí)數(shù)必發(fā)散散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其普通項(xiàng)為其普通項(xiàng)為1) 1(1nnunn不趨于不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)

7、散.nun,時(shí)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)2. 假設(shè)級(jí)假設(shè)級(jí)數(shù)數(shù)1nnu收斂于收斂于 S ,1nnuS那么各那么各項(xiàng)項(xiàng)乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)所得級(jí)數(shù)1nnuc也收斂也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么那么nkknuc1,nScnnlimSc這闡明這闡明1nnuc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . nnSclim闡明闡明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即即其和為其和為 c S .性質(zhì)性質(zhì)3. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS1nnv那么級(jí)那么級(jí)數(shù)數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv那

8、那么么)(1knkknvu nnS)(nS這闡明級(jí)數(shù)這闡明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S闡明闡明:(2) 假設(shè)兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散假設(shè)兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 那么那么)(1nnnvu 必發(fā)散必發(fā)散 . 但假設(shè)二級(jí)數(shù)都發(fā)散但假設(shè)二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)性質(zhì)2 闡明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減闡明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證用反證法可證)性質(zhì)性質(zhì)4. 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性.證

9、證: 將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)1nnu的前的前 k 項(xiàng)去掉項(xiàng)去掉,1nnku的部分和為的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時(shí)由于n數(shù)斂散性一樣數(shù)斂散性一樣. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為其和的關(guān)系為.kSS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限情況一樣極限情況一樣, 故新舊兩級(jí)故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)所得新級(jí)數(shù)性質(zhì)性質(zhì)5. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)數(shù)的和的和.證證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS假設(shè)按某一規(guī)律加括假設(shè)按某一規(guī)律加括弧弧,)()(54321uuuuu那么新級(jí)數(shù)的部分和序列那么新級(jí)數(shù)的部分和

10、序列 ), 2 , 1(mm為原級(jí)數(shù)部分和為原級(jí)數(shù)部分和序列序列 ),2,1(nSn的一個(gè)子序列的一個(gè)子序列,nnmmS limlimS推論推論: 假設(shè)加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散假設(shè)加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 那么原級(jí)數(shù)必那么原級(jí)數(shù)必發(fā)散發(fā)散.留意留意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但但1111發(fā)散發(fā)散.因此必有因此必有例如，例如，用反證法可證用反證法可證例如例如討論調(diào)和級(jí)數(shù)斂散性討論調(diào)和級(jí)數(shù)斂散性nnn13121111雖然雖然，01limlimnunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散但此級(jí)數(shù)發(fā)散 . .現(xiàn)實(shí)上現(xiàn)實(shí)上 , , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和

11、級(jí)數(shù)收斂于 S , S , 那么那么0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾! ! 所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真 . .21例例4.判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性:141141131131121121解解: 思索加括號(hào)后的級(jí)數(shù)思索加括號(hào)后的級(jí)數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nn121例例5. 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性判別以下級(jí)數(shù)的斂散性, 假設(shè)收斂求其假設(shè)收斂求其和和:;231)1(123 nnnn.212)2(1 nnn因因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(n)2)(1(1nnn(1) 123231)2(nnnnnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)展拆項(xiàng)相消進(jìn)展拆項(xiàng)相消,41limnnS這闡明原級(jí)數(shù)收斂這闡明原級(jí)數(shù)收斂 ,.41其和為其和為