理論力學(xué)(金尚年編著)教案設(shè)計

1、實用文案理論力學(xué)教案課程名稱理論力學(xué)任課教師 曾奇軍所在系（院） 物理電子工程學(xué)院任課班級物理學(xué)本科標(biāo)準信陽師范學(xué)院理論力學(xué)課程基本信息（一）課程名稱：理論力學(xué)（二）學(xué)時學(xué)分：每周4學(xué)時，學(xué)分4（三）予修課程：力學(xué)、高等數(shù)學(xué)（四）使用教材：金尚年、馬永力編著理論力學(xué)，第二版.，北京：高等教育出版社, 2002年7月，面向21世紀課程教材。（五）教學(xué)參考書：1 .周衍柏 理論力學(xué)教程（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。2 .郭士望 理論力學(xué)上、下冊，北京：高等教育出版社，1982。3 .梁昆森 力學(xué)上、下冊，北京：人民教育出版社，1979。（六）教學(xué)方法：課堂講授，啟發(fā)式教學(xué)（七）教學(xué)

2、手段：傳統(tǒng)講授與多媒體教學(xué)相結(jié)合（八）考核方式：閉卷考試占總成績 70% ,平時作業(yè)成績占30%（九）學(xué)生創(chuàng)新精神與實踐能力的培養(yǎng)方法： 在課程講授過程中注意采用啟發(fā)式教學(xué)手段, 將基本的概念和規(guī)律講清、講透，而將一些具有推廣性的問題留給學(xué)生思考，以此來提高 學(xué)生分析問題、解決問題的能力。并且在課堂講授時多聯(lián)系實際的力學(xué)問題，以此來提高 學(xué)生解決實際問題的能力。（十）其他要求：每堂課后布置適量的課后作業(yè)并定期批改、檢查和給出成績，這部分成 標(biāo)準績將占期末總成績的30%緒論一：理論力學(xué)課程的內(nèi)容：該課程是以牛頓力學(xué)和分析力學(xué)為主要內(nèi)容的力學(xué)理論， 是理論物理的第一門課程。是從物理學(xué)的基本經(jīng)驗規(guī)律

3、出發(fā)，借助于微積分等數(shù)學(xué)工具， 推導(dǎo)出關(guān)于物體機械運動時所滿足的整體規(guī)律的一門課程。二：理論力學(xué)與力學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系1 .內(nèi)容：理論力學(xué)包括牛頓力學(xué)和分析力學(xué)，是 力學(xué)課程的深入和提高；而力學(xué) 課程僅講授牛頓力學(xué)，且研究的深度不及理論力學(xué)。2 .研究手段：力學(xué)是從物理現(xiàn)象出發(fā)，通過歸納總結(jié)出物質(zhì)運動的規(guī)律。理論力學(xué)是從經(jīng)驗規(guī)律出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)工具，推導(dǎo)出物質(zhì)運動所滿足的規(guī)律，并通過實踐來檢驗該規(guī)律的真?zhèn)?，著重培養(yǎng)學(xué)生理性思維的能力。三：本教材的特點：將牛頓力學(xué)和分析力學(xué)穿插在一起講解，可對比二者在處理力學(xué)問題時各自的優(yōu)缺點，并適當(dāng)增加了分析力學(xué)在這門課中的比重。第一章牛頓動力學(xué)方程教學(xué)目的和基本

4、要求：要求學(xué)生了解牛頓運動定律的歷史地位，掌握牛頓第二定律在常用 坐標(biāo)系中的表達式和使用方法；熟練掌握運用運動微分方程求解并討論力學(xué)問題的方法； 理解質(zhì)點系、質(zhì)心、動量、角動量和能量的概念；熟練掌握三個基本定理、三個守恒定律 的內(nèi)容和它們的適用條件，以及應(yīng)用它們求解問題的方法步驟；了解研究變質(zhì)量物體運動 的指導(dǎo)思想和處理方法。標(biāo)準實用文案教學(xué)重點：熟練掌握牛頓運動定律，動量、角動量、能量定理以及運用這些定理解決力學(xué)問題的方法。教學(xué)難點：如何講清牛頓第二定律、三個守恒定律在具體力學(xué)問題中的應(yīng)用方法。§1.1牛頓的原理奠定了經(jīng)典力學(xué)的理論基礎(chǔ)一:經(jīng)典力學(xué)的理論基礎(chǔ)一一牛頓于 1687年發(fā)

5、表的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，簡稱原 理，是牛頓在總結(jié)伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中 牛頓提出了著名的力學(xué)三定律和萬有引力定律，并闡述了關(guān)于時間、空間的基本概念和區(qū) 別相對運動和絕對運動的思想。在物理學(xué)中將以原理為依據(jù)的力學(xué)稱為經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)。二：經(jīng)典力學(xué)的物質(zhì)觀、時空觀及運動觀。1 .物質(zhì)觀、時空觀及運動觀在力學(xué)中的重要性。力學(xué)研究的是物體的空間位形隨時間的變化規(guī)律，因此要建立力學(xué)的理論體系首先就要 對什么是物質(zhì)、時間、空間和運動有科學(xué)的認識和明確的規(guī)定。2 .物質(zhì)觀、時空觀及運動觀的發(fā)展歷史：亞里士多德，笛卡爾等。3 .牛頓力學(xué)的物質(zhì)觀、時空觀及運動觀。(1)物

6、質(zhì)觀：以古希臘原子論為基礎(chǔ)，認為世界是由原子構(gòu)成，原子間的作用力構(gòu)成萬物的運動。(2)時空觀：“絕對的、真正的、數(shù)學(xué)的時間自身在流逝著，而且由于其本性而在均勻地， 與其他任何事物無關(guān)地流逝著”，即時間是一維的、均勻的、無限的，與空間和物質(zhì)無關(guān)。牛頓還認為在宇宙中存在著絕對的、三維的、均勻的和各向同性的絕對空間。在絕對空間中可取這樣的坐標(biāo)系：原點靜止于絕對空間中，坐標(biāo)軸的方向一經(jīng)選定就不再改變，那么這個坐標(biāo)系就代表了絕對空間。物體相對于該坐標(biāo)系的運動即為絕對運動。一切相對于絕對空間做勻速直線運動的參考系慣性參考系。(3)運動觀：牛頓第三定律和力學(xué)相對性原理，它們可以看成是力學(xué)的最高原理。另外還包

7、括萬有引力定律。此外在原理一書中牛頓還明確定義了動力學(xué)理論所必需的一系列完整的輔助概念，發(fā)明了微積分，將力學(xué)原理與數(shù)學(xué)結(jié)合起來，使力學(xué)成為了嚴密的科學(xué)理論。三：牛頓運動三定律1 :運動三定律：第一定律：一個物體，若沒有外力影響使其改變狀態(tài)，則該物體仍保持其原來靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)。第二定律：運動的變化，與所加的力成正比，其方向為力作用的方向。第三定律：作用包與其反作用相等，方向則相反。其中最重要的是第二定律，其原始的數(shù)學(xué)表達式為 由mv) F(1.1)dt如果將物體質(zhì)量m看成常量，上式可改寫為 m業(yè) F或mR F(1.2)dtdt2:力學(xué)相對性原理：在一個系統(tǒng)內(nèi)部的任何力學(xué)實驗，都不能決

8、定這一系統(tǒng)是靜止的還是在作勻速直線運動。意義：根據(jù)這一原理，相對于絕對空間做勻速直線運動或靜止的參考系力學(xué)規(guī)律完全相同，這樣將牛頓定律的適用范圍從絕對空間推廣到慣性系。因牛頓設(shè)想的絕對空間實際上是不存在的，這樣就為牛頓力學(xué)的使用找到了一個理論依據(jù)。3:伽利略變換。設(shè)參考系 S和S'均為慣性系且S'相對于S以勻速u運動，那么這兩個參考系之間的時空坐標(biāo)的變換關(guān)系為：r r utt t(1.3)將上式代入（1.2）式可見牛頓第二定律在伽利略變換下保持不變，因此力學(xué)相對性原理又 可表述為：力學(xué)定律對于伽利略變換保持不變。四：牛頓運動三定律的局限性：適用于低速宏觀物體。五：牛頓的認識論、

9、方法論簡介：簡單性，因果性，同一性和真理性。簡單性：科學(xué)上正確的東西都是簡單的，如果同一個問題可用簡繁不同的方法得到相同的 結(jié)論，應(yīng)該選用簡單的方法。因果性（決定論）：就是由一定的前因按照自然規(guī)律必然可確定唯一的結(jié)果，反之由一定 結(jié)果必然可確定唯一的原因。這在量子力學(xué)出現(xiàn)之前一直是物理學(xué)最牢固的一個信條。統(tǒng)一性：指原理中所闡述的定律和物質(zhì)觀等在沒有證明它的局限性和錯誤性之前應(yīng)該 認為它對整個自然界都是普遍適用的。真理性：就是承認的相對性和絕對性。六：本節(jié)重點：了解力學(xué)的發(fā)展歷史，掌握牛頓運動三定律。§1.2牛頓第二定律在常用坐標(biāo)系中的表達式牛頓運動定律的核心是第二定律，本節(jié)將就其數(shù)學(xué)

10、表達式做深入探討。一：牛頓第二定律：d(mv) F(2.1)dt在經(jīng)典力學(xué)中物體的m為常數(shù)，牛頓定律變?yōu)椋簃v F,或m匕 F。 dtdt一般情況下F為坐標(biāo)、速度和時間的函數(shù)，即F F(r,r,t) (2.2),所以牛頓第二定律dv可進一步表小為：mr F(r,r,t)或 m F(r,r,t)(2.3)dt此式為二階微分方程，在具體求解力學(xué)問題時，需要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)量方程。根據(jù)坐標(biāo)系的 不同，牛頓第二定律有以下表達式二：牛頓第二定律在常用坐標(biāo)系中的表達式：1 .直角坐標(biāo)系：空間任一點P位置可用x、v、z三個參數(shù)來表示，用i、j、k分別表示沿x軸、y軸、z軸的單位矢量，則空間任一點P的位置矢量可表

11、示為：r xi yj zk (2.4)進一步可得 v r xi yj zk 及 a r xi yj zk(2.5)mx Fx(x,y,z; x,y,z,t)牛頓第二定律的可表示為：my Fy( x, y,z; x,y,z,t)(2.6)mz Fz(x,y,z;x,y,z,t)2 .平面極坐標(biāo)系：平面上任一點 P的位置可用參數(shù)r、8來表示。er和ee分別表示矢徑r增加方向和極角8增加方向的單位矢量(如圖1.1),它們的方向隨著P點的運動而改變，則位矢rrer(2.9)由圖1.1可將er和e e化為i、j的函數(shù)：ercos i sin j , esin i cos j ,進一步得erder d d

12、 dte (2.7),A、e，,r < F/ 00所,1標(biāo)準de dd dter(2.8)2、接著可求出 v r rer r e (2.10), a r (r r )er (r 2r )e (2.11),m( r r 2)Fr牛頓第二定律的可表示為：/ c 、 L(2.12)m(r 2r ) F3.球坐標(biāo)：空間任一點P的位置可用參數(shù)r、8、小來表 示，er、e e、e分別表示r、8、小三個參數(shù)增加方向 的單位矢量（如圖1.2）,它們的方向隨著P點的運動而改 變。將er 、e e和e小化為i、j、k的函數(shù)，如 er sin cos i sin sin j cos k ,e cos cos

13、i cossin j sin kee- e sin icosj ,進一步可求出ere sin eeer cos eesiner cos，結(jié)合rerer ,v rrer r er sin e 可得(2.21 )圖1,3一/22 . 2m( r r r sin ) Fr2牛頓第二定律的可表小為:m(r 2r r sin cos ) Fm( r sin 2r sin 2r cos ) F4.柱坐標(biāo)：空間任一點P的位置可用參數(shù)R、小、z來表示，eR、eh k分別表示相應(yīng)的單位矢量（如圖1.3） 。 eR、e的方向隨著P點的運動而改變，而k的大小方向均不變，參考平面極坐標(biāo)可得：r ReR zk（2.23

14、）彳v r reR r e zk（2.24）牛頓第二定律的表達式為:2 一m(R R ) Fr(2.25)m(R 2R ) F mz Fz5.自然坐標(biāo)和內(nèi)稟方程：以上坐標(biāo)系中其單位矢量或者與運動無關(guān)，或者僅與質(zhì)點的位置 有關(guān)，而與質(zhì)點的速度(方向)均無關(guān)。還有一種自然坐標(biāo)，其單位矢量的方向由任一時y e'nV £刻速度的方向決定，相應(yīng)的牛頓動力學(xué)方程被稱為本性方程或內(nèi)稟方程。(1)平面自然坐標(biāo)：用et、en分別表示質(zhì)點運動軌道的切線和法線方向的單位矢量(如圖1.4),即et與任時刻速度V同向，顯然et、en二者為變矢量,有 v vet(2.26)圖L4另由detd d ds

15、v p一及dt ds dtdetdten可得dva 一etdt2 v-en(2.(27)dv m進一步可得牛頓第二定律的表達式為：d2tvm一Ft(2.(28)FnZi(2)空間自然坐標(biāo):基本概念：密切面：PP1與PP2所構(gòu)成的極限平面。et：在密切面內(nèi)沿軌道曲線切線方向的單位矢量，其方Plp Pa工向沿質(zhì)點運動方向。en：在密切面內(nèi)與et垂直的單位矢量，其方向指向曲線圖L5的凹側(cè)。法平面主法線：與en同向的法線。eb：由et Xen決定的單主法線 密切平面次法線直切平面en盤一工區(qū)切線 圖1.6位矢量。次法線：與eb同向的法線。法平面：由en、eb構(gòu)成的平面。直切平面：由et、en構(gòu)成的平面

16、。用et、en、 eb分別表示質(zhì)點運動軌道的切線、主法線和次法線方向的單位矢量，et與任一時刻速度V同向，顯然et、en、eb三者均為變矢量。類似于平面自然坐標(biāo)，利用 v vebde1 -en,a dvet d備得牛頓第二定律的表達式dtdtdv匚mFtdt2為：m Fn(2.29)Fb 0(3)適用范圍：適用于運動軌道已知的質(zhì)點運動，或用于介質(zhì)阻力不能忽略的運動三：本節(jié)重點：掌握直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、平面曲線自然坐標(biāo)系中牛頓第二定律的分量表達式。§1.3質(zhì)點系牛頓運動定律是針對質(zhì)點提出的，對于不能看成質(zhì)點的力學(xué)體系，則必須重新分析討論一：質(zhì)點系：(1)定義：由兩個或兩

17、個以上相互聯(lián)系的質(zhì)點所組成的力學(xué)體系為質(zhì)點系，質(zhì)點間的聯(lián)系體現(xiàn)在質(zhì)點間的相互作用對發(fā)生作用的每個質(zhì)點的運動均有影響。(2)實例：A:太陽一一九大行星卜B: m、m'通過輕繩聯(lián)系在一起，如圖1.5。"o' -前者是九個單質(zhì)點的力學(xué)問題，后者是兩質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系。P由甑,5實用文案(3)結(jié)論：A:不能以質(zhì)點個數(shù)的多少來推斷是否為質(zhì)點系，而應(yīng)該看質(zhì)點之間的作用力是否對發(fā)生作用的質(zhì)點的運動均有影響。B:內(nèi)力和外力的區(qū)分。二：質(zhì)點系的運動方程1 .一般方法：設(shè)有n個質(zhì)點構(gòu)成一質(zhì)點系，由牛頓第二定律可得：mri Fi(ri,ri,t), i=1 , 2n(3.1),共 3n 個標(biāo)

18、量方程。若質(zhì)點系受內(nèi)部或外界的約束共 k個，則Fi中會含由k個未知的約束力Fni,則可得k個約束方程：fj(r,r,t) 0, j=1 , 2k(3.2)聯(lián)立以上共3n+k個方程可求出3n+k個未知數(shù)。2 .一般方法的困難性和解決方法：以上方法需求解的方程個數(shù)太多，可借助于動量、角動量、能量定理簡化求解過程。:本節(jié)重點：正確理解質(zhì)點系的概念和力學(xué)問題的處理方法。§1.4動量定理一：動量及動量定理1 .質(zhì)點：定義動量為P=m v,由牛頓第二定律可得動量定理為 dp F ,若F=0,則質(zhì)點 dt的動量P=C,即動量守恒。注：雖然這里由牛頓第二定律推出動量定理，但后者的適用范圍超過前者，所

19、以有些場合將牛頓第二定律看成動量定理的推論。2.質(zhì)點系:(1)動量：定義質(zhì)點系的動量為PSrmM(2)動量定理：對每一個質(zhì)點應(yīng)用動量定理可得:詈 ke-n.(4.3)n其中Fi表示質(zhì)點所受的合外力，F(xiàn)i表示質(zhì)點所受的內(nèi)力的合力，且Fi Fji,將(4.3)式共n個方程相加在一起，可得:dPi(e)dT iFi(i)考慮到FjiFj,所以上式中 Fi(i)dps f (e) f (e) dt i(4.4)n nFji 0 ,這樣(4.4)可簡化為 i j i(4.6)上式即為質(zhì)點系的動量定理，它表示質(zhì)點系動量的變化率等于體系所受的的合外力，與內(nèi) 力無關(guān)。二：質(zhì)點系的動量守恒：在動量定理(4.6)

20、式中如果F(e) 0 ,則可得PS C ,即質(zhì)點系的總動量守恒。當(dāng)F；e)0得Psx C,即動量在某一方向上(如x方向)的分量守恒，如發(fā)射炮彈的問題。當(dāng)F(e) 0時，則可得PS C ,如碰撞問題。三：質(zhì)心運動定理：1 .質(zhì)心：定義質(zhì)心的位矢rc為建一也一口(4.9 )m ms則有 PsmiV d( m'ri/dt msVC(4.10)即質(zhì)點系的動量可看成將質(zhì)量集中在質(zhì)心上并以質(zhì)心的速度運動的質(zhì)點所具有的動量 標(biāo)準2 .質(zhì)心運動定理：將PS msVc代入動量定理dps- F (e)可得msdvc F或m,% F(4.11)dtdt上式即為質(zhì)心運動定理，它說明質(zhì)心的運動就象一個質(zhì)點的運動

21、一樣，此質(zhì)點的質(zhì)量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量，作用在此質(zhì)點上的力等于質(zhì)點系所受的合外力。四：本節(jié)重點：掌握質(zhì)點系的動量定理、動量守恒定律和質(zhì)心運動定理。3 1.5角動量定理一：.質(zhì)點的角動量和角動量定理1 .角動量定義質(zhì)點的角動量(動量矩)L為位矢r與動量p mv的矢量積，即L r mv (5.1)2 .角動量定理：dL r F M ,即質(zhì)點角動量對時間的變化率等于質(zhì)點所受的力矩。 dt推導(dǎo)：由角動量的定義式L=rxp,兩邊對時間求導(dǎo)可得：dL dLpr dp r mv r F,因r mv 0,又定義力矩M r F ,最終可得角動 dt dtdt量定理 dL r F M(5.2)dt3 .角動量守恒：

22、如果質(zhì)點所受的力矩 M=0,則可得L=C,即如果質(zhì)點所受的力矩為零，則其角動量守恒。注：M、 L必須是針對坐標(biāo)原點或慣性系的同一點而言。4 .應(yīng)用：當(dāng)質(zhì)點受有心力的作用時，易得 F Fer, M r F 0,則有2L rer (mrer mr e ) mr k C實用文案:.質(zhì)點系的角動量和角動量定理1 .角動量：定義質(zhì)點系的角動量 L為各質(zhì)點角動量Li的矢量和，即L Lr i EM。2 .角動量定理:dLdt(e)(e)(e)riFiMi M,即質(zhì)點系角動量對時間的變化率等于質(zhì)點系所受的外標(biāo)準力矩之和，與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)。推導(dǎo)：由動量的定義式L Lirimvi ，兩邊對時間求導(dǎo)可得:dLdrimi

23、vridtd (miv)dtmairiFi(e)(i)r i Fi ，考慮到上式中 riFi(i) riF;rii 1 j iF;0,最終可得角動量定理dLriFi(e)dtM，(5.5)3.角動量守恒：同質(zhì)點的角動量守恒一致，當(dāng)Mj0時，有L C ,即角動量守恒。以上討論的均是相對于慣性系的坐標(biāo)原點而胃，但在處理實際的力學(xué)問題時，往往選取 相對于某一點P的L、M比選取相對于坐標(biāo)原點的更方便，下面我們就專門討論這種情況。4.相對于慣性系中任一點P的角動量定理定義 LprimM , M prF(e)'i1 i ，參考圖1.6利用ririEM(rirp)LrpmvirimMrPPs Lp同

24、理可得M(e)M P rPF (e)將代入角動量定理fi泉 M(e)可得:0-> P fPrpmsdvcdtPsdLpdtM (e)M p rp F (e)ffiL9dLpdtvpPsdL pM P或dtv p msvcM p(5.6)dLc討論：A:當(dāng)Vp=0時，P為慣性系中的定點，角動量的形式不變， MpdtdLnB: Vp刈，但Vp與Vc同向，角動量的形式不變， 一p M po dtC： rprc,角動量的形式不變，dLC Meodt:質(zhì)心系中的角動量定理/ 4SL101 .質(zhì)心系：以質(zhì)心為坐標(biāo)原點且相對于慣性系做平動的參考系為質(zhì)心系，其坐標(biāo)軸始終平行與慣性系 中相應(yīng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸

25、，多為理論工作者使用。2 .實驗室系：以慣性系為運動參考的參考系，以前我們所討論的問題均是在實驗室系中討論的，多為 實驗工作者使用。3 .質(zhì)心系中的角動量定理：首先定義r,v,L,M分別代表質(zhì)心系中的位置矢量，速度，角動量，力矩，且有v 出 dr（嚴格來說應(yīng)為v ，詳見第五章），L mw, Mri虧Mdt注：L與Lc是不同的兩概念，Le ri甲v, w與w是不同的速度，前者是質(zhì)點在慣性系中的速度，而后者是質(zhì)點在質(zhì)心系中的速度。但是可以證明L'、 Le二者相等。證明：因也也dc所以有vi Vc（5.10）dt 出 出Le r imMr imiMrimMLmjive（5.11 ）miri

26、0,所以Le L ,接著將也 Mc中的L、Mc用L , M替換掉，dtdL最終可得 M 。dt四 本節(jié)重點：重點掌握慣性系中的角動量定理。§1.6能量定理：質(zhì)點的動能定理1.質(zhì)點的動能：T-mv2 或 T21 2mv2(6.1)2.質(zhì)點的動能定理:dT dW F dr(6.2),即作用在質(zhì)點上的力F所做的元功等于質(zhì)點動能的增量。,1證明：由T mv22等式兩邊求微分可得dTmvdvmdrdvdtm更drdtmadrdT F dr2一段過程：T 1 dT2F dr i：質(zhì)點系的動能定理1 .質(zhì)點系的動能:質(zhì)點系的動能為所有質(zhì)點的動能之和，即Ti1 2一 mv21 2 mv, 2(6.3

27、)2.質(zhì)點系的動能定理：dTFi(e) dr,Fi(i)dn12將動能表達式T-mvi兩邊取微分dTdTmi 型 dvidtdMm dridtma, dri(e)(i).(6.4)dTFidriFidri即質(zhì)點系動能的增量等于外力和內(nèi)力所做的元功之和, 注：動能的增量與體系的內(nèi)力有關(guān)，這一點與質(zhì)點系的動量、角動量定理有明顯的區(qū)別。以上我們只證明了動能定理對慣性系成立，對于質(zhì)心系是否成立需證明。3.寇尼希定理質(zhì)點系的動能等于質(zhì)點系全部質(zhì)量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心的速度運動的動能，再加上各質(zhì)點相對于質(zhì)心系運動的動能，即T 1 msVc2 T (6.5),其中T 1miV； 1mv； (6.6)1 212

28、12證明：由 T-mV,及 ViViVc可得 T一mM-mMm/M2 22_12T msVc T ,其中用到甲vm Vc mw 0。24.質(zhì)心系中的動能定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心系的動能的增量等于作用于質(zhì)點系的外力和內(nèi)力在質(zhì)心系中所做的元功之和，即dTFidnFidr,(6.7)r 12由T -msVc T兩邊取微分可得 dT msVcdVc dT msacdrc dT2另由 dTFidr,彳)dr,Fi(e)(ddr)Fi(ddr)dTFi drc(Fi(i) Fi)dn聯(lián)立且由質(zhì)心運動定理 ms%He),可得dTFi(e) dq 虧dq三：保守力和勢能2在動能定理中有W1 F dr ,因F F

29、(r,r,t),因此W一般很難直接求出，但可以證明當(dāng)F為某一類特殊的力時,W可方便的求出。1.保守力：當(dāng)F為某一位置函數(shù)V(r)的梯度即F(r) V(r)時，該F (r)被稱為保守力,此時F(r)做功與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。證明：由F(r) V(r) (i j k),將上式代入dW F dr可得 x y zVVVVVVdW (i j k) (dxi dyj dzk)( dx dy dz) dV(r),xyzxyzr即 dW dV(r),兩邊積分可得 W F dr V(r0) V(r)(6.11)說明：可見保守力彳功只與始末位置 入、r有關(guān)，與運動的具體路徑無關(guān)?？勺C明保守力F滿足 F(r) 0o

30、常見的保守力：重力、彈力、萬有引力、庫侖力等。2 .勢能：當(dāng)某位置函數(shù)V(r)滿足F(r) V(r) (6.9),該函數(shù)V(r)被稱為勢能。它由發(fā) 生相互作用的物體共有，且勢能為相對量，當(dāng)給出它的具體數(shù)值時必須指出勢能的參考零 點。2由 dW Fdr dV(r),可得 V(r) 1 F dr V(r0),3 .機械能守恒：定義動能T與勢能V之和為機械能E,當(dāng)體系僅受保守力作用時，可證明 此時機械能守恒。證明：由dT F dr dV d(T V) 0 T V E C (6.13),即機械能守恒。4 .質(zhì)點系勢能：因勢能為標(biāo)量，所以質(zhì)點系的勢能為所有質(zhì)點的勢能之和，即V 吊缶),2當(dāng)質(zhì)點系所受內(nèi)、

31、外力均為保守力時，V 1 (Fi() Fi() dr Vo(6.14)5 .例：計算受中心力的兩質(zhì)點的勢能(從略)四：本節(jié)重點：重點掌握慣性系中質(zhì)點系動能定理和寇尼希定理以及保守力、勢能的概念。6 1.7變質(zhì)量運動方程一：變質(zhì)量力學(xué)問題分類1 .質(zhì)量隨t增加而增加： 細 0,例：雨滴 dt2 .質(zhì)量隨t增加而減?。簃 0,例：火箭 dt以上兩類問題均可用動量定理推導(dǎo)出的變質(zhì)量運動方程求解。二：變質(zhì)量運動方程dv dmz 、1 .運動方程：m (v u ) dt dt2.推導(dǎo)：t時亥IJ:Pimvt+ At:m- Am、(m - m)(v v) muPP2Pi(m - m)( vv) mu -

32、mvm(v- u) - m v m v- m(v - u)dp .lim出 t 0dvm一最終可得t dtdv dm mdt dtlitm0m.、 dv(v u ) m tdt(v u) Fdm , (v dtu）,由牛頓第二定律學(xué)F,（7.1）即變質(zhì)量運動方程。注：v,u均是相對于慣性系的速度，即絕對速度。3.密斯?fàn)査够匠蹋何麱 FR(7.3)在上述方程的基礎(chǔ)上，令vr u v為廢氣相對于火箭的速度，它與 v反向。設(shè)片為火箭前進方向上的單位矢量，即er與v同向，則有：vr u v v,將上式代入變質(zhì)量運動方程可得：mdv dmvr F或mdv F FR ,其中FRdt dtdtdm vr

33、-er ,為推進力。dt結(jié)論：要提高火箭的v ,需設(shè)法提高Fr,即提高小和dm dt:實例：設(shè)F 0,火箭做直線運動且vr二C,則有喏dmvr dtdv vrdmm設(shè) m m0f(tHf(0)1 ,則有電vrdf一 vfvrln f C ,令t=0時，vvo ,可得:v vr In fm0vr In v0 om如令vo 0m。為空火箭的質(zhì)量，m為燃料的質(zhì)量，則有vvrlnm0m0m2.3vr ln( 1 m)0m0結(jié)論：（1）v與4成正比（2） v與m成正變關(guān)系，且增大vr比增大型的效果好。m°mb四：本節(jié)重點：了解變質(zhì)量運動方程，掌握 v,、m對提高火箭v的影響。m。§1

34、.8綜合例題（從略）掌握例1、例2、例4, 了解例3本章習(xí)題：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。實用文案第二章拉格朗日方程教學(xué)目的和基本要求：正確理解各種約束的物理意義，掌握判斷力學(xué)體系自由度的方法和選擇廣義坐標(biāo)的基本原則；能應(yīng)用虛功原理求解處于靜平衡的力學(xué)體系的各類問題； 掌握運用廣義坐標(biāo)、廣義速度和時間來表示拉格朗日函數(shù)的方法；能熟練地用理想、完整 體系拉格朗日方程建立力學(xué)體系的運動微分方程。教學(xué)重點：在理解各種約束、自由度的物理意義的基礎(chǔ)上，熟練掌握應(yīng)用拉格朗日方程求解力學(xué)問題的方法。教學(xué)難點：約束、自由度的物理意義及拉

35、格朗日方程在力學(xué)問題中的應(yīng)用。比1理想約束、達朗貝爾方程一：牛頓動力學(xué)方程的一般解法1 . 一般解法：設(shè)有n個質(zhì)點，受到k個約束的質(zhì)點系，則有3n個未知的坐標(biāo)（Xi ,yi Z ）和k個未知約束力，為求解這3n個未知的坐標(biāo)，解方程的一般步驟如下：消去k個未知Fn牛頓第二定律3n個運動微分方程+k個約束方程3n個微分方利用k個約束方程消去 k個不獨立的坐標(biāo)程（3n-k ）個微分方程解出個未知利用k個約束方程的（3n-k ）獨立坐標(biāo)解出全部3n個未知坐標(biāo)和k個未知約束力。2 .實例：以圖1.7的力學(xué)問題為例（從略）3 .局限性：當(dāng)n、卜個個數(shù)較大時，求解方程將十分困難甚至無法完成。因此當(dāng) n較大時

36、 如果我們能直接寫出（3n+k ）個不含未知約束力和非獨立坐標(biāo)的方程，求解方程的過程 將大大簡化，。這種方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意義 還超出了力學(xué)的范疇而擴展到物理學(xué)別的領(lǐng)域 標(biāo)準實用文案二：虛位移、約束和虛功1.實位移和虛位移實位移：質(zhì)點按r r(t)力學(xué)規(guī)律運動時，在dt時間內(nèi)實際所發(fā)生的位移，用dr表示。 以前我們所討論的位移均為實位移。虛位移：想象在某一時刻t,質(zhì)點所發(fā)生的約束所允許的無限小的位移為虛位移，用r表示。它不是質(zhì)點實際運動所產(chǎn)生的位移，因而不需要時間，只要滿足約束條件即可。6的運算法則：6被稱為變分符號，它作用在坐標(biāo)和函數(shù)上時與微分符號 d完

37、全相同，如: (xy) x y , ( x2) 2x x。但作用于時間時為零即t 0,這一點與d不同。2 .約束：力學(xué)體系在運動時所滿足的某些規(guī)律， 約束在物理上均可用約束方程的形式確切 地表達出來。例：z=0 ,限制質(zhì)點在xy平面上運動；z=0且x2+y2=0,限制質(zhì)點在xy平面上做圓周 運動。3 .實位移和虛位移地關(guān)系體系受穩(wěn)定約束(約束條件不隨時間而變化，約束方程中不含時間t)時，實位移是眾多虛位移中的一個。體系受不穩(wěn)定約束(約束方程中含時間t)時，實位移與虛位移無直接關(guān)系。三：虛功：(想象的)力F在質(zhì)點的虛位移r上所做的功為虛功，W F r (1.1)四：理想約束：1 .定義：所有約束

38、力(內(nèi)，外約束力)在體系的任意虛位移上所做的虛功之和為零，則這種約束為理想約束。可用下式表達該約束的特點：FNi ri 0(1.2) FNi表示第i個質(zhì)點所受的內(nèi)、外約束力之和。2 .常見的理想約束：(1)質(zhì)點沿光滑曲面(曲線)運動時所受的約束。因Fn沿曲面法線方向而r沿曲面切線方向即有Fn r ,所以 W Fn r 0(2)質(zhì)量可忽略的剛性桿所連接的兩質(zhì)點。如圖2.3所示，F(xiàn)ni,Fn2為作用在Pi、P2上的約束力，其方向在P1P2的連線方向上，由牛頓第三定律可得 FniFn2，因此 W Fn1 1 Fn2 2 Fn1 r , rr12 麗。對于 剛性桿因為常數(shù)，所以r r r FN1,最終

39、可得 W FN1 r 0(3)兩個剛體以光滑表面相接觸。. R”用Fn1,Fn2表示兩個剛體相互之間的作用力和反作P：/ A Kt/ 曠-12用力，則Fn1 Fn2 0。由于兩個剛體之間有相對滑動，*圖2.4因此r2 0但可以證明r,0在接觸點的公切面內(nèi)，而Fn1，F(xiàn)n2垂直于公切面，因此 W Fn1 ( 引 0。(4)兩剛體以完全粗糙的表面相接觸因剛體在這種約束下只能做純滾動，即 5V2 0,約束條件為r1b0,因此有W Fn1 r1 Fn2 r2 Fn1 ( 1 G 0(5)兩個質(zhì)點以柔軟不可伸長的繩子相連接可用類似于(2)的方法證明實際的力學(xué)體系可看成由剛體和質(zhì)點構(gòu)成，只要相互之間的聯(lián)結(jié)

40、是剛性的，接觸面是光滑或絕對粗糙的，那么該體系所受的約束都可看成理想約束。如果存在摩擦力Ff,可將其看成主動力，則力學(xué)體系所受的約束仍為理想約束。五：達朗貝爾方程：(Fi甲)ri 0(1.4)證明：設(shè)體系由n個質(zhì)點構(gòu)成，F(xiàn)i為主動力，F(xiàn)m為約束力。由牛頓第二定律：min Fi Fm i=1 , 2,，n將n個方程分別乘以 J后相加、移項可得(Fi Fm mi)r 0(Fimiri)riFNiri0(Firi )ri0。最后一步用到了理想約束的特點 FNi ri 0,在該方程中約束力FNi不再出現(xiàn)。六：例：用達朗貝爾方程寫出圖1.7所示力學(xué)體系的運動方程(從略)七：本節(jié)重點：重點掌握虛位移、虛功

41、、理想約束等物理概念，掌握用達朗貝爾方程求解簡單力學(xué)體系的運動方程的方法。比2完整約束廣義坐標(biāo)達朗貝爾方程中雖然不含F(xiàn)Ni，但仍有非獨立坐標(biāo)，對于一種完整約束，可在達朗貝爾方程的基礎(chǔ)上直接寫出不含F(xiàn)Ni、非獨立坐標(biāo)的動力學(xué)方程。一：完整約束1 .定義：約束條件只和體系中各質(zhì)點的坐標(biāo) ri有關(guān)，即約束方程中只含ri和t,不含ri,ri ,約束方程為 f(ri,r2.rn ,t) 0(2.1)例：繞。點轉(zhuǎn)動的細管中的質(zhì)點，雙單擺2 .性質(zhì)：理論上可證明，凡是完整約束都可以通過約束方程用代數(shù)的方法將非獨立坐標(biāo)消去，每一個約束方程可以消去一個獨立坐標(biāo)。如果n個質(zhì)點構(gòu)成的力學(xué)體系受到k個完整約束，約束方

42、程為fj(ri,r2.%,t) 0 j=1 , 2，k,(2.2)獨立坐標(biāo)的個數(shù)為s=3n-k(2.3)3 .自由度：力學(xué)體系中獨立坐標(biāo)的個數(shù) s被稱為體系的自由度。二：非完整約束1 .定義：如果體系所受的約束不能由約束方程直接消去非獨立坐標(biāo)，該約束為非完整約束。2 .分類：非完整約束包括運動約束(微分約束)和可解約束兩類。(1)運動約束：約束方程中除了含有ri和t外還含有ri關(guān)于時間t的一次或高次導(dǎo)數(shù)n、n標(biāo)準0./,J 工 0/? L圖2.7圖2.8等，約束方程為f(rijij,t) 0。在動力學(xué)方程未解出之前，無法通過約束方程將非獨立坐 標(biāo)消去。vcos , y vsin ,將約束方程v

43、 r代入以上兩式可得如圖2.7輪子在xy平面上做曲線純滾動，確定輪子在空間的位置需要x、y、9和自轉(zhuǎn)角小， 但由于受到純滾動的約束輪心的速度 v Gy和自轉(zhuǎn)角速度 之間存在約束v r。另由 圖2.8可得x實用文案dx rsin d 0(2.(4)dy rcos d 0上式表明4個坐標(biāo)中獨立的坐標(biāo)只有兩個，但在動力學(xué)方程未解出之前，我們無法通過積 分的方法利用(2.4)式將不獨立的坐標(biāo)消去。但可證明如果輪子做直線滾動即8為常數(shù)則 可以將不獨立坐標(biāo)消去。(2)可解約束(單面約束)：約束方程中雖不含n的微分項，但方程中含有不等式。顯然 由于方程中存在不等式，所以也無法用代數(shù)法通過約束方程消去非獨立坐

44、標(biāo)，例：用長為L的繩子將質(zhì)點懸掛于固定點，x2+y2+z2<L2o這種約束通常將其分為兩種約束，增加一個獨立坐標(biāo)，這樣可解約束將變?yōu)椴豢山饧s束，也就是成為了完整約束。綜上所述，非完整約束一般專指微分約束。止匕外，約束還可根據(jù)約束方程中是否含有時間 t將約束分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定約束。三：廣義坐標(biāo)：1 .定義：建立一個力學(xué)體系的動力學(xué)方程所需要的獨立坐標(biāo)被稱為廣義坐標(biāo)。一個力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)一旦確定了，其在空間的位形也就確定下來。廣義坐標(biāo)與自由度的關(guān)系：完整約束其廣義坐標(biāo)的個數(shù)與自由度個數(shù)相等。非完整約束其廣義坐標(biāo)的個數(shù)可大于自由度個數(shù)?？珊唵蔚卣J為自由度比廣義坐標(biāo)的獨立性更強，獨立的也更徹底。

45、在本書以后的討論中均限于完整約束，所以可認為廣義坐標(biāo)的個數(shù)等于自由度個數(shù)。2 .選取：從理論上講，可選取任意能反映力學(xué)體系位形的相互獨立的s個變量作為廣義坐標(biāo)準實用文案標(biāo)，不僅僅局限于傳統(tǒng)意義上的反映位置的長度坐標(biāo)和角度等，如能量E,動量P等。3 .位形空間：由s個廣義坐標(biāo)所構(gòu)成的一個抽象的s維空間，此空間的任一點代表力學(xué)體 系的一種可能的位形。四：總結(jié)：掌握完整約束和自由度、廣義坐標(biāo)的物理意義。比3理想、完整約束體系的拉格朗日方程對于理想、完整約束體系，在選取合適的廣義坐標(biāo)后可直接由廣義坐標(biāo)寫出體系的動力學(xué)方程一拉格朗日方程，該方程中是不含 Fn非獨立坐標(biāo)的動力學(xué)方程。:理想、完整約束拉格朗

46、日方程:1 .推導(dǎo)過程：設(shè)有n個質(zhì)點構(gòu)成的受k個約束的力學(xué)體系，如所受約束為理想、完整約束，則廣義坐標(biāo)的個數(shù)為s=3n-k 。取q1, q2-qs為廣義坐標(biāo)，則有n n( q1,q2qs ,t)q ,將其代入達朗貝爾方程(Fi mri) ri 0消去n化簡后可得:(Fi1r m/i)- q0,因上式中的q相互獨立，要使該式包成立必有:n(Fii 1mjiri1,2.s.或者寫成nmji i 1riQ ,1,2.s. (3.3)其中Q12s.(3.(4) Q被稱為廣義力，與廣義坐標(biāo)q相對應(yīng)。方程(3.3)左邊可變成:rimn qddtnmrii 1nmiSiq(3.(5)另由T12二 mji2j

47、iqT(qi,q2qs,qi,q2 qs,t)可得:rimn 一，i 1qnTnr nr又因r 可得mji 甲n（3.8）i 1 q t ttq i 1 qil q一，Tnr另有j mu（3.9）qi iqnn將（3.8）、（3.9）代回（3.5）式消去miri ,和 miri ,可得：i iq i iqn mji工 -d（ -） 上，再將結(jié)果代入（3.3）可得理想、完整約束拉格朗日方程。i i q dt q q. d T T . . nr.2 .結(jié)論：()，Q 淇中 QFj/，1,2.S(3.10)dt q qi 1 q該方程是由s個二階微分方程構(gòu)成的微分方程組。二保守體系的拉格朗日方程：1

48、 .方程：對于保守體系，Q可進一步化簡如下：FiV(r), Q n Fi 上 n JVirl 上 n -VilL)_V(3.11)i 1 q i 1 r q i 1 qq將上式代入理想、完整約束拉格朗日方程(3.10)式可得：-() dt q q qd( (T V) (T V)o,令 l T V L(q ,q ,t) (3.13) L 稱為拉格朗日函數(shù)，dt qq則上式可進一步化簡為：-() 0,12.S(3.12)dt q q(3.(12) 守體系的拉格朗日方程，有些教材將其稱為第二類拉格朗日方程，它在力 學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，在分析力學(xué)中占有重要的地位2 .討論：(1)方程中的L、T、V為廣

49、義坐標(biāo)q和廣義速度q的函數(shù)，在應(yīng)用方程時，首先需將L、T、V化成q、q的函數(shù)。(2)該方程只適用于理想、完整約束的保守體系。(3)保守體系：傳統(tǒng)定義一所有內(nèi)力與外力均為保守力，或內(nèi)力雖不是保守力，但所有 內(nèi)力所做的功的和為零。分析力學(xué)的定義一理想、完整約束下，只要主動力為保守力，這樣的體系均為保守體系。從兩種定義的比較可知，后者是對傳統(tǒng)定義的擴展。對于理想、完整體系而言其約束力可能是非保守力，在受不穩(wěn)定約束時雖然約束力的實功之和不為零，但約束力的虛功之 和仍為零，保守體系的拉格朗日方程仍成立，所以這樣的力學(xué)體系在分析力學(xué)中也被成為 保守體系。(4)非保守體系：將非保守力部分用Q n F俳 上表

50、示，而將保守力部分仍用 表 i i qq示，理想、完整約束拉格朗日方程(3.10)式可表達為：() Q ,其中 QF俳 上，1,2S.(3.14)dt q qi i q三：拉格朗日方程與牛頓方程的區(qū)別與聯(lián)系1 .拉格朗日方程用廣義坐標(biāo)q列出s=3n-k個動力學(xué)方程，較牛頓方程列出的3n+k個方 程更為簡捷。2 .拉格朗日方程從能量的角度分析力學(xué)問題， 而牛頓方程從受力的角度分析問題，顯然能 量的數(shù)學(xué)處理比力F的處理簡單，更重要的是能量的概念貫穿與物理學(xué)的所有領(lǐng)域，因此 拉格朗日方程的應(yīng)用也得以推廣。3 .對簡單的力學(xué)問題而言，用牛頓方程比用拉格朗日方程更簡單、直接。四：解題步驟：1 .解題之前

51、要正確劃分體系與外界，進而判定所研究的體系是否為理想、完整保守體系。2 .根據(jù)體系所含質(zhì)點數(shù)n和所受約束的個數(shù)k來判定自由度的個數(shù)s=3n-k ,也可由經(jīng)驗 直接判定自由度的個數(shù)，然后選取合適的廣義坐標(biāo) qi ,q2qs。3 .將動能T、勢能V或拉格朗日函數(shù)L表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)后代入拉格朗日方程，可得 s個動力學(xué)方程。4 .求解這s個動力學(xué)方程可確定所有的廣義坐標(biāo)。五：例題（從略）六：本節(jié)重點：掌握理想、完整約束保守體系拉格朗日方程及其適用條件，會用該方程求 解一般的力學(xué)問題。名.4拉格朗日方程對平衡問題的應(yīng)用一：靜力學(xué)問題：當(dāng)力學(xué)體系相對于慣性系靜止時，我們就說該體系處于力學(xué)平衡，這類 問

52、題為靜力學(xué)問題，主要分為兩類。1 .已知主動力，求體系平衡時的位置。2 .已知體系的平衡位置，求體系各部分之間的約束力 Fn。上述第一類問題用拉格朗日方程求解很方便，第二類問題可結(jié)合拉格朗日方程、牛頓方程求解。二：拉格朗日平衡方程：當(dāng)體系平衡時其動能T包為零，則:，:均為零。根據(jù)理想、完整約束拉格朗日方標(biāo)準實用文案程(3.10)式 9(工) Q 可得：Q Fi-0,1,2.s. (4.1)dt q qi i q對于保守體系則有： 0,1,2.s.(4.2)q三：例題（從略）四：重點掌握：掌握用拉格朗日平衡方程求解力學(xué)平衡問題的一般方法。屹.7對稱性和守恒定律一：力學(xué)中的守恒定律：1 .牛頓力學(xué)：利用動量、角動量、能量守恒定律來取代牛頓動力學(xué)方程的全部或其中的一部分，可直接得到一階的微分方程，而牛頓動力學(xué)方程為二階微分方程。例：質(zhì)點在有心力、萬有引力作用下的力學(xué)問題。2 .分析力學(xué)中的守恒量一運動積分11動積分：具有s個自由度的力學(xué)