初中二年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形證明基本思路

1、證明三角形全等的常見思路全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，全等三角形的學(xué)習(xí)是幾何入門最關(guān)鍵的一步，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的好壞直接影響著今后的學(xué)習(xí).而一些初學(xué)的同學(xué)，雖然學(xué)習(xí)了幾種判定三角形全等的公理和推論，但往往仍不知如何根據(jù)已知條件證明兩個(gè)三角形全等.通過對(duì)以下幾種證明三角形全的分析，體會(huì)常見思路。知識(shí)點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，（對(duì)應(yīng)線段相等）對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等.尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)

2、應(yīng)角.（3）有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊.（4）有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角.（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角.（6）兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長邊（或最大角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對(duì)最短邊（或最小角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）.要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵.全等三角形的判定方法：（1）邊角邊定理（SAS）:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（2）角邊角定理（ASA）:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（3）邊邊邊定理（SSS）:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（4）角角邊定理（AAS）:兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（5）斜邊、直角邊

3、定理（HL）:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.2.證題的思路：找夾角（SAS）已知兩邊找直角（HL）找第三邊（SSS若邊為角的對(duì)邊，則找任意角（AAS）斤華找已知角的另一邊（SAS邊為角的鄰邊找已知邊的對(duì)角（AAS）找夾已知邊的另一角（ASA）已知兩角找兩角的夾邊（ASA）找任意一邊（AAS）全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程AB.中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線.一、已知一邊與其一鄰角對(duì)應(yīng)相等1 .證已知角的另一邊對(duì)應(yīng)相等，再用SAS證全等.例1已知：如圖1,點(diǎn)E、F在BC上,BE=CFAB=DC/B=ZC.求證：AF=DE證明BE

4、=CF（B知）,BE+EF=CF+EF即BF=CE.在人85和4DCE中，AABFDCE（SAS）AF=DE（全等三角形應(yīng)邊相等）.2 .證已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等，再用ASA證全等.例2已知：如圖2,D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)求證：AE=CE證明FCIIAB（已知）,/ADEMCFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.在AD訝口CFE中，AADEiCFE（ASA）.AE=CE（全等三角形又應(yīng)邊相等）3.證已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，再用AAS證全等.例3（同例2）.證明FC/AB（已知），/A=/ECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.在AD訝口CFE中，AADEiCFE（AAS）.AE=CE（全

5、等三角形應(yīng)邊相等）.二、已知兩邊對(duì)應(yīng)相等1 .證兩已知邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，再用SAS證等.例4已知：如圖3,AD=AE點(diǎn)0E在BC上，BD=CE證：4AB里ACE證明.一/1=/2（已知），/ADB=180-Z1,/AEC=180-/2（鄰補(bǔ)角定義）,/ADB=/AEG在AB/口ACE中，AABtDACE（SAS）.2.證第三邊對(duì)應(yīng)相等，再用SSS證全等.例5已知：如圖4,點(diǎn)A、C、BD在同一直線上，AC=BDAM=CNBM=DN求證：AM/CNBM/DN證明AC=BD（已知）.AC+BC=BD+BCPAB=CD.在ABMCDN43,MB陣CDN（SSS）/A=/NCD/ABM=D（全等三角應(yīng)角

6、相等）,AM/CNBM/DN（同位角相等，兩直線平行）.三、已知兩角對(duì)應(yīng)相等1.證兩已知角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，再用ASA證全等.例6已知：如圖5,點(diǎn)BF、CE在同一條直線上,ACB4DFE.求證：AB=DE,AC=DF.證明FB=CE（已知）FB+FC=CE+FC即BC=EF,FB=CEAB%DEF（ASA）.AB=DE,AC=DF住等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）2.證一已知角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，再用AAS證全等.例7已知：如圖6,ARCD交于點(diǎn)O,g)&證：ACEE、F為AB上兩點(diǎn)，OA=OBOE=OF/A=ZB,/ACE=BDF.求BDF.證明OA=OBOE=OFB知)， .OA-OE=OB-OF即

7、AE=BF,在AC訝口BDF中, AACEiBDF（AAS）.四、已知一邊與其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則可證另一角對(duì)應(yīng)相等，再利用AAS證全等例8已知：如圖7,在ABC中，B、D、E、C在一條直線上，AD=AE/B=/C.求證：AB¥ACE.證明AD=AE（E知）.Z1=/2（等邊對(duì)等角）, /ADB=180°-/1,ZAEC=180-/2（鄰補(bǔ)角定義），/ADB=AEC在AB/口ACE中，.AB陰ACE（AAS）.全等三角形問題中常見的輔助線一一倍長中線法ABC中,AD是BC邊中線方式1:直接倍長（圖1）:延長AD至ijE,使DE=AD連接BE方式2:間接倍長1）（圖2）作CF&#

8、177;AD于F,作BE!AD的延長線于E,連接BEE2）【經(jīng)典例題】1、已知，如圖ABC中，AB=5AC=3則中線AD的取值范圍是.（提示：畫出圖形，倍長中線AD利用三角形兩邊之和大于第三邊）例2:已知在ABC中，AB=ACD在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F,且DF=EF.求證：BD=CE（提示：方法1:過D作DG/AE交BC于G,證明ADGFACEF方法2:過E作EG/AB交BC的延長線于G,證明AEF®ADFB方法3:過D作DGLBC于G,過E作EFUBC的延長線于H,證明ABDeAECH變式:BE如圖，AD為ABC的中線,CFEFDE平分BDA交AB于E,DF平分

9、ADC交AC于F.求證:（提示：方法1：在DA上截取DG=BD連結(jié)EGFG,證明ABDEAGDEADC障ADGFW以BE=EGCF=FGRJ用三角形兩邊之和大于第三邊方法2:倍長ED至H,連結(jié)CHFH,證明FH=EFCH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊）例4:已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC延長BE交AC于F,求證（提示：方法1:倍長AD至G,連接BG證明ABD8ACDA三角形BEG是等腰三角形。方法2:倍長ED.試一試，怎么證明？）AF=EF例3、如圖，ABC中，E、F分別在ARAC上，DELDF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.例5、如圖，ABC

10、中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn),求證：AD平分/BAE.（提示：倍長AE至M,連接DM變式一：已知CD=AB/BDAhBADAE是4ABD的中線,求證：/C=ZBAE提示：倍長AE至F,連結(jié)DF,證明AAB*AFDE(SAS,進(jìn)而證明AAD陣AADC(SAS變式二：已知CD=AB/BDAhBADAE是ABD的中線，求證：2AE=AG(提示：借鑒變式一的方法)例6：已知：如圖，在ABC中，ABAC,D、E在BC上，且DE=EC過D作DF/BA交AE于點(diǎn)F,DF=AC.求證：AE平分BAC提示：方法1:倍長AE至G連結(jié)DG方法2:倍長FE至H,連結(jié)CH練習(xí)1、在四邊形ABCD43,AB/DCE

11、為BC邊的中點(diǎn)，/BAE1EAF,AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G,證明AB=GCAF=GF所以AB=AF+FC2、已知：如圖，ABC中，C=90,CMAB于MAT平分BAC交CMTD,交BC于T,過D作DE/AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過T作TN±AB于N,證明ABT陣AECDA-MDBETC3、在MBC中，AD平分/BAGCMLAD于M,若AB=AD求證：2AM=AC+AB=4、ABO43,AD是邊BC上的中線，DA!AC于點(diǎn)A,/BAC=120,求證：AB=2BC.5、如圖，AB=AEA

12、B±AE,AD=ACAD±AC,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE=2AM全等三角形問題中常見的輔助線一一截長補(bǔ)短法例1、如圖，ABC中，AB=2ACAD平分BAC,且AD=BD求證：CDLAC例2、如圖，AD/BCAE,BE分別平分/DAB,/CBA例3、如圖，已知在VABC內(nèi)，BAC分別是BAC,ABC的角平分線。求證:40°,P,Q分別在BCCAA上，并且BQ+AQ=AB+BPBBQCD過點(diǎn)E,求證;AB=AD+BC例4、如圖，在四邊形ABC邛,BOBA,AD=CDBD平分ABC,求證：AC180°例5、如圖在ABC中，AB>AC,/1=/2,P為

13、AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-AC>PB-PCA例6、已知ABC中，A60°,BD、CE分別平分ABC和.ACB,BD、CE交于點(diǎn)O,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.例7、如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作DMN60,射線MN與/DBA外角的平分線交于點(diǎn)N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？變式練習(xí)：如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MNDM且與/ABC外角的平分線交于點(diǎn)N,MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？例8、如圖所示.已知正方形ABCDKM為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，例9、已知：如圖，ABCDI正方形，/FAD=/FAE求

14、證：BEfDF=AE例10、如圖所示，ABC是邊長為2的正三角形,BDC是頂角為120°的等BD且/BAE=2ZDAM求證：AE=BOCE腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的長.MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求AMN的周變式練習(xí)如圖所示，ABC是邊長為4的正三角形，BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的MDN,點(diǎn)M、n分別在AB、AC上，求AMN的周長.A例11、五邊形ABCD中,AB=AEBODBCD/ABG/AED=180,求證：DA平分/CDE例12、如圖，在四邊形ABC邛,AD/BC,點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若/B=60&

15、#176;,AB=BC且/DEC=60,判斷AD+AEWBC的關(guān)系并證明你的結(jié)論。三角形綜合練習(xí)題一、選擇題1 .下列條件中，不能判定ABCADEF的是（A./A=ZD,/C=ZF,AC=DFB.ZA=ZD,AB=DEBC=EFC.AB=DE,ZA=ZD=80,/B=60,/F=40D./O/F=90,AB=DEBC=EFE、F,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）2 .AD是ABC勺角平分線，從D向ABAC兩邊作垂線，垂足分別為A.DE=DFB.AEAFC.BD=CDD.ZADE:ZADF3.如圖2,ABLBC于B,CDLBC于C,AB=BCE為BC的中點(diǎn)，且AELBD于F,若CD=4cm,則AB的長

16、度為()A.4cmB.8cmC.9cmD.10cm4.如圖3,已知點(diǎn)E在ABC勺外部D在BC邊/1=Z2=Z3AB坐AFDAEBDFC填空題.AC=AE則有()B.AAFEEADCD.AABCADEDE交AC于F.5如圖4,在ABCDEF中，AB=DE需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是.E,6.如圖5可£為沿A所疊cm使點(diǎn)D落在BC邊上，如果AD=7cm,DM=2cm,/DAIM20/NAM的度數(shù)是°.A則AN的長為Dcm7.如圖6,四邊形/BAG35,則/ABC珅,CB=CD/AB0/ADC90BC*于.，知,在4解答題，知：如圖7,口是ABCaAC上的一點(diǎn)，DF交AB于EAD的DE=EF求證：AE=BEOCODAE=BF,EOF10 .已知：如圖11-8求證：CE=DF請(qǐng)你判斷AD是11 .已知：如圖，在ABC43,BE!ADCF，AD且BE=CF,ABCW中線還是角平分線？并說明理由.F.<2_LiJcDEOB=OC12 .已知：如圖，ZA=ZD=90,ACBD交于QAC=BD求證:，DE于E,若13 已知，如圖，在AABC中，/ACB=90),AC=BCAD±DE于D,BEAD=2厘米，BE=3厘米，求DE的長。BH與AC的數(shù)14如圖，RtBDA中，/BDA=90,BD=ADRtAHDC/HDC=90,HD=CD請(qǐng)你猜想