初三數(shù)學(xué)幾何中的最值問題

1、初三數(shù)學(xué)幾何中的最值問題一、幾何中的最值問題1.如圖1,在等腰直角三角形ADC中，/ADC=90°,AD=4.點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG,連接AG,CE,將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°).(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,判斷4AGD與4CED是否全等，并說明理由；當(dāng)CE=CD時，AG與EF交于點(diǎn)H,求GH的長.(2)如圖3,延長CE交直線AG于點(diǎn)P.求證：AG±CP;在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.2.如圖1,在一張？ABCD的紙片中，？ABC

2、D的面積為6,DC=3,ZBCD=45°,點(diǎn)P是BD上的一動點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B,D不重合).現(xiàn)將這張紙片分別沿BD,AP剪成三塊，并按圖2(注：圖2中的，是將圖1中的，翻轉(zhuǎn)背面朝上，再拼接而成的)所示放置圖2(1)當(dāng)點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)時，求AP的長.(2)試探究：當(dāng)點(diǎn)P在BD的什么位置上時，MN的長最小？請求出這個最小值.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(4,0),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P(m,n)是該拋物線上的一個動點(diǎn)，連接CA,CD,PD,PB.(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)4PDB的面積等于ACAD的面積時，

3、求點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)m>0,n>0時，過點(diǎn)P作直線PE!y軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG±x軸于點(diǎn)G,連接EG,請直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，線段EG的最小值.4 .定義：有一組對邊相等目這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做等垂四邊形(1)如圖，四邊形ABCD與四邊形AEEG都是正方形，135AEB180,求證：四邊形BEGD是等垂四邊形”；(2)如圖，四邊形ABCD是等垂四邊形”，AD別是AD,BC,BD的中點(diǎn)，連接EG,FG,EF.試判定BC,連接BD,點(diǎn)E,F,G分aEFG的形狀，并證明；4,BC6,試求邊AB長的最小DDnB(3)如圖，四邊形ABCD是等垂四邊

4、形”，AD值.5 .問題探究(1)如圖1.在&ABC中，BC8,D為BC上一點(diǎn)，AD6.則占ABC面積的最大值是.(2)如圖2,在&ABC中，BAC60,AG為BC邊上的高，。為&ABC的外接圓，若AG3,試判斷BC是否存在最小值？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由.問題解決:如圖3,王老先生有一塊矩形地ABCD,AB67212，BC6726，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個四邊形魚塘AMFN,且滿足點(diǎn)E在CD上，ADDE,點(diǎn)F在BC上，且CF6,點(diǎn)M在AE上，點(diǎn)N在AB上，MFN90,這個四邊形AMFN的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理

5、由.6 .如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的點(diǎn)E(1)若AP:BP=1:2,則AE的長為.(2)求證：四邊形BFEP為菱形；(3)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動時，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動.若限定點(diǎn)P,Q分別在邊AB、BC上移動，求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離.7.在圖1至圖3中，。0的直徑BC30,AC切。O于點(diǎn)C,AC40,連接AB交GO于點(diǎn)D,連接CD,P是線段CD上一點(diǎn)，連接PB.1圈2m3(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P,O的距離最小時，求PD的長；(2)如圖2,若射線AP過圓心O,交。O于點(diǎn)E,F,求tanF的值；(3)如圖3,作DHPB于點(diǎn)H,連接

6、CH,直答號出CH的最小值.18 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸父于A點(diǎn)，與x軸父于B點(diǎn)，OP的半徑為75,其圓心P在x軸上運(yùn)動.(1)如圖1,當(dāng)圓心P的坐標(biāo)為(1,0)時，求證：OP與直線AB相切；(2)在(1)的條件下，點(diǎn)C為。P上在第一象限內(nèi)白一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。P的切線交直線AB于點(diǎn)D,且/ADC=120°,求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2,若。P向左運(yùn)動，圓心P與點(diǎn)B重合，且OP與線段AB交于E點(diǎn)，與線段1BO相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)為弧EF上一點(diǎn)，直接寫出,AG+OG的最小值.9 .在ABC中，ACB90,BCAC2,將ABC繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)角(0180)

7、至AB'C'的位置.(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60時，連接C'C與AB交于點(diǎn)M,則C'C.(2)如圖2,在(1)條件下，連接BB',延長CC'交BB'于點(diǎn)D,求CD的長.a(3)如圖3,在旋轉(zhuǎn)的過程中，連線CC'、BB',CC'所在直線交BB'于點(diǎn)D,那么CD的長有沒有最大值就口果有，求出CD的最大值：如果沒有，請說明理由.B：10 .在ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,以CA為邊在/ACB的另一側(cè)作/ACM=/ACB,點(diǎn)D為射線BC上任意一點(diǎn)，在射線CM上截取CE=BD連接AHDE、AE.

8、(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC的延長線上時，求/ADE的度數(shù)；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC(不含邊界)上時，AC與DE交于點(diǎn)F,試問/ADE的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變化，請給出理由；如果變化了，請求出/ADE的度數(shù)；11 .如圖，在矩形ABCD中，AB=2,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,ZAED=90°,將AED繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到ZAED，A'膠AD于巳D'咬CD于Q,連接PQ,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，AED停止轉(zhuǎn)動.(1)求線段AD的長；(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時，試判斷PQ與AD的位置關(guān)系，并說明理由；(3)求出從開始到停止，線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長.1

9、2.如圖，在？ABCD中，AB3后，BC5,B45,點(diǎn)E為CD上一動點(diǎn)，經(jīng)過A、C、E三點(diǎn)的3。交BC于點(diǎn)F.（操作與發(fā)現(xiàn)）1當(dāng)E運(yùn)動到AECD處，利用直尺與規(guī)作出點(diǎn)E與點(diǎn)F；（保留作圖痕跡）c-AFAB2在1的條件下，證明：AEAD（探索與證明）3點(diǎn)E運(yùn)動到任何一個位置時，求證:AFAEABAD'（延伸與應(yīng)用）連結(jié)BD,F為BD中點(diǎn).（不與A,C重合），備圖（1）若過點(diǎn)D作DE，AB于E,連結(jié)CF、EF、CE,如圖1.設(shè)CF=kEF,則k=（2）若將圖1中的4ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2,求證：BE-DE=2CF;（3）若BC=6,點(diǎn)D在邊AC的

10、三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長度的取值范圍.14.（閱讀材料）某興趣小組的同學(xué)將一個矩形ABED和一個等腰直角三角形DEC拼成如圖1的一個四邊形ABCD,已知AD1,DC2J2.（1）直接寫出BC的長為PD、PC為邊作dPCQD,請問對角線PQ的如果不存在，請說明理由.愛動腦筋的小APQDPQPQHPQC,即APDBCAD,即HQC,則PADQHC,得PQ存在最小值為明得到如下思路：過點(diǎn)Q作QH/AB,交BC的延長線于點(diǎn)H,因?yàn)椋ǚ椒☉?yīng)用）使PF2PD,再以PF、PC為邊（2）若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長PD到F,作dPCQF,請?jiān)趫D3中畫圖研究，求出對角線

11、PQ的長的最小值？若P為AB邊上任意一占，延長PD至iJF,使PFnPD（n為常數(shù)），再以PF、PC為邊作uPCQF,則對角線PQ的長的最小值（3）如圖4,若P為直線DC上任意一點(diǎn)，延長PA到F,使PFnPA（n為常數(shù)），以PF、PB為邊作dPBQF,請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由.A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在y軸的，一9正半軸上，其中點(diǎn)B,0、D0,6.2圖1求C點(diǎn)的坐標(biāo);DQB圖3(1)(2)如圖2,E是AD上一點(diǎn)，且AE=U,P是AC上一動點(diǎn)，求PD4PE的最小值;(3)5如圖3,動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿折線4BCD在

12、,貝Ut=_，5菱形的兩邊上勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒.若點(diǎn)Q到BD的距離是-2(2)若BE2=EF?EC且-BE-=3,EF=J6,求DE的長;a（6,0），點(diǎn)DF217 .將一個直角三角形紙片ABO,放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B0.3，點(diǎn)0(0,0)（I）過邊OB上的動點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)B,O重合）作DEOB交AB于點(diǎn)E,沿著DE折疊該紙片，點(diǎn)B落在射線BO上的點(diǎn)F處.如圖，當(dāng)D為OB中點(diǎn)時，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；連接AF,當(dāng)AEF為直角三角形時，求E點(diǎn)坐標(biāo)：(n)P是AB邊上的動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合)，將AOP沿OP所在的直線折疊，得到A'OP,連接BA',當(dāng)BA'取得最小

13、值時，求P點(diǎn)坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).18 .已知在四邊形ABCD中，AD/BC,AB±BC,AD=2,AB=4,BC=6.(1)如圖1,P為AB邊上一點(diǎn)，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,過點(diǎn)Q作QHXBC,交BC的延長線于H.求證：ADPHCQ;(2)若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE請問又捫I線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.(3)如圖2,若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長PA到E,使AE=nPA(n為常數(shù))，以PE,PB為邊作平行四邊形PBQE請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如

14、果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.11C19 .如圖，一次函數(shù)y=2*+1的圖象與二次函數(shù)y=gx2+bx+c的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.(1)b=,c=;(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與y軸交于C點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為D.連接AC,CD,求/ACD的正弦值；(3)若M點(diǎn)在x軸下方二次函數(shù)圖象上，過M點(diǎn)作y軸平行線交直線AB于點(diǎn)E,以M點(diǎn)為圓心，ME的長為半徑畫圓，求圓M在直線AB上截得的弦長的最大值；若/ABM=/ACO,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.20.如圖，4ABC中，O是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，AO平分/BAC,連OB,OC.(1)如圖1,若/ACB=2/ABC,BO平分/

15、ABC,AC=5,OC=3,貝UAB=;(2)如圖2,若/CBC+/ACO=/BAC=60°,求證：BO平分/ABC;(3)如圖3,在(2)的條件下，若BC=2J3,將點(diǎn)B繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)60得點(diǎn)D,直接寫出CD的最小值為21 .如圖，以G(0,1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C,D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為。O上一動點(diǎn)，CFLAE于F,當(dāng)點(diǎn)E在。的運(yùn)動過程中，線段FG的長度的最小值為.22 .如圖，4ABC中，AC=BC,CD是4ABC的高，AB=8,CD-3,以點(diǎn)C為圓心，半徑為2作。C,點(diǎn)E是。C上一動點(diǎn)，連接AE,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，求線段DF的最小值23 .定義：長

16、寬比為jn：1(n為正整數(shù))的矩形稱為品矩形.下面，我們通過折疊的方式折出一個亞矩形,如圖a所示.圉口圖bi備用圖)操彳1：將正方形ABEF沿過點(diǎn)A的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)B落在對角線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AH.操彳2：將FE沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)F、點(diǎn)E分別落在邊AF、BE上，折痕為CD.則四邊形ABCD為J2矩形.(1)證明：四邊形ABCD為J2矩形；(2)點(diǎn)M是邊AB上一動點(diǎn).如圖b,O是對角線AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)N在邊BC上，OMON,連接MN.求tanOMN的值；一CN，若AMAD,點(diǎn)N在BC邊上，當(dāng)aDMN周長最小時，求的值NB連接CM,作BRCM,垂足為R.若ABJ2,則DR的最小

17、值為.24.如圖，點(diǎn)A在拋物線y=-x2+6x上，且橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2).(1)求線段AB的長；(2)點(diǎn)P為線段AB上方拋物線上的任一點(diǎn)，過P作AB的垂線交AB于點(diǎn)H,點(diǎn)F為y軸3.上一點(diǎn)，當(dāng)4PBE的面積最大時，求PH+HF+23FO的最小值；23(3)在(2)中，當(dāng)PH+HF+Y3FO取得最小值時，將4CFH繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。后得到2CFH，過點(diǎn)F作CF的垂線與直線AB交于點(diǎn)Q,點(diǎn)R為y軸上一動點(diǎn)，M為平面直角坐標(biāo)系中的一動點(diǎn)，是否存在使以點(diǎn)D,Q,R,M為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在請直接寫出點(diǎn)

18、R的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.y事圖10225.如圖1,在&ABC中，ACB90,AC2,BC2網(wǎng),以點(diǎn)B為圓心，如為半徑作圓.點(diǎn)P為0B上的動點(diǎn)，連接PC,作PCPC,使點(diǎn)p落在直線BC的上方，且滿足PC:PC1:J3,連接BP,AP.fl國二留用度(1)求BAC的度數(shù)，并證明APCs/XBPC;(2)如圖2,若點(diǎn)P在AB上時，連接BP,求BP的長；(3)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，BP是否有最大值或最小值？若有，請求出當(dāng)BP取得最大值或最小值時，PBC的度數(shù)；若沒有，請說明理由.【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請不要刪除、幾何中的最值問題1.(1)全等，理由見解析;2+23GH81515(2)

19、見解析；PC的最大值為【分析】(1)結(jié)論：AGgCED.根據(jù)SAS證明即可.如圖2中，過點(diǎn)A作AT,GD于T.解直角三角形求出AT,GT,再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.(2)如圖3中，設(shè)AD交PC于O.利用全等三角形的性質(zhì)，解決問題即可.因?yàn)閆CPA=90°,AC是定值，推出當(dāng)/ACP最小時，PC的值最大，推出當(dāng)DELPC時，ZACP的值最小，此時PC的值最大，此時點(diǎn)F與P重合(如圖4中).【詳解】(1)如圖2中，結(jié)論：AGD0CED.理由：四邊形EFGDE方形,.DG=DE,/GDE=90；1 .DA=DC,/ADC=90;/GDE=/ADC,/ADG=ZCDE,2 .AGDAC

20、ED(SAS.如圖2中，過點(diǎn)A作ATIGD于T. .AGDACED,CE)=CE,-.AD=AG=4, .ATIGD,-.TG=TD=1, ATJag2tg2屈, EF/DG,/GHF=/AGT, /F=/ATG=90°, .GFHAATG,GHAGFGAT，GH.,GH”15(2)如圖3中，設(shè)AD交PC于O.AGDACED,/DAG=/DCE./DC曰/CO490°,/COA/AOP,/AOP+ZDAG=90;aAAPO=90°,2 .CP)1AG./CPA=90°,AC是定值，當(dāng)/ACP最小時，PC的值最大,F與P重合(如圖4中)，.當(dāng)DE±

21、;PC時，/ACP的值最小，此時PC的值最大，此時點(diǎn),/CE&90°,CD=4,DE=2,ECCD2DE2牙2223,3 EF=DE=2,.CP=CEEF=2+2、3,二PC的最大值為2+2£.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會尋找特殊位置解決最值問題，屬于中考壓軸題.2.(1)乂29；(2)當(dāng)APLBD時，MN的長最小，史!025【分析】(1)連接AC交BD于P,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PD=PB,即點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，過D作DHLAB于H,PE±AB于

22、E,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到PE=DH,BE=21BH,根據(jù)已知條件得到DH=2,解直角三角形即可得到結(jié)論；2(2)由題意得，CM=CN=AP,/MCD=/PAB,/NCB=/PAD,于是得到/MCN=90°,當(dāng)APBD時，MN的長最小，過D作DHI±AB于H,根據(jù)勾股定理得到BD=JDH2BH2=非，根據(jù)三角形的面積公式得到AP=晅,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)5論.【詳解】解：(1)連接AC交BD于P, 四邊形ABCD是平行四邊形，PD=PB,即點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，過D作DHLAB于H,P已AB于E, .PE/DH,PE=IdH,BE=1BH,22 ?ABCD的面積為6,D

23、C=3,.DH=2,PE=1, /BCD=45；/DAB=45；.AH=DH=2,.BH=1,1HE=BE=,2-5AE=1,2o9、29ap=Jae2pe2=；2圉1(2)由題意得，CM=CN=AP,/MCD=/PAB,ZNCB=ZPAD, /MCD+ZNCB=45；/MCN=90°,當(dāng)APBD時，MN的長最小，過D作DHLAB于H,由(1)求得DH=2,BH=1BD=Jdh2_BH=非， .APXBD,1CBD7AP2-1 .Saabd=AB?DH=25.CM=CN=AP=1-MN=CM2CN26、.10,MN長的最小值是6瓦5【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),確的作出輔助線是

24、解題的關(guān)鍵.勾股定理，三角形面積的計(jì)算，三角形準(zhǔn)確性的性質(zhì)，正3.(1)y12-x22;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,3)、(2,3)、(5,-3)或(-2,-3);(3)線段EG的最小值為迤.5【分析】(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(4,0),應(yīng)用待定系數(shù)法，求出該拋物線的解析式即可；(2)首先根據(jù)三角形的面積的求法，求出ACAD的面積，即可求出4PDB的面積，然后求出BD=2,即可求出|n|=3,據(jù)此判斷出n=3或-3,再把它代入拋物線的解析式，求出x的值是多少，即可判斷出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)首先應(yīng)用待定系數(shù)法，求出BC所在的直線的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,

25、n),求出點(diǎn)EG的最小值.【詳解】解：(1)把F的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，求出EG2的最小值，即可求出線段A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2中，可得16a4b020'1232a解得：b八123c，拋物線的解析式為：y-xx2；221c3（2）.拋物線的解析式為yx2x2,22當(dāng)x=0時，y=2,.點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,2）,點(diǎn)A（-1,0）、點(diǎn)D（2,0）,.AD=2-（-1）=3,Sacad=3232，Sapdb=3, 點(diǎn)B（4,0）、點(diǎn)D（2,0）,.BD=2, .|n|=3X2+,2=3 .n=3或-3,當(dāng)n=3時，1 23-m-m23,2 2解得

26、：m=1或m=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1,3）或（2,3）;當(dāng)n=-3時，1 23八cm-m232 2解得m=5或m=-2,，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5,-3）或（-2,-3）；綜上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1,3）、（2,3）、（5,-3）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,0）,n24mn01m一解得：2,n2 BO所在的直線的解析式是：y,一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,n), 點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4-2n,n),2_22 EG42nn5n216n1628165n，558,，一，一，當(dāng)n時，線段EG有最小值：5線段EG的最小值為還.5【點(diǎn)睛】本題是對二次函數(shù)知識的綜合考查，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，難

27、度較大，屬于中考的?？碱}型.4.(1)見解析；(2)EFG是等腰直角三角形.理由見解析；(3)J2【分析】(1)延長BE,DG交于點(diǎn)H,根據(jù)四邊形ABCD與四邊形AEFG都為正方形，易證ABEAADG(SAS),則有BEDG,ABEADG,可證BHD90,根據(jù)BEDG,可證四邊形BEGD是等垂四邊形.(2)延長BA,CD交于點(diǎn)H,根據(jù)四邊形ABCD是等垂四邊形，ADBC,有ABCD,ABCD,HBCHCB90,根據(jù)點(diǎn)E,F,G分別是AD,BC,BD的中點(diǎn)_1_1-、可得EG-AB,GF-CD,EG/AB,GF/DC,則可證/EGF=90,即有22AEFG是等腰直角三角形；(3)延長BA,CD交

28、于點(diǎn)H分別取AD,BC的中點(diǎn)E,F,連接HE,EF,HF,根據(jù).11EFHFHE-BC-AD321,EFG是等腰直角三角形，可得221GEGF&AB,EF-12AB,即可得出AB最小值為亞.【詳解】(1)如圖，延長BE,DG交于點(diǎn)H,AC四邊形ABCD與四邊形AEFG都為正方形ABAD,AEAG,BADEAG90.BAEDAG.AABEAADG(SAS).BEDG,ABEADG.ABDADB90ABEEBDADBDBEADBADG90即EBDBDG90,BHD90.BEDG.又BEDG,，四邊形BEGD是等垂四邊形.(2) zkEFG是等腰直角三角形.理由如下：如圖，延長BA,CD交于

29、點(diǎn)H,四邊形ABCD是等垂四邊形，ADBC,ABCD,ABCD HBCHCB90 點(diǎn)E,F,G別是AD,BC,BD的中點(diǎn)一11一 .EGAB,GFCD,EG/AB,GF/DC,22BFGC,EGDHBD,EGGF. 金GF=EgDI/fGD=ABDIDBCIZGFB=&BDIJDBCIC=HBCI/HCB=90, EFG是等腰直角三角形；(3)如圖，延長BA,CD交于點(diǎn)H分別取AD,BC的中點(diǎn)E,F,連接HE,EF,HF,II1,11則EFHFHE-BC-AD3222由(2)可知以EFG是等腰直角三角形，_1GEGFAB22AB2.EFTGe2-GF2“；AB：+gABAB&E

30、F/亞.AB最小值為也.【點(diǎn)睛】本題是新定義類探究題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理，解決本題需利用新定義，逐一討論，解題中利用條件，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.5.問題探究：(1)24；(2)存在，BC的最小值為213；問題解決：存在，144【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；(2)如圖2中，連接OA,OB,OC,作OEBC于E.設(shè)OBOC2x.求出x的最小值即可解決問題；(3)如圖3中，連接AF，延長BC交AE的延長線于G,將AEFM順時針旋轉(zhuǎn)得到FBH,作4FNH的外接圓OO.由(2)可知，當(dāng)zFNH的外接圓的圓心O在線段BF上時，4FNH的面積最小，

31、此時四邊形ANFM的面積最大.【詳解】解：(1)當(dāng)ADBC時，&ABC面積的最大，1 1則bABC面積的最大值是一BCAD-8624,22故答案為：24；(2)如圖中，連接OA,OB,OC,作OEBC于E.設(shè)OAOC2x,圖2.COB2CAB120,OCOB,OECB,CEEB,COEBOE60,OE1OBx,BE2.OCOE孑AG,3x3,x?1,.x的最小值為1,BC23x,BC的最小值為2m；EF，延長BC交AE的延長線于G,(3)如圖中，連接AF,G.D90,ADDE6.26,DAEAED45,CDAB6.212,CECF6,CEFCFE45,AEF90,EF6、2BF,將AE

32、FM順時針旋轉(zhuǎn)得到aFBH,作FHB的外接。交BC于N,連接ON,AEFABF90,AFAF,EFBF，RtAAEFRtAABF(HL),S»AAEFS»AABF,EFG45,FEG90,EFG45,EFEG6.2，F(xiàn)G,2EF12，由(2)可知，當(dāng)4FHN的外接圓的圓心O在線段BF上時，4FNH的面積最小，此時四邊形ANFE的面積最大，設(shè)OFONr,則OBBN二r,2,2-rr6,2,2r6、.2(2.2),NH、2r12(2，.11，四邊形ANFM的面積的最大值2(126亞)67212(2J2)67222144.【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角

33、形，最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.6.(1)73cm,(2)證明見解析；(3)2cm；【分析】先根據(jù)AB=3cm,AP:BP=1:2,計(jì)算出AP、BP的長度，再根據(jù)勾股定理即可求得AE的長度；(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，進(jìn)而得到PB=PEBF=EF/BPF=ZEPF,根據(jù)平行的，f質(zhì)再證明BP=BF=EF=EPJR可得到答案；(3)找到E點(diǎn)離A最近和最遠(yuǎn)的兩種情況，運(yùn)用矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離；【詳解】解：(1)AB=3cm,12右AP：BP=1：2,則AP=-AB1cm,BP=-AB2cm,33根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：

34、PE=PB=2cm又四邊形ABCD是矩形，/A=90,°AP2AE2PE2,即：12AE222，AE23,即:AEM,故AE的長為：J3cm;（2）二折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ, 點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱.PB=PEBF=EF/BPF=/EPF.又EF/AB,/BPF=ZEFP（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），/EPF=/EFP（等量替換），.EP=EF .BP=BF=EF=ER四邊相等的四邊形是菱形）， 四邊形BFEP為菱形；（3）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，如圖2所示，此時點(diǎn)E離點(diǎn)A最近,圖2 四邊形ABCD是矩形，BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,ZA=ZD=90

35、76;. 點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱， .CE=BC=5cm在RtACDE,DEVcE2CD24 .AE=AD-DE=5-4=1cm,此時AE=1cm；當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時，如圖3所示，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn).冢力ED圖3此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm.點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離為2cm.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定方法、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是依題意畫出正確的圖形，運(yùn)用折疊的對稱性解決問題.7.(1)12;(2)¥733;(3)CH的最小值為3473988【分析】(1)連接OP,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理的推論可得ACBC,/BDC=90,利用勾股定理求出A

36、B,然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出CD,根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OPCD時，點(diǎn)P,O的距離最小，從而求出PD的長；(2)連接CE,則ECF90,利用勾股定理即可求出AE,然后根據(jù)相似三角形的判定定理證出MCEMFC,列出比例式，根據(jù)正切的定義即可求出結(jié)論；(3)以BD為直徑作OG,則G為BD的中點(diǎn)，利用勾股定理和圓的基本性質(zhì)求出半徑DG,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得點(diǎn)H一定在。G上，當(dāng)點(diǎn)C,H,G在一條直線上時，CH最小，利用勾股定理求出CG,即可求出結(jié)論.【詳解】解：(1)如圖1,連接OP,AC切OO于點(diǎn)C,BC為直徑ACBC，/BDC=90vBC30,AC40,AB50.一11一由Smdc

37、ABCDACBC,22rr1_1即-50CD4030,22解得CD24,1當(dāng)OPCD時，點(diǎn)P,O的距離最小，此時PDCD12.2(2)如圖2,連接CE,則ECF90由(1)知，ACB90,由AO2AC2OC2,222得AE154015,解得AE5斥15.丫ACBECF90,ACEBCFAFC.又CAEFAC,AACEMFC,CEAE.FCAC,lCEAE5.7315,'733tanFCFAC404088榭L(3) CH的最小值為3斥9.如圖3,以BD為直徑作OG,則G為BD的中點(diǎn),BD=.'BC2CD218-1.DG-BD9,2,DHPB,.點(diǎn)H總在。G上，GH9,，當(dāng)點(diǎn)C,H

38、,G在一條直線上時，CH最小，此時，CGCD2DG2.24292373，CH3.739,即CH的最小值為3，739.【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的綜合大題、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理，掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理及推論、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵.8.(1)見解析;2)D(23,&+2);(3)立7.332【分析】(1)連接PA先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出OA、OB、OP和AP的長，即可確定點(diǎn)A在圓上，根據(jù)相似三角形的判定定理證出AOPPOA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等量代換證出PA，AB,即可證出結(jié)論；(2)連接PA,PD,根據(jù)切線長

39、定理可求出/ADP=/PDO1ZADC=60°,利用銳角三21角函數(shù)求出AD,設(shè)D(m,m+2),根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式求出m的值即可；(3)在BA上取一點(diǎn)J,使得BJ=手，連接BG,OJ,JG,根據(jù)相似三角形的判定定理證出BJ84BGA,列出比仞式可得GJ=1AG,從而得出1AG+OG=GROG,設(shè)J點(diǎn)的坐22n,從而求出OJ1標(biāo)為(n,n+2),根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任忌兩點(diǎn)之間的距離公式求出2的長，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得GROGRJ,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)證明：如圖1中，連接PA1一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn),A(0,2

40、),B(-4,0),.OA=2,OB=4,.P(1,0),.OP=1,.oa2=ob?op,ap=,oa2op2.5/AOB=/AOP=90°,.AOBsFOA,/OAP=/ABO, /OAP+ZAPO=90°, /ABO+ZAPO=90；/BAP=90°,PAXAB,.AB是。P的切線.(2)如圖1-1中，連接PA,PD.DA,DC是。P的切線，/ADC=120；1,-/ADP=/PDC=/ADC=602/APD=30； /PAD=90°.AD=PA?tan3015,設(shè)D(m,1m+2)2m2+(1m+2-2)22_15一,9解得m=±述點(diǎn)D

41、在第一象限,2.33 m=3c,2、3 D(3(3)在BA上取一點(diǎn)J,使得BJ=-5,連接2OJ,JG.OA=2,OB=4,ZAOB=90°,AB=JOA12OB2=幅42BG=.5,BJ=逆,2.-.BG=BJ?BA,BGBA=,BJBG/JBG=/ABG,.BJGBGA,.JGBG1.,AGAB2一1一GJ=AG,2BJ=,設(shè)J點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n,B的坐標(biāo)為（-4,0）O1O(n+4)2+(n+2)2=解得：n=-3或-5（點(diǎn)J在點(diǎn)54B右側(cè)，故舍去），一1、J(3,),237.GJ+OGQ1AG+OG巨371-一，一AG+OG的最小值為2故答案為_27.2【點(diǎn)睛】此題考查的是一次

42、函數(shù)與圓的綜合大題，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)和兩點(diǎn)之間線段最短是解決此題的關(guān)鍵.9. (1)2；(2)CD1J3;(3)CD的值最大，此時CD272.【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)60?？芍?，4ACC為等邊三角形，進(jìn)而C'CAC=2即可求解.(2)過點(diǎn)B作BH，CD于H,求得4CBH三邊之比為1：J3：2,進(jìn)而求出CH和BH的長，再求得4DBH為等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH即可求解.證明B'ABiC'AC,再取AB的中點(diǎn)H,以H為圓心，HB為半徑作OH,連接CH,得出D點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為以H為圓心，HA為半徑的圓，當(dāng)

43、CD是該圓的直徑時CD最大，即可求解.【詳解】解：(1):旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)的邊相等，AC=AC又旋轉(zhuǎn)60°,.ACC為等邊三角形C'CAC2.故答案為2.(2)如圖2中，作BHCD于H,如下圖所示：圖2ABAB',BAB'60ABB'是等邊三角形，DBMACM60,-1/DMB=AMC,BDCBAC45,且DBH為等腰直角三角形,BCHBCAACC'30BHDH1BC1,CH3.2CDCHDF13.故答案為：1.'3.3CD的長有最大值為2J2,理由如下，如下圖3中,B'AC'BAC45B'ABC'ACAB&

44、#39;AB,ACAC'AB'ABAC'ACB'AB-C'AC二/DBM=/ACMDMBAMCBDMMAC45取AB的中點(diǎn)H,以H為圓心，HB為半徑作GH,連接CH.；CACB,ACB90CHAB,CHBHAH,BHC90,-1,-，BDC一一,BHC2點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以H為圓心，HA為半徑的圓，當(dāng)CD是該圓的直徑時CD最大，故CDAB時，CD的值最大，此時CD2V2.故答案為22.【點(diǎn)睛】本題綜合考察了旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形三邊之比、相似三角形的性質(zhì)和判定、圓的相關(guān)知識等，熟練掌握線段繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60。會得到等邊三角形這個特點(diǎn)進(jìn)而求解本

45、題.910. (1)/ADE=30;(2)/ADE=30,理由見解析；(3)一2【分析】(1)利用SAS定理證明ABDACE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=AE,/CAE=/BAD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可證明;(2)同(1)的證明方法相同；AD2(3)證明ADQACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF2土，求出AD的最小值,6得到AF的最小值，求出CF的最大值.【詳解】解：(1)/ADE=30.理由如下：AB=AC,/BAC=120,/ABC=ZACB=30,°/ACM=ZACB/ACM=ZABC,在ABD和AACE中，ABACABCACE,BDCE.ABDAACE

46、,.AD=AE,/CAE=/BAD,/DAE=ZBAC=120,°/ADE=30(2) (1)中的結(jié)論成立，證明：/BAC=120,AB=AC,/B=/ACB=30:3 /ACM=ZACB/B=/ACM=30:在ABD和4ACE中，ABACABCACE,BDCE4 .ABDAACE,.AD=AE,/BAD=/CAE,5 /CAE-+ZDAC=ZBAD+/DAC=ZBAC=120.即/DAE=120,6 .AD=AE,/ADE=ZAED=30；°(3) AB=AC,AB=6,.AC=6, /ADE=ZACB=30且/DAF=ZCAD, .ADFAACD,ADAFACAD.AD

47、2=AF?AC, .AD2=6AF,.AF=AD2當(dāng)AD最短時，AF最短、CF最長，易得當(dāng)ADBC時，AF最短、CF最長，此時AD=1AB=3,2AF最短=AD29_36一239CF最長一ACAF最短=6一=一.22【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形、相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.11.(1)5;(2)PQ/AD,理由見解析；(3)近2【分析】(1)求出AE=J5,證明ABEsDEA,由-AD-Al可求出AD的長；(2)過點(diǎn)E作EF±AD于點(diǎn)F,證明PEQ4QEC再證EP

48、gA'ED',可得出/EPQ=ZEA'D',則結(jié)論得證；(3)由(2)知PQ/A'p取A'的中點(diǎn)N,可得出/PEM為定值，則點(diǎn)M的運(yùn)動路徑為線段，即從AD的中點(diǎn)到DE的中點(diǎn)，由中位線定理可得出答案.【詳解】解：(1)1AB=2,BE=1,/B=90°, AE=TAb2_BE7=&12=a/5， /AED=90°, /EAD+/ADE=90; 矩形ABCD中,/ABC=/BAD=90；ZBAE+ZEAD=90°,/BAE=/ADE, .AB&DEA,ADAE一,AEBEAD5丁不，AD=5；(2) PQ

49、/A'D'理由如下： AD5,AE>/5,ZAED=90°DEJDA2AE2=j52(J5)2=2V5, ，AD=BC=5,.EC=BC-BE=51=4,./A'ED'=/AED=90°, /PE3/CEQ./C=/PFE=90°, .PERQECEPEF21,EQEC42.空EA近1EDED2、52'EPEA,EQED .PQ/A'D(3)連接EM,作MNLAE于N,由(2)知PQ/A'D'/EPQ=/A'=/EAP,又APEQ為直角三角形，M為PQ中點(diǎn)，.PM=ME,/EPQ=/PE

50、M, /EPF=/EAP吆AEA；/NEM=/PEM+ZAEA/EPF=/NEM,又/PFE=ZENM-90°, .PEFAEMN,NMEMPQ*=為7E值，EFPE2PE又EF=AB=2,二.MN為定值，即M的軌跡為平行于AE的線段,.M初始位置為AD中點(diǎn)，停止位置為DE中點(diǎn)，.M的軌跡為4ADE的中位線，【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，中位線定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12. 1作圖見解析；2證明見解析；3證明見解析；4EF最小值為吏6.21當(dāng)AECD,此時AC是。O的直徑，作出AC的中點(diǎn)O后，以O(shè)A為半徑

51、作出OO即可作出點(diǎn)E、F;2易知AC為直徑，則AFBC,S四邊形abcdBCAFCDAE,從而得證；AMAB小3如圖，作AMBC,ANCD,若E在DN之間，由2可知，然ANADAMAFAB后再證明aAMFsANE,從而可知,若E在CN之間時，同理可ANAEAD證；4由于A、F、C、E四點(diǎn)共圓，所以FAEBCD180，由于四邊形ABCD為平行四邊形，B45,從而可證FOE為等腰直角三角形，所以FEJ2r,由于ANAC2R,所以E與N重合時，F(xiàn)E最小.【詳解】1如圖1所示,2如圖，易知AC為直徑，則AFBC,則S四邊形abcdbcafcdae,AFCDABAEBCAD'3如圖，作AMBC,

52、ANCD,若E在DN之間AMAB由2可知，ANAD,A、FC、E四點(diǎn)共圓，AFCAEC180,AFCAFM180,AENAFM,aAMFANE,地MFsaANEAMAFABANAEAD若E在CN之間時，同理可證4A、FC、E四點(diǎn)共圓，F(xiàn)AEBCD180，:四邊形ABCD為平行四邊形，B45：BCD135,FAE45,FOE90,FOE為等腰直角三角形,FE2r，ANAC2R,E與N重合時，F(xiàn)E最小,2BM3,則CM2AC13此時FE-AC2由勾股定理可知:在aABC中，AM此時EF最小值為I62考查圓的綜合問題，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識.13. (1)1;(2)證明見解析；(3)最大值為43房同理最小值為375