初中平面幾何教育價值研究

1、初中平面幾何教育價值研究摘要：本文以初中平面幾何內(nèi)容為研究對象，對初中平面幾何內(nèi)容對學(xué)生能力的培養(yǎng)、解題思想方法等方面的教育價值進(jìn)行研究，主要從學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、平面幾何教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)等方面分析初中平面幾何的教育價值。關(guān)鍵詞：平面幾何；教育價值；問題解決平面幾何一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，弗萊登塔爾在其著作作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)中寫道：在認(rèn)識現(xiàn)實世界與聯(lián)系實際、使現(xiàn)實數(shù)學(xué)化方面，幾何的作用是無法替代的。數(shù)和形都是對現(xiàn)實世界的反映1。大綱指導(dǎo)下平面幾何教學(xué)對初中生存在以下積極影響：通過平面幾何教學(xué)可以使學(xué)生掌握一些平面圖形的性質(zhì)，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生能夠

2、掌握參加生產(chǎn)活動和繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科研究所必須的平面幾何的基礎(chǔ)知識。初中平面幾何的教育價值有以下體現(xiàn)：2.1有助于培養(yǎng)形象思維能力在平面幾何的教學(xué)和解題過程中，圖形語言和數(shù)學(xué)語言之間的互譯是必不可少的，用數(shù)學(xué)語言來描述圖形的基本特征，將數(shù)學(xué)語言用圖形呈現(xiàn)出來。學(xué)生通過對已學(xué)知識的進(jìn)行加工，數(shù)學(xué)形象思維得以提高。如在初中課堂中介紹了勾股定理，此定理僅適用于直角三角形。推廣勾股定理，考慮一般三角形的三邊關(guān)系，可以得到廣勾股定理（余弦定理）：定理在三角形中，銳角（或鈍角）所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去（或加上）這兩邊中的一邊與另一邊在這邊（或其延長線）上的射影的乘積的2倍。要證明這個定

3、理，首先要把這個定理轉(zhuǎn)化為一個幾何證明題的形式：例1:已知在ABC中，ZA,/B,/C所對的邊分別為a,b,c,過點A作b的高，垂足為D,求證：C（1）當(dāng)/C為銳角時，c2=a2+b2-2aCD、中（2）當(dāng)/C為鈍角時，c2=a2+b2+2aCDb/證（1）設(shè)角C為銳角，如圖3-1所示。作AD/LBC于D,則CD就是AC在BC上的射影AB=BD+AD圖3-1=(AC-CD)+(BC-CD)第1頁共7頁=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC-CD=AC2+BC2-2BC-CD,即c2=a2+b2-2aCD。(2)設(shè)角C為鈍角，如圖3-2所示.過A作AD與BC延長線垂直于D,則CD就是AC在BC

4、(延長線)上的射影。則ab2=bd2+ad2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC-CD=AC2+BC2+2BC-CD,即c2=a2+b2+2aCD。綜合，就是我們所需要的結(jié)論c2=a2+b242a-CD特別地，當(dāng)/C=90°時，CD=0,上述結(jié)論正是勾股定理的表述:c2=a2+b2.2.2有助于培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力創(chuàng)新思維是指以新穎獨創(chuàng)的方法解決問題的思維過程，在平面幾何問題中，常常會有一題多解的情況，這樣不僅沒有降低題目的難度，反而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。例3:如圖3-4,已知在ABC中，AB=AC,是AC延長線上一點，且有BF=CE,連接F

5、E交BC于D,求證：FD=DE。分析：本題是初三的一道幾何復(fù)習(xí)題，可用對稱、旋轉(zhuǎn)方法證明，也可用平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等方法來證明，對平面幾何知識有一個系統(tǒng)的復(fù)習(xí)。以下分別用三種類型七種方法證明：第2頁共7頁類型一：利用平行線的性質(zhì)證明:法一：如圖3-5,過E點作EM/AB交DC延長線于M點，則/M=/B,又因為/ACB=/B,/ACB=/ECM=/M,所以CE=EM，又EC=BF,從而EM=BF,/BFD=/DEMSDBF04DME,故FD=DE。法二：如圖3-6,過F點作FM/AC交BC于M點，則/MFE=/AEF,又因為/ACB=ZB,ZACB=/FMB,所以BF=FM,又EC=

6、BF,從而EC=FM,/FMD=/ECD,則DMFADCE,故FD=DE。類型二：利用旋轉(zhuǎn)、對稱方法證明：法三：如圖3-7,以BC為對稱軸作4BDF的對稱BDN,連接NE,WJDBFWDBN,DF=DN,BN=BF,NF-LBD,/FBD=/NBD,又因為/C=/FBD,所以/NBD=/C,BN/CE,CE=BF=BN,所以四邊形BNCE為平行四邊形。故NF/BC,所以NF-LNE,因FN圖3-7被BD垂直平分，故D是FE的中點，所以FD=DE。（也可證明D是RtANEF斜邊的中點）法四：如圖3-8,以BC為對稱軸作DCE的對稱DCN，連接NF,則DCE應(yīng)DCN,BF=CN=CE,/NCM=/

7、ECM,又/ECM=/ACB,故/NCM=/ACB,又/ABC=/ACB,所以/ABC=/NCM,CN/BF,所以四邊形BCNF為平行四邊形。故NF/BC,/NCM=/FNC=/ACB=/NGE,CG=CN=CE,故C是GE的中點，CD為aFFG的中位線，所以FD=DE第3頁共7頁FD=DE0類型三：利用中位線的性質(zhì)證明:法五：如圖3-9,把EDC繞C點旋轉(zhuǎn)180°,WAGMC,貝U4EDC04GMC,CE=GC=BF,連接FG,由于GC=BF,則AF=AG,/AGF=/AFG,故FG/BC,所以四邊形FBMG為等腰梯形，所以FG/DC,故DC是EGF的中位線，所以法六：如圖3-10

8、,在CA上取CG=CE,則CG=BF,AF=AG,所以FG/BC,又因為/AGF=/ACB,所以FBCG為等腰梯形，所以FG/BC,故DC是EGF的中位線，所以FD=DE。法七：如圖3-11,延長AB至G,使BG=CE,又因AB=AC,BF=CE,WJAG=AE,ABAC=,所以BC/CE,則BD是AFGE的中位線，所以FD=DE。ACAE2.3有利于培養(yǎng)合情推理能力波利亞在數(shù)學(xué)與猜想一書中提到合情推理是合乎情理的猜想，當(dāng)面臨新知識時，學(xué)生會根據(jù)以往的知識經(jīng)驗嘗試提出某個猜想，這個猜想可能和教師預(yù)想的結(jié)果有些遙遠(yuǎn)，但是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過不斷地嘗試和修改猜想，最終總能得到一個令人滿意的猜想

9、。2”在平面幾何中，幾何圖形的性質(zhì)探究是教學(xué)的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能第4頁共7頁力的有效途徑。在課堂上，相比于直接給出圖形的性質(zhì)再進(jìn)行證明，教師讓學(xué)生先經(jīng)歷猜想的過程再對性質(zhì)進(jìn)行歸納能夠加深學(xué)生對于圖形性質(zhì)的掌握。如在平行四邊形的定義及性質(zhì)一課中，教師為了加深學(xué)生對平行四邊形性質(zhì)的掌握，介紹完平行四邊形的定義之后，讓學(xué)生通過一張平行四邊形紙片猜想平行四邊形的性質(zhì)。學(xué)生中有以下兩種做法：用手按住平行四邊形的其中一個內(nèi)角，將其旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的平行四邊形完全重合。再剪一個完全一樣的平行四邊形，觀察平行四邊形對角，對邊之間的數(shù)量關(guān)系。教師將學(xué)生得到的猜想依次寫在黑板上，稍后

10、進(jìn)行證明，最后得出平行四邊形對邊相等，對角相等的性質(zhì)。又如在菱形的定義及性質(zhì)一課中，教師引導(dǎo)學(xué)生探究菱形的性質(zhì)的過程中：如圖3-12,將矩形紙片對折兩次后，剪下一個直角三角形，將其展開，得到一個菱形，讓學(xué)生觀察、思考菱形有什么特殊的性質(zhì)，最后利用全等三角形的性質(zhì)證明了菱形對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角的性質(zhì)。3.平面幾何解題思想方法的教學(xué)價值3.1分類討論思想分類討論思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一種思想方法，不僅應(yīng)用于代數(shù)方面，幾何方面也有廣泛的應(yīng)用，線段端點位置的不確定性，角的一邊的不確定性，三角形形狀的不確定性，等腰三角形腰與底的不確定性，直角三角形中直角邊和斜邊的不確定性，相似三角形

11、的對應(yīng)角（邊）的不確定性，點與圓的位置的不確定性，圓中弦所對弧的優(yōu)劣的不確定性，兩弦與直徑位置關(guān)系的不確定性，這些不確定性都需要學(xué)生運用分類討論的思想來分析，增強了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。例4:如圖4-1,在直角梯形ABCD中，AD/BC,/C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,動點P從D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，經(jīng)線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B第5頁共7頁運動，點P、Q分別從D、C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設(shè)運動時間為t秒。（1）設(shè)4BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）當(dāng)為何值時，以B、P

12、、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？解：（1）如圖4-2,過點P作M_LBC于M,則四邊形PDCM為矩形，故PM=DC=12。1一一1-QB=16-t,s=-QBPM=-16-t12=96-6t0Mt<16由圖可知，CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若PQ=BQ,在RtAPMQ中，PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得t=7;2若BP=BQ,在PMB中，PB2=(16-t)2+122,由PB2=BQ2得(16-2t)2+122=(16-t)2,即3t2-32t+144=0,此時，=-704<0,

13、所以此方程無解，BP#BQ。若PB=PQ,由PQ2=BP2得（16-2t）2+122t2+122,得G=16t2=16（不合題意，舍去）。3綜上所述，當(dāng)t=7s或t=16s時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形。233.2類比思想運用類比思想，可以通過將已有的相似知識與陌生的問題進(jìn)行類比，建立聯(lián)系，從而創(chuàng)造性的解決問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思想運用的前提是對已有知識的充分掌握和對其本質(zhì)的了解，才能將其與陌生的問題進(jìn)行類比，運用類比思想，可以提高學(xué)生思維的深刻性，加深學(xué)生對知識的理解。例5:n邊形共有血二3）條對角線。2分析：n邊形有n個頂點，不能和自己連成對角線，不能和旁邊兩個頂點連成對角線

14、，則通過一個頂點得對角線有（n-3）條，但每條對角線重復(fù)了兩次，故共有nn3）條2對角線。參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進(jìn)行一場比賽，共比賽45場，共有多少個隊參加比賽?第6頁共7頁分析：在一元二次方程的實際應(yīng)用中，類比n邊形對角線的求法，將參加足球聯(lián)賽的每一隊看成一個點，假設(shè)有n個隊，每個隊都可以與除自身之外的其他參賽隊連成一條直線，故每個隊共比賽了（n-1）場，但實際上，每兩個隊之間只進(jìn)行了一場比賽，故共有n（n1）場比賽，根據(jù)等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列出方程解決問題。2一個小組有若干人，新年互送賀卡，若全組人共送賀卡72張，這個小組共有多少人？分析：類比n邊形對角線的求法，將小組中的每一個成員看成一個點，假設(shè)有n位成員，每位成員都可以與除自身之外的其他成員連成一條直線，即每位成員都可以收到除自身之外的成員送的賀卡，故每位成員可收到（n-1）張賀卡，但不同的是，在這種情況下，總賀卡數(shù)不用減半，小組成員中兩個人之間確實互送了兩張賀卡，故共有n（n-1）張?？偨Y(jié)：本例中有兩種類型的例題，為多角形對角線條數(shù)的求法，為幾何問題，為一元二次方程的應(yīng)用中的