函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點11.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,),()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相應(yīng)于相應(yīng)于稱為函數(shù)稱為函數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第1頁/共26頁注：增量可為正亦可為負 例1：設(shè)函數(shù) 2xy ，求當(dāng) 1 . 0, 20 xx函數(shù) y 的增量 時解 )()(00 xfxxfy 39. 029 . 122 第2頁/共26頁2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)

2、函數(shù))(xf在在),(0 xU內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,. . ,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應(yīng)的對應(yīng)的 函數(shù)的增量函數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx . . 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函那末就稱函 數(shù)數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. . 第3頁/共26頁:定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒

3、有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)注意注意：函數(shù)在某點的連續(xù)性與函數(shù)在該點的定義有關(guān)：函數(shù)在某點的連續(xù)性與函數(shù)在該點的定義有關(guān)處連續(xù)處連續(xù)在點在點0)(xxf第4頁/共26頁例例2 2.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 第5頁/共26頁例例 3)(xf是定義于是定義于,ba上的單調(diào)增加函數(shù)，上的單調(diào)增加函數(shù)，),(0bax 若若)(lim0 xfxx存在，存在，證證設(shè)設(shè),)(lim0Axfxx 由于由于)(xf單調(diào)增加，單

4、調(diào)增加， 則則當(dāng)當(dāng)0 xx 時，時，),()(0 xfxf ),()(lim00 xfxfAxx 當(dāng)當(dāng)0 xx 時，時，),()(0 xfxf ),()(lim00 xfxfAxx 由此可見，由此可見，),(0 xfA 即即),()(lim00 xfxfxx 因此因此)(xf在在0 x連續(xù)連續(xù).證明證明)(xf在在0 x連續(xù)連續(xù).第6頁/共26頁3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()(,()(處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)00000 xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxf

5、xxf.)(),()(,),)(處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)00000 xxfxfxfbxxf 第7頁/共26頁例例4 4.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf第8頁/共26頁4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)

6、連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的有理函數(shù)在區(qū)間有理函數(shù)在區(qū)間第9頁/共26頁例例5 5.),(cos內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxycos)cos( )2sin(2sin2xxx , 1)2sin( xx.2sin2

7、xy 則則,0,時時當(dāng)當(dāng)對任意的對任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng).),(cos都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy第10頁/共26頁注： 0)(lim0)(lim xfxfaxfaxf )(lim0)(lim第11頁/共26頁:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)

8、函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf例如 xxf1)( x=0是它的間斷點 第12頁/共26頁間斷三情形：間斷三情形：;)()1(0處沒有定義處沒有定義在點在點xxf;)(lim,)()2(00不存在不存在但但處有定義處有定義在在雖然雖然xfxxfxx;)(lim,)()3(00存在存在且且處有定義處有定義在在雖然雖然xfxxfxx)()(lim00 xfxfxx 但但第13頁/共26頁間斷點分類：間斷點分類：第第一一類類間間斷斷點點：.)()(),(,)(的第一類間斷點的第一類間斷點為為都存在，則稱都存在，則稱且且的間斷點的間斷點為為設(shè)

9、點設(shè)點xfxxfxfxfx000000 第第二二類類間間斷斷點點：斷斷點點第第一一類類間間斷斷點點以以外外的的間間.)()()(的跳躍間斷點的跳躍間斷點為為，則稱，則稱若若xfxxfxf00000 .)()()()()(的可去間斷點的可去間斷點為為則稱則稱不存在，不存在，或或但但若若xfxxfxfAAxfxf0000000 第14頁/共26頁例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxfoxy.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 x0lim( )0 xf x 0lim( )1xf x 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處

10、的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 .1為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x解解, 1)1( fxfx2011 lim)(,)(201 f同同理理2)(lim1 xfx),1(f 2 第15頁/共26頁注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112第16頁/共26頁例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf

11、解解oxy,)(000 f,)( 00f.0為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類間間斷斷點點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間第17頁/共26頁例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間第18頁/共26頁 , 0, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間

12、斷點斷點.如如注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.第19頁/共26頁例例9 9.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),()()(00000fff ,1時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a要使函數(shù)在 x=0處連續(xù)，則必須 第20頁/共26頁例例10 10 討論函數(shù)討論函數(shù)1sin,0,( )0.,0,xxxf xxxex 在在處處連連續(xù)續(xù)解

13、解00lim( )lim()xxxf xe 1, 001lim( )lim(sin)xxf xxx 0,0, 不不存存在在,0,0(0)1,f )0()0()0(fff 要使要使0,1, 故故當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時時.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf0, 10, 第21頁/共26頁1.會判斷間斷點的類型會判斷間斷點的類型2.會由連續(xù)的條件討論某些待定常數(shù)的取值會由連續(xù)的條件討論某些待定常數(shù)的取值;作業(yè)A：習(xí)題19: 3(2, 4), 4, 5, 6 作業(yè)B：習(xí)題19: 3(2, 4), 5, 6 第22頁/共26頁思考思考題題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？第23頁/共26頁思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連續(xù)，連