經(jīng)典諧振子與量子諧振子

1、. .經(jīng)典諧振子與量子諧振子摘要：本文分別介紹了經(jīng)典諧振子與量子諧振子的運(yùn)動(dòng)，詳細(xì)分析了簡諧振子在經(jīng)典力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及其運(yùn)動(dòng)方程，從運(yùn)動(dòng)方程中描述了力、位移、速度及加速度之間的關(guān)系并驗(yàn)證了簡諧運(yùn)動(dòng)的能量守恒。而在量子力學(xué)中通過對(duì)諧振子能量的推導(dǎo)及其分析，清晰地看到了諧振子在宏觀世界與微觀世界的不同。關(guān)鍵字：經(jīng)典諧振子；量子諧振子；運(yùn)動(dòng)方程；能量The Classical Harmonic Oscillator and Quantum OscillatorAbstract:In this paper the classical harmonic oscillator quantum harmo

2、nic oscillator with the movement isdescribed, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship between verify the conservation

3、 of energy for simple harmonic motion. In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.Keywords:classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of m

4、otion；energy引言簡諧振子是力學(xué)中一個(gè)十分重要的問題,在實(shí)際運(yùn)用發(fā)面涉及到的機(jī)械運(yùn)動(dòng)的大多數(shù)問題都可簡化為簡諧振子的運(yùn)動(dòng)問題，而且在聲學(xué)、光學(xué)等許多物理問題中都會(huì)出現(xiàn)類似諧振子運(yùn)動(dòng)方程的方程。簡諧振子顯示了許多物理系統(tǒng)的共同特征。1經(jīng)典諧振子1.1簡諧運(yùn)動(dòng)及簡諧振子任何在相等時(shí)間間隔內(nèi)重復(fù)自身的運(yùn)動(dòng)都叫做周期運(yùn)動(dòng)，在周期運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移總可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)來表示，這種周期運(yùn)動(dòng)常叫做諧運(yùn)動(dòng)，如果做周期運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在同一路線上來回運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做振動(dòng)1。假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近來回振動(dòng)該質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能按下式改變：式中k是常數(shù)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為F，這樣振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)叫做簡諧振子，而它的運(yùn)

5、動(dòng)就叫做簡諧運(yùn)動(dòng)1。一個(gè)系于倔強(qiáng)系數(shù)為k的理想彈簧上并且在光滑水平面上質(zhì)量為m的物體就是簡諧振子的一個(gè)例子，如圖1所示。圖1簡諧振動(dòng)1.2簡諧運(yùn)動(dòng)方程及其特點(diǎn)先將牛頓第二定律應(yīng)用到圖1的運(yùn)動(dòng)中，以代替并且將加速度寫成,那么得該方程叫做簡諧振子的運(yùn)動(dòng)方程2。根據(jù)微積分學(xué)，我們知道正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有這種性質(zhì)，這樣就可以寫出運(yùn)動(dòng)方程的嘗試解為：將代入運(yùn)動(dòng)方程得：所以，如取常數(shù)的數(shù)值使得，那么實(shí)際上就是簡諧振子運(yùn)動(dòng)方程的解3。如果在式中將時(shí)間增加一個(gè)數(shù)值，函數(shù)就變成了所以，是運(yùn)動(dòng)的周期。因?yàn)?，故有因此由方?,給出的所有運(yùn)動(dòng)都有一樣的運(yùn)動(dòng)周期，并且這周期僅由振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)決定。振

6、子的頻率，是單位時(shí)間完全振動(dòng)的次數(shù)，由下式給定量叫角頻率，是運(yùn)動(dòng)振幅，簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率與運(yùn)動(dòng)的振幅無關(guān)，量是運(yùn)動(dòng)的相位，常數(shù)叫初相位4。UF(x)簡諧振子勢(shì)能曲線隨位移的平方而改變3，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的大小與位移成正比，但方向與位移相反，振動(dòng)的兩極限位置離開平衡位置的距離是相等的，最大位移的大小叫做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅。圖2描述了質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能及力與位移的關(guān)系。圖2質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能及力與位移的關(guān)系簡諧運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)明顯特征是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移，速度，加速度之間的關(guān)系：這些曲線的方程是：那么它最大的位移為,最大的速度為，而最大得加速度為。1.3 簡諧運(yùn)動(dòng)中的能量守恒5對(duì)于包括簡諧運(yùn)動(dòng)在內(nèi)的諧運(yùn)動(dòng)來說，如果沒有耗散力作用在系

7、統(tǒng)上，那么系統(tǒng)的總機(jī)械能量守恒。簡諧運(yùn)動(dòng)的位移由下式給出：在任何時(shí)刻，勢(shì)能AA勢(shì)能的最大值為。在運(yùn)動(dòng)期間，勢(shì)能在零和這個(gè)最大值之間改變，如圖3所示。圖3勢(shì)能的變化曲線在任何時(shí)刻，動(dòng)能為。利用關(guān)系式與得到所以動(dòng)能具有最大值或，這與先前所說的最大速率是一致的。在運(yùn)動(dòng)期間，動(dòng)能在零和這個(gè)最大值之間改變，總機(jī)械能為動(dòng)能與勢(shì)能之和:可見，總能量是恒定的，它具有數(shù)值。在最大位移處，動(dòng)能為零而勢(shì)能為,在平衡位置，勢(shì)能為零而動(dòng)能為。在其它位置，動(dòng)能和勢(shì)能各*獻(xiàn)的能量之總和為。圖3說明了這個(gè)恒定的總能量。作簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的總能量與震動(dòng)振幅的平方成正比。由圖3可以清楚地看出，在一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能恰好等于平均

8、勢(shì)能，并且每個(gè)平均值都是。通常，可將方程寫成，由此關(guān)系式可得到:或這一關(guān)系式清楚地說明：在平衡位置x=0處，速率為零。實(shí)際上，我們可以從能量守恒的方程出發(fā)，通過建方程 積分，而得到最為時(shí)間函數(shù)的位移。所得結(jié)果與式子 完全一樣，而式子是由運(yùn)動(dòng)的微分方程推到出來的5。2量子諧振子2.1量子諧振子的運(yùn)動(dòng)方程所謂的簡諧振子就是一個(gè)受彈性力作用的系統(tǒng)，其勢(shì)能為彈簧系數(shù)，為振子的經(jīng)典頻率。量子諧振子的運(yùn)動(dòng)方程為： 為簡化書寫，令，于是方程化為當(dāng)時(shí)，以上方程有漸進(jìn)解 ，方程的準(zhǔn)確解可寫作：2.2量子諧振子能量6將它帶入 ，得到滿足的方程：次方程厄米方程，可用級(jí)數(shù)法求解，為此令我們要求，否那么，時(shí)，將為無窮。

9、將以上級(jí)數(shù)代入，比較的系數(shù)，可得以下遞推公式：當(dāng)于是有由此得出和。當(dāng)時(shí)，于是有因?yàn)橐?，由此得?否那么必須。在確定后，根據(jù)遞推公式，可只討論，這時(shí)，遞推公式變?yōu)?1)考察以上級(jí)數(shù)的收斂特性，當(dāng)時(shí)，由而 ， 由此可見，從(1)式算得的級(jí)數(shù)，在時(shí)，具有的發(fā)散特性，從而整個(gè)波函數(shù)時(shí)，仍按趨于無窮，這是不能允許的。要防止以上情況，除非方程中的參數(shù)取，取些特定的數(shù)值，已使無窮級(jí)數(shù)中斷為一多項(xiàng)式，這時(shí)波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)就只取決于了。，是與能量有關(guān)的參數(shù)，條件 n=0,1,2,3給出能量這說明不是任何能量值都有相應(yīng)的狀態(tài)存在，可能狀態(tài)的能量，只能取以上量子化的數(shù)值。在經(jīng)典力學(xué)中，振子的能量與振幅平方成

10、正比，振幅可以連續(xù)變化，因而能量亦能連續(xù)取值，并且存在能量為零的靜止?fàn)顟B(tài)7。在量子力學(xué)中情況那么不同，能量只能取量子化的數(shù)值，相鄰能級(jí)的能量差為。基態(tài)亦具有能量，它稱為零點(diǎn)能8。當(dāng)去定后，即可由遞推公式算出相應(yīng)的，從而得出相應(yīng)的波函數(shù)，稱為厄米多項(xiàng)式，它亦可由以下公式直接計(jì)算：=最后波函數(shù)由以下式子給出：其中，對(duì)應(yīng)的能量為下面是量子諧振子的最低幾個(gè)能級(jí)的波函數(shù)和幾率9分布如圖4所示當(dāng)能量低時(shí)的情況：圖4低能量時(shí)量子諧振子的能及的波函數(shù)和幾率分布能量高時(shí)的情況如圖5所示：圖5高能量時(shí)量子諧振子的能及的波函數(shù)和幾率分布3 經(jīng)典諧振子與量子諧振子的異同10從能量的角度上看，當(dāng)能量高時(shí)量子幾率平均說來

11、與經(jīng)典幾率相近，即能量高時(shí)量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在量子力學(xué)中，由于粒子一開場就處于不定態(tài)，故它有幾率為零的節(jié)點(diǎn)存在，但平均值與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點(diǎn)主要是運(yùn)動(dòng)方程的描述方式不同，經(jīng)典諧振子是用牛頓運(yùn)動(dòng)定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描述的故它們運(yùn)動(dòng)方程不同，方程的解也不同。結(jié)論本文通過詳細(xì)分析諧振子在經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)，得出它們的能量分布幾率根本相似，但它們的運(yùn)動(dòng)描述方式完全不同。從能量的角度上看，當(dāng)能量高時(shí)量子幾率平均說來與經(jīng)典幾率相近，即能量高時(shí)量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在量子力學(xué)中，由于粒子一開場就處于不定態(tài)，故它有幾率為零的節(jié)點(diǎn)存在，但平均值與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點(diǎn)主要是運(yùn)動(dòng)方程的描述方式不同，經(jīng)典諧振子是用牛頓運(yùn)動(dòng)定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描述的故它們運(yùn)動(dòng)方程不同，方程的解也不同。參考文獻(xiàn)：1鄒鵬程.量子力學(xué)M：高等教育，1989：981062X永令,X建華.物理學(xué)根底M：高等教育，1979：1251293陳本黎等.量子力學(xué)中的諧振子M*:*科學(xué)技術(shù),1989：55684X禮、葛墨林.量子力學(xué)的前沿問題M：清華大學(xué)，20