經(jīng)典諧振子與量子諧振子

1、. .經(jīng)典諧振子與量子諧振子摘要：本文分別介紹了經(jīng)典諧振子與量子諧振子的運動，詳細(xì)分析了簡諧振子在經(jīng)典力學(xué)中的運動特點及其運動方程，從運動方程中描述了力、位移、速度及加速度之間的關(guān)系并驗證了簡諧運動的能量守恒。而在量子力學(xué)中通過對諧振子能量的推導(dǎo)及其分析，清晰地看到了諧振子在宏觀世界與微觀世界的不同。關(guān)鍵字：經(jīng)典諧振子；量子諧振子；運動方程；能量The Classical Harmonic Oscillator and Quantum OscillatorAbstract:In this paper the classical harmonic oscillator quantum harmo

2、nic oscillator with the movement isdescribed, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship between verify the conservation

3、 of energy for simple harmonic motion. In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.Keywords:classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of m

4、otion；energy引言簡諧振子是力學(xué)中一個十分重要的問題,在實際運用發(fā)面涉及到的機械運動的大多數(shù)問題都可簡化為簡諧振子的運動問題，而且在聲學(xué)、光學(xué)等許多物理問題中都會出現(xiàn)類似諧振子運動方程的方程。簡諧振子顯示了許多物理系統(tǒng)的共同特征。1經(jīng)典諧振子1.1簡諧運動及簡諧振子任何在相等時間間隔內(nèi)重復(fù)自身的運動都叫做周期運動，在周期運動中質(zhì)點的位移總可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)來表示，這種周期運動常叫做諧運動，如果做周期運動的質(zhì)點在同一路線上來回運動，這種運動就叫做振動1。假設(shè)一質(zhì)點在平衡位置附近來回振動該質(zhì)點的勢能按下式改變：式中k是常數(shù)，作用在質(zhì)點上的力為F，這樣振動的質(zhì)點叫做簡諧振子，而它的運

5、動就叫做簡諧運動1。一個系于倔強系數(shù)為k的理想彈簧上并且在光滑水平面上質(zhì)量為m的物體就是簡諧振子的一個例子，如圖1所示。圖1簡諧振動1.2簡諧運動方程及其特點先將牛頓第二定律應(yīng)用到圖1的運動中，以代替并且將加速度寫成,那么得該方程叫做簡諧振子的運動方程2。根據(jù)微積分學(xué)，我們知道正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有這種性質(zhì)，這樣就可以寫出運動方程的嘗試解為：將代入運動方程得：所以，如取常數(shù)的數(shù)值使得，那么實際上就是簡諧振子運動方程的解3。如果在式中將時間增加一個數(shù)值，函數(shù)就變成了所以，是運動的周期。因為，故有因此由方程 ,給出的所有運動都有一樣的運動周期，并且這周期僅由振動質(zhì)點的質(zhì)量和彈簧的倔強系數(shù)決定。振

6、子的頻率，是單位時間完全振動的次數(shù)，由下式給定量叫角頻率，是運動振幅，簡諧運動的頻率與運動的振幅無關(guān)，量是運動的相位，常數(shù)叫初相位4。UF(x)簡諧振子勢能曲線隨位移的平方而改變3，作用在質(zhì)點上的力的大小與位移成正比，但方向與位移相反，振動的兩極限位置離開平衡位置的距離是相等的，最大位移的大小叫做簡諧運動的振幅。圖2描述了質(zhì)點勢能及力與位移的關(guān)系。圖2質(zhì)點勢能及力與位移的關(guān)系簡諧運動的另一個明顯特征是振動質(zhì)點的位移，速度，加速度之間的關(guān)系：這些曲線的方程是：那么它最大的位移為,最大的速度為，而最大得加速度為。1.3 簡諧運動中的能量守恒5對于包括簡諧運動在內(nèi)的諧運動來說，如果沒有耗散力作用在系

7、統(tǒng)上，那么系統(tǒng)的總機械能量守恒。簡諧運動的位移由下式給出：在任何時刻，勢能AA勢能的最大值為。在運動期間，勢能在零和這個最大值之間改變，如圖3所示。圖3勢能的變化曲線在任何時刻，動能為。利用關(guān)系式與得到所以動能具有最大值或，這與先前所說的最大速率是一致的。在運動期間，動能在零和這個最大值之間改變，總機械能為動能與勢能之和:可見，總能量是恒定的，它具有數(shù)值。在最大位移處，動能為零而勢能為,在平衡位置，勢能為零而動能為。在其它位置，動能和勢能各*獻的能量之總和為。圖3說明了這個恒定的總能量。作簡諧運動的質(zhì)點的總能量與震動振幅的平方成正比。由圖3可以清楚地看出，在一個周期內(nèi)運動的平均動能恰好等于平均

8、勢能，并且每個平均值都是。通常，可將方程寫成，由此關(guān)系式可得到:或這一關(guān)系式清楚地說明：在平衡位置x=0處，速率為零。實際上，我們可以從能量守恒的方程出發(fā)，通過建方程 積分，而得到最為時間函數(shù)的位移。所得結(jié)果與式子 完全一樣，而式子是由運動的微分方程推到出來的5。2量子諧振子2.1量子諧振子的運動方程所謂的簡諧振子就是一個受彈性力作用的系統(tǒng)，其勢能為彈簧系數(shù)，為振子的經(jīng)典頻率。量子諧振子的運動方程為： 為簡化書寫，令，于是方程化為當(dāng)時，以上方程有漸進解 ，方程的準(zhǔn)確解可寫作：2.2量子諧振子能量6將它帶入 ，得到滿足的方程：次方程厄米方程，可用級數(shù)法求解，為此令我們要求，否那么，時，將為無窮。

9、將以上級數(shù)代入，比較的系數(shù)，可得以下遞推公式：當(dāng)于是有由此得出和。當(dāng)時，于是有因為要求，由此得出,否那么必須。在確定后，根據(jù)遞推公式，可只討論，這時，遞推公式變?yōu)?1)考察以上級數(shù)的收斂特性，當(dāng)時，由而 ， 由此可見，從(1)式算得的級數(shù)，在時，具有的發(fā)散特性，從而整個波函數(shù)時，仍按趨于無窮，這是不能允許的。要防止以上情況，除非方程中的參數(shù)取，取些特定的數(shù)值，已使無窮級數(shù)中斷為一多項式，這時波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)就只取決于了。，是與能量有關(guān)的參數(shù)，條件 n=0,1,2,3給出能量這說明不是任何能量值都有相應(yīng)的狀態(tài)存在，可能狀態(tài)的能量，只能取以上量子化的數(shù)值。在經(jīng)典力學(xué)中，振子的能量與振幅平方成

10、正比，振幅可以連續(xù)變化，因而能量亦能連續(xù)取值，并且存在能量為零的靜止?fàn)顟B(tài)7。在量子力學(xué)中情況那么不同，能量只能取量子化的數(shù)值，相鄰能級的能量差為?；鶓B(tài)亦具有能量，它稱為零點能8。當(dāng)去定后，即可由遞推公式算出相應(yīng)的，從而得出相應(yīng)的波函數(shù)，稱為厄米多項式，它亦可由以下公式直接計算：=最后波函數(shù)由以下式子給出：其中，對應(yīng)的能量為下面是量子諧振子的最低幾個能級的波函數(shù)和幾率9分布如圖4所示當(dāng)能量低時的情況：圖4低能量時量子諧振子的能及的波函數(shù)和幾率分布能量高時的情況如圖5所示：圖5高能量時量子諧振子的能及的波函數(shù)和幾率分布3 經(jīng)典諧振子與量子諧振子的異同10從能量的角度上看，當(dāng)能量高時量子幾率平均說來

11、與經(jīng)典幾率相近，即能量高時量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在量子力學(xué)中，由于粒子一開場就處于不定態(tài)，故它有幾率為零的節(jié)點存在，但平均值與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點主要是運動方程的描述方式不同，經(jīng)典諧振子是用牛頓運動定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描述的故它們運動方程不同，方程的解也不同。結(jié)論本文通過詳細(xì)分析諧振子在經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的運動，得出它們的能量分布幾率根本相似，但它們的運動描述方式完全不同。從能量的角度上看，當(dāng)能量高時量子幾率平均說來與經(jīng)典幾率相近，即能量高時量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在量子力學(xué)中，由于粒子一開場就處于不定態(tài)，故它有幾率為零的節(jié)點存在，但平均值與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點主要是運動方程的描述方式不同，經(jīng)典諧振子是用牛頓運動定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描述的故它們運動方程不同，方程的解也不同。參考文獻：1鄒鵬程.量子力學(xué)M：高等教育，1989：981062X永令,X建華.物理學(xué)根底M：高等教育，1979：1251293陳本黎等.量子力學(xué)中的諧振子M*:*科學(xué)技術(shù),1989：55684X禮、葛墨林.量子力學(xué)的前沿問題M：清華大學(xué)，20