線性代數(shù)B-24 矩陣的初等變換-s

1、任課教師任課教師: :胡鳳珠胡鳳珠課本課本2.5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換一、矩陣的一、矩陣的初等變換初等變換二、矩陣的二、矩陣的等價關(guān)系等價關(guān)系三、三、初等矩陣初等矩陣四、四、初等變換法初等變換法求求逆矩陣與矩陣方程逆矩陣與矩陣方程矩陣的初等變換矩陣的初等變換 矩陣的初等變換矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它起源于，它起源于解線性方程組的消元法解線性方程組的消元法。 利用初等變換，可以利用初等變換，可以將矩陣將矩陣A化為形狀簡單的化為形狀簡單的矩陣矩陣B，通過形狀簡單的通過形狀簡單的B來探討來探討A的性質(zhì)。的性質(zhì)。在在求逆求逆陣陣及及矩陣?yán)碚摰奶接懢仃?/p>

2、理論的探討等研究中都起重要的作等研究中都起重要的作用用 。一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換下列下列三種變換三種變換稱為矩陣的稱為矩陣的初等初等行行變換變換：定義定義1 1(1)iji jrr對換變換：對調(diào)兩行（對調(diào) , 兩行,記作）；(2),ikikrk倍乘變換：用非零數(shù) 乘某一行中的所有元素 （第 行乘記作）；下列下列三種變換三種變換稱為矩陣的稱為矩陣的初等初等行行變換變換：定義定義1 1111211212niiinmmmnaaaaaaaaairk111211212niiinmmmnaaakakakaaaa 一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換下列下列三種變換三種變換稱為矩陣的稱為矩陣的

3、初等初等行行變換變換：定義定義1 1(3),ijkkjirkr倍加變換：用數(shù) 乘以矩陣的某一行加到另一行對應(yīng)的元素 上(用數(shù) 乘以第 行加到第 行上 記作).11121121212niiinjjjnmmmnaaaaaaaaaaaa ijrkr1112111221212nijijinjnjjjnmmmnaaaakaakaakaaaaaaa一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換同理可定義同理可定義矩陣的初等矩陣的初等列列變換變換( (所用記號是把所用記號是把“r r”換成換成“c c”)”)矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換和和矩陣的初等列變換矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為矩陣的初等變換矩陣的初等變換(

4、1)ijcc對換變換：；(2)ick倍乘變換：；(3).ijckc倍加變換：一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換注意注意 矩陣的初等變換矩陣的初等變換的的逆變換逆變換仍是仍是初等變換初等變換，且，且 逆變換和原變換是同一類型的初等變換逆變換和原變換是同一類型的初等變換.11121121212niiinjjjnmmmnaaaaaaAaaaaaa11121121212njjjniiinmmmnaaaaaaBaaaaaaijrr ijijrrrr的逆變換仍是；1iirkrk的逆變換是；.ijijijrkrrk rrkr的逆變換是() 或111211212niiinmmmnaaaAaaaaaairk1

5、11211212niiinmmmnaaaBkakakaaaa矩陣之間的等價關(guān)系，具有下列性質(zhì)：(1)AA自反性 ；(2)ABBA對稱性 若，則；(3),.ABBCAC傳遞性 若，則二、矩陣的等價關(guān)系二、矩陣的等價關(guān)系A(chǔ)BABAB定義2 若矩陣 經(jīng)過有限次初等變換變成等價矩陣 ，則稱矩陣 與，記作或或A B 二、矩陣的等價關(guān)系二、矩陣的等價關(guān)系 滿足下列條件的矩陣稱為滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣，例如矩陣行階梯形矩陣，例如矩陣B:(1) 元素全為零的行元素全為零的行 (若有的話若有的話)位于矩陣的下方位于矩陣的下方;(2) 各非零行的首非零元各非零行的首非零元（從左至右的一個不為零的元素）

6、的（從左至右的一個不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大增大而嚴(yán)格增大.二、矩陣的等價關(guān)系二、矩陣的等價關(guān)系滿足下列條件的滿足下列條件的行階梯形矩陣行階梯形矩陣稱為稱為行最簡形矩陣行最簡形矩陣, ,例如矩陣?yán)缇仃嘋 C ：(1) (1) 各非零行的各非零行的首非零元都是首非零元都是1 1；(2) (2) 每個首非零元每個首非零元1 1 所在列的所在列的其余元素都是零其余元素都是零. .二、矩陣的等價關(guān)系二、矩陣的等價關(guān)系矩陣矩陣D D稱為原矩陣稱為原矩陣A A的標(biāo)準(zhǔn)形，的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：具有的特點(diǎn)是：D D的左上角是一個單位矩陣，其余元素全是的左上角是一個單位矩陣，

7、其余元素全是0.0.0023003100070000判斷下列矩陣是否是行階梯形？1234500032000000000012345026320007100004二、矩陣的等價關(guān)系二、矩陣的等價關(guān)系 滿足下列條件的矩陣稱為滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣行階梯形矩陣:(1) 元素全為零的行元素全為零的行 (若有的話若有的話)位于矩陣的下方位于矩陣的下方;(2) 各非零行的首非零元各非零行的首非零元（從左至右的一個不為零的元素）的（從左至右的一個不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大增大而嚴(yán)格增大.10000100001000000000m nrA 行變換列變換行1m nA任

8、何一個矩陣總可經(jīng)過有限次初等變換 (行變換和列變換)化成標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)定理形如下：()(m)() ()000rrn rrrm rn rE000rE二、矩陣的等價關(guān)系二、矩陣的等價關(guān)系注意：可以存在注意：可以存在r=0r=0或或m=n=rm=n=r的情況的情況矩陣矩陣D D稱為原矩陣稱為原矩陣A A的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：具有的特點(diǎn)是：D D的左上角是一個單位矩陣，的左上角是一個單位矩陣，其余元素全是其余元素全是0.0.A行 變 換行 變 換行 變 換行 變 換行 階 梯 形行 最 簡 形1m nA任何一個矩陣總可經(jīng)過有限次初等行變換化成 行階梯形矩陣，并進(jìn)而化成行最簡定理形矩陣.二、矩陣

9、的等價關(guān)系二、矩陣的等價關(guān)系1.AnAEAE如果 為 階可逆矩陣，則矩陣 經(jīng)過有限次初等變換可化為單位矩陣 ，即推論定義定義3 3 對對單位矩陣單位矩陣E E 進(jìn)行進(jìn)行一次初等變換一次初等變換得到的矩陣得到的矩陣稱為稱為初等矩陣初等矩陣. .三種初等變換對應(yīng)三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣三種初等矩陣. .三、初等矩陣三、初等矩陣1 1、 交換交換兩行兩行( (列列) ) 2 2、 以以非零數(shù)非零數(shù)k k 乘乘某一行某一行( (列列) )中的所有元素中的所有元素 3 3、 把某一行把某一行( (列列) )的的 l l 倍加倍加到另一行到另一行( (列列) )上去上去 111( ,0110)111E

10、 i jijij (1)Eij對調(diào) 的第 行和第 行， 1011111110ijEij ijrrijcc或.()E ij得到的初等矩陣記作，Eij或?qū)φ{(diào) 的第 列和第 列，三、初等矩陣三、初等矩陣11( ( )11Eiii kk (2)kEi用非零數(shù) 乘 的第 行，11111Eii ikrikc或.( ( )E i k得到的初等矩陣記作kEi或用非零數(shù) 乘 的第 列，三、初等矩陣三、初等矩陣 1 ( ( )111E ijijkikj (3).()kEjE i j ki用數(shù) 乘 的第 行加到第 行上， 得到的初等矩陣記作 11 1 1ijiEj ijrkrkEij或用數(shù) 乘 的第 列加到第 列上

11、，jickc或三、初等矩陣三、初等矩陣初等矩陣的性質(zhì)初等矩陣的性質(zhì)1( , )( , )E i jE i j，11( ( )( ()E i kE i k，1( )().E i j kE i jk( , )1E i j ，( ( )E i kk ，( )1.E i j k(2)可逆性(1)初等矩陣的行列式|A|0初等矩陣均初等矩陣均可逆可逆，初等矩陣的逆也是初等矩陣。，初等矩陣的逆也是初等矩陣。|E|=1,|E|=1,利用行列式的性質(zhì)。利用行列式的性質(zhì)。111( ,0110)111E i jijij (1)Eij對調(diào) 的第 行和第 行， 1011111110ijEij ijrrijcc或.()E

12、 ij得到的初等矩陣記作，Eij或?qū)φ{(diào) 的第 列和第 列，三、初等矩陣三、初等矩陣11( ( )11Eiii kk (2)kEi用非零數(shù) 乘 的第 行，11111Eii ikrikc或.( ( )E i k得到的初等矩陣記作kEi或用非零數(shù) 乘 的第 列，三、初等矩陣三、初等矩陣 1 ( ( )111E ijijkikj (3).()kEjE i j ki用數(shù) 乘 的第 行加到第 行上， 得到的初等矩陣記作 11 1 1ijiEj ijrkrkEij或用數(shù) 乘 的第 列加到第 列上，jickc或三、初等矩陣三、初等矩陣v定理定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)設(shè)

13、A是一個是一個m n矩陣矩陣 對對A施行一次初等施行一次初等行行變換變換 相當(dāng)于相當(dāng)于相應(yīng)的相應(yīng)的 m階初等矩陣階初等矩陣左乘左乘A r1r2 補(bǔ)例補(bǔ)例 設(shè)設(shè) 12 34 5 678 9A 12 34 5 678 9A 456123 ,789B 31,2EA 010123100456001789 456123789 .B 則有則有v定理定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)設(shè)A是一個是一個m n矩陣矩陣 對對A施行一次初等施行一次初等行行變換變換 相當(dāng)于相當(dāng)于相應(yīng)的相應(yīng)的 m階初等矩陣階初等矩陣左乘左乘A 對對A施行一次初等施行一次初等列列變換變換 相當(dāng)于相當(dāng)于相

14、應(yīng)的相應(yīng)的 n 階初等矩陣階初等矩陣右乘右乘A c1c2 補(bǔ)例補(bǔ)例 設(shè)設(shè) 12 34 5 678 9A 123456789A 213546 ,879B 31,2AE 123010456100789001 213546879 .B 則有則有v定理定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)設(shè)A是一個是一個m n矩陣矩陣 對對A施行一次初等施行一次初等行行變換變換 相當(dāng)于相當(dāng)于相應(yīng)的相應(yīng)的 m階初等矩陣階初等矩陣左乘左乘A 對對A施行一次初等施行一次初等列列變換變換 相當(dāng)于相當(dāng)于相應(yīng)的相應(yīng)的 n 階初等矩陣階初等矩陣右乘右乘A c1+10c3 補(bǔ)例補(bǔ)例 設(shè)設(shè) ，12 34

15、5 678 9A 123456789A 33 1(10)AE 1231004560107891001 .B 31236456 ,9789B 312364569789 則有則有四、四、初等變換法求逆矩陣初等變換法求逆矩陣與矩陣方程與矩陣方程定理定理3(3(矩陣可逆的充要條件矩陣可逆的充要條件) ) n n階方陣階方陣A A可逆可逆的充要條件是的充要條件是A A可以表示為若干初等矩陣可以表示為若干初等矩陣的乘積。的乘積。證明：證明：充分性：充分性：初等矩陣可逆，如果將初等矩陣可逆，如果將 A A表示為初等矩陣的乘積表示為初等矩陣的乘積，則因?yàn)橛邢迋€同階可逆矩陣的乘積是可逆矩陣（，則因?yàn)橛邢迋€同階可

16、逆矩陣的乘積是可逆矩陣（p45p45），），故故n n階方陣階方陣A A可逆?？赡妗１匾裕罕匾裕涸O(shè)矩陣設(shè)矩陣A A可逆，則由推論可逆，則由推論1 1可知，矩陣可知，矩陣A A經(jīng)過經(jīng)過有限次有限次初等變換初等變換可以化為單位矩陣可以化為單位矩陣E E，再由定理，再由定理2 2可知存在初等矩可知存在初等矩陣陣P P1 1,P,P2 2， P Ps s，Q Q1 1,Q,Q2 2， Q Qt t，使得，使得P P1 1P P2 2 P Ps s A QA Q1 1Q Q2 2 Q Qt= E.t= E.所以所以1.AnAEAE如果 為 階可逆矩陣，則矩陣 經(jīng)過有限次初等變換可化為單位矩陣 ，即推

17、論A= Ps-1 Ps-1-1 P1-1 E Qt-1 Qt-1-1 Q1-1= Ps-1 Ps-1-1 P1-1 Qt-1 Qt-1-1 Q1-1.v定理定理2(2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) ) 設(shè)設(shè)A A是一個是一個m m n n矩陣矩陣 對對A A施行一次初等施行一次初等行行變換變換 相當(dāng)于相當(dāng)于相應(yīng)的相應(yīng)的 m m階初等矩陣階初等矩陣左乘左乘A A 對對A A施行一次初等施行一次初等列列變換變換 相當(dāng)于相當(dāng)于相應(yīng)的相應(yīng)的 n n 階初等矩陣階初等矩陣右乘右乘A A A A可以表示為若可以表示為若干初等矩陣的干初等矩陣的乘積。乘積。證畢證畢定理定理3(3(

18、矩陣可逆的充要條件矩陣可逆的充要條件) ) n n階方陣階方陣A A可逆可逆的充要條件是的充要條件是A A可以表示為若干初等矩陣可以表示為若干初等矩陣的乘積。的乘積。若若A A可逆，則可逆，則A A-1-1也可逆，則由定理也可逆，則由定理3 3可知，可知，A A-1-1 = G = G1 1G G2 2 G Gk k， （式（式1 1），），即即A A-1-1 = G = G1 1G G2 2 G Gk kE E （式（式2 2）式式1 1左右兩邊右乘矩陣左右兩邊右乘矩陣A,A,得得A A-1 -1 A = GA = G1 1G G2 2 G Gk k A A， E = G E = G1 1G

19、 G2 2 G Gk k A A， （式（式3 3）式式3 3表示對表示對A A施以若干次初等行變換施以若干次初等行變換可化為可化為E E；式式2 2表示對表示對E E施以與式施以與式3 3相同的若干次初等行變換相同的若干次初等行變換可化為可化為A A-1 -1 。兩式合起來為兩式合起來為G G1 1G G2 2 G Gk k ( (A A E E) )2n2n ( (E E A A 1 1) ) 2n 2n 四、四、初等變換法求逆矩陣初等變換法求逆矩陣與矩陣方程與矩陣方程E()A E1A 初等行變換初等行變換n n階方陣階方陣A A可逆可逆 1 A EE A 變變換換行行初初等等； 1.EA

20、EA 初初變變換換列列等等或或 四、四、初等變換法求逆矩陣初等變換法求逆矩陣與矩陣方程與矩陣方程若若A A可逆，則可以使用可逆，則可以使用初等變換法求初等變換法求A A-1-1. ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解例例4 4 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 111100012520011201 11110025323010231001）（22 r）（13 r 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr .111253232311 A例例5 5* *四、四、初等變換法求逆矩陣初等變換法求逆矩陣與矩陣方程與矩陣方程本例為用初等行變換求本例為用初等行變換求矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式的