狼兔問題的數(shù)學(xué)建模

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上狼追兔子的問題1.1 摘要：數(shù)學(xué)建?？梢允钩橄蟮膯栴}用數(shù)學(xué)符號和語言清楚的表達(dá)出來。針對此題是高階常微分方程問題。此例問題雖然問法多樣，但解法基本一致，這道題狼和兔子在運動過程中屬微分方程模型與一階常微分方程。狼追兔子問題來源很久，早在幾百年前就有人在研究他，由于數(shù)學(xué)的發(fā)展水平不是很高和軟件的局限，所以沒有研究透徹。如今隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展和應(yīng)用軟件的飛速發(fā)展，對于這個的研究已進(jìn)入新階段。由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時刻，曲線上狼的位置 與兔子的位置的連線為曲線上該點處的切線。建立二者的運動微分方程，計算它們的運動軌跡，用軟件MATLAB求解微分

2、方程模型。計算出兔子是否安全回到自己的巢穴。1.1.1 問題的來源及意義：(一) 問題重述與分析: 現(xiàn)有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米處。假設(shè)兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問題是兔子能否安全回到巢穴？（二）題起源于導(dǎo)彈跟蹤問題，與狼追兔子問題在解決方法上是大致一樣的。導(dǎo)彈跟蹤的研究對于再軍事上有很重要的意義。將導(dǎo)彈跟蹤問題能簡化為狼追兔子問題，都是高階常微分方程模型，要涉及常微分方程，學(xué)會在實際問題中運用數(shù)學(xué)方法建模和求解。1.1.2 問題的分析：餓狼追兔問題一階微分方程初值問題數(shù)值解。兔子 它

3、的洞在距離它現(xiàn)在吃草處正北方的60米處,在兔子的正東面100米處有一頭餓狼正潛伏著觀察兔子多時了 兔子發(fā)現(xiàn)了狼的存在.兔子拼命的沿直線向洞逃跑,兔子知道不趕快進(jìn)洞命休已,狼和兔子同時啟動并且死死盯著兔子撲去.兔子跑的雖然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都勻速運動. 為了研究狼是否能夠追上兔子，可以先考慮求出狼追兔子形成的追擊曲線，然后根據(jù)曲線來確定狼是否能夠追上兔子。 1.1.3 模型假設(shè)：狼在追擊過程中始終朝向兔子；狼追擊兔子的軌跡看作是一條光滑的曲線，即將動點P的軌跡看作一條曲線，曲線方程表示為。1.1.4 模型建立:（一）問題分析：1. 以t0時，兔子的位置作為直角坐標(biāo)原點，

4、兔子朝向狼的方向為x軸正向；則顯然有兔子位置的橫坐標(biāo)。2. 對狼來說，當(dāng)x100，y0，即在t0剛開始追擊時，狼的奔跑方向朝向兔子，此時即x軸負(fù)方向，則有圖1 兔子與狼的運動軌跡（二） 建立模型：1變量說明：兔子的速度（單位：碼/秒）：狼與兔子速度的倍數(shù)；：狼的速度（單位：碼/秒），顯然有：狼追擊兔子的時刻（t=0時，表示狼開始追兔子的時刻）：在時刻t，兔子跑過的路程，：在時刻t，狼跑過的路程，1、追擊方向的討論由于狼始終朝向兔子，則在狼所在位置P點過狼的軌跡處的切線方向在距y軸上的截為。設(shè)切線上的動點坐標(biāo)為（X，Y），則切線方程為 （1）在（1）中，令X0，則截距。此時。則此時截距等于兔子所

5、跑過的路程，即：，從而可得 .（2）2、 狼與兔子速度關(guān)系的建模在t時刻，兔子跑過的路程為 （3）由于狼的速度是兔子的r倍，則狼跑的路程為 （4）狼跑過的路程可以用對弧長的曲線積分知識得到，如下。 . （5）聯(lián)立（2）、（4）、（5）得 . （6）對（6）兩邊求對x的導(dǎo)數(shù)，化簡得 .（7）微分方程（7）式的初始條件有：3、 是否追上的判斷要判定狼是否追上兔子，可以通過（7）式判定。對（7）式，當(dāng)x0，如果計算求解得到，則視為沒有追上；當(dāng)x0，如果計算求解得到，則視為兔子被追上；模型求解：運用Matlab求解：由微分方程得到其Matlab函數(shù)function yy=odefunlt(x,y)%以

6、狼在追擊過程中的橫坐標(biāo)為自變量yy(1,1)=y(2);yy(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(2.*x);主程序：tspan=100:-0.1:0.1; y0=0 0; T,Y = ode45(odefunlt,tspan,y0);n=size(Y,1);disp(狼的坐標(biāo)(x=0.1)disp(Y(n,1)1.1.5 模型結(jié)果與分析： 運行結(jié)果：狼的坐標(biāo)(x=0.1) 62.1932通過上面運行結(jié)果可知，狼并沒有追上兔子.1.1.6 參考文獻(xiàn)：微分方程模型見：數(shù)學(xué)模型引論（第二版） 高等教育出版社 【書 號】 作者：唐煥問 赫明峰 E. A. Bender, 數(shù)學(xué)模型引論，朱堯辰、徐