工程力學(xué)—力系的平衡條件和平衡方程

1、第三第三 章章力系的平衡條力系的平衡條件和平衡方程件和平衡方程第第3章章 第第3章章 在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉，這是平衡的幾何條件。0i F1 平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為：例例1 已知壓路機(jī)碾子重已知壓路機(jī)碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉過(guò)欲拉過(guò)h=8cm的障礙物。求：在中心作用的障礙物。求：在中心作用的水平力的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。選碾子

2、為研究對(duì)象選碾子為研究對(duì)象取分離體畫受力圖取分離體畫受力圖解： 當(dāng)碾子剛離地面時(shí)當(dāng)碾子剛離地面時(shí)NA=0,拉力拉力F最大最大,這時(shí)拉力這時(shí)拉力F和自和自重及支反力重及支反力NB構(gòu)成一平衡力系。構(gòu)成一平衡力系。 由平衡的幾何條件，力多邊由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故形封閉，故由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN23.1kN。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。F=11.5kN , NB=23.1kN所以所以577. 0)(tg22hrhrr又由幾何關(guān)系又由幾何關(guān)系：tgPFcosPNB

3、1 平面匯交力系的平衡方程22R()()0 xiyiFFF 0 xiF0yiF平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例2 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA解解: : 1. 取取ABAB桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象2. 2. 畫畫ABAB的受力圖的受力圖3. 3. 列平衡方程列平衡方程由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3co

4、s45cos0CDASR；4. 4. 解方程解方程2 平面力偶系的平衡條件所謂力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即10niiM思考：從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？ PORM例例3 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶每個(gè)鉆頭的力偶矩為矩為 ,求工件的總切削力偶矩和求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmm

5、mNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶矩為各力偶的合力偶矩為根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。例例4 圖示結(jié)構(gòu)，已知圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。兩點(diǎn)的約束反力。).(255. 0mNRdRMCCAC 0iM0 MMACNRC313700ROM F22()()()RxyOOiFFFMM F3 平面任意力系的平衡條件和平衡方程3.1 平衡條件平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即22

6、()() ,()RxyOOiFFFMM F3.4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程3. 2 平衡方程即：平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，所有各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。 00()0 xiyiOiFFMF由于所以解：以剛架為研究對(duì)象，受力如圖。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解之得：AxFqbAyFP221qbPaMA例1例1 求圖示剛架的約束反力。APabqAPqFAyFAxMA例2例2 求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。0:cos0

7、xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABMF aPabmF解之得：cosAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPabmABCPmFBFAyFAxQWQWQWT22sin302sin22FFFFllFlFFB(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中A、B兩點(diǎn)的連線AB不能垂直于投影軸x。由后面兩式知：力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x 軸 (或y 軸），則力系必平衡。3.3 平衡方程的其它形式FRBxA(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中A、B、C三點(diǎn)不

8、能在同一條直線上。注意：以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求出三個(gè)未知數(shù)。 由前面兩式知：力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B、C三點(diǎn)的一合力或處于平衡，若三點(diǎn)不在同一直線上，則力系必平衡。例3例4 懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長(zhǎng)l2.5 m，重量P1.2 kN，拉桿CB的傾角30，質(zhì)量不計(jì)，載荷Q7.5 kN。求圖示位置a2 m時(shí)拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。例3解：取橫梁AB為研究對(duì)象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa 從(

9、3)式解出1()13.2 kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNAxTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF例3CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果取B矩心列平衡方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程組合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5; 1,3,4；2,4,5 ；2,3,5; 3,4,5再取C為矩心列平衡方程得 力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。Oxy 平面平行力系作

10、為平面任意力系的特殊情況，當(dāng)它平衡時(shí)，也應(yīng)滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標(biāo)，則Fx0自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程為：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB連線不能與各力的作用線平行。3.5 平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn例5 已知：塔式起重機(jī) P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如圖。求：保證滿載和空載時(shí)不致翻倒，平衡塊Q=？ 當(dāng)Q=180kN時(shí)，求滿載時(shí)軌道A、B給起重機(jī)輪子的反力？0)(FmB(6 2)2(12 2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制條件：限制條件：解：解： 首

11、先考慮滿載時(shí)，起重機(jī)不向右首先考慮滿載時(shí)，起重機(jī)不向右翻倒的翻倒的Q：空載時(shí)，空載時(shí)，W=0由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制條件為：限制條件為：0BN解得解得kN 350Q因此保證空、滿載均不倒，因此保證空、滿載均不倒，Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：應(yīng)滿足如下關(guān)系：kN 350kN 75Q解得解得: :04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求當(dāng)求當(dāng)Q=180kN，滿載，滿載W=200kN時(shí)，時(shí)，NA ,NB為多少為多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得： 由若干個(gè)物體通過(guò)約束所

12、組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱物系。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內(nèi)力。當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個(gè)物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對(duì)象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個(gè)物體。 在靜力學(xué)中求解物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，若未知量的數(shù)目不超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則由剛體靜力學(xué)理論，可把全部未知量求出，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。若未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無(wú)法求出，這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。而總未知量數(shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)。 靜不定問(wèn)題在強(qiáng)度力學(xué)

13、靜不定問(wèn)題在強(qiáng)度力學(xué)（材力材力, ,結(jié)力結(jié)力, ,彈力）中用位移彈力）中用位移諧調(diào)條件來(lái)求解諧調(diào)條件來(lái)求解。靜定（未知數(shù)三個(gè)）靜定（未知數(shù)三個(gè)） 靜不定（未知數(shù)四個(gè)）靜不定（未知數(shù)四個(gè)）PPPPFPF判斷各圖的超靜定次數(shù)判斷各圖的超靜定次數(shù)例5例5 求圖示三鉸剛架的支座反力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF例5再以AC為研究對(duì)象，受力如圖。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqa

14、F1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例6求圖示多跨靜定梁的支座反力。解：先以CD為研究對(duì)象，受力如圖。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整體為研究對(duì)象，受力如圖。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例7 求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束反力。解：先以BC為研究對(duì)象，受力如圖。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分為研究對(duì)象，受力如圖。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF

15、21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx摩擦的類別：干摩擦固體對(duì)固體的摩擦。流體摩擦流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。滑動(dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)引起的摩擦。滾動(dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滾動(dòng)或有相對(duì)滾動(dòng)趨勢(shì)引起的摩擦。 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體具有相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，彼此間產(chǎn)生的阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜滑動(dòng)摩擦力和

16、動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。若僅有滑動(dòng)趨勢(shì)而沒有滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力；若存在相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向反力FN的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，當(dāng)拉力F由零值逐漸增加但不很大時(shí)，物體仍保持靜止?？梢娭С忻鎸?duì)物體除法向約束反力FN外，還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向力，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力，常以FS表示，方向向左，如圖。FNPFNPFSF靜摩擦力的大小隨水平力F的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質(zhì)。靜摩擦力又與一般約束反力不同，它并不隨力F的增大而無(wú)限度地增大。當(dāng)力

17、F的大小達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，物塊處于將要滑動(dòng)、但尚未開始滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)，只要力F再增大一點(diǎn)，物塊即開始滑動(dòng)。當(dāng)物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再繼續(xù)增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動(dòng)。這就是靜摩擦力的特點(diǎn)；5.1 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFSF0:0 xSSFFFFFmax0sFF綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動(dòng)力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即 由實(shí)驗(yàn)證明：最大靜滑動(dòng)摩擦力的大小與兩物體間的法向反力的大小成正比，即：maxsNFf F這就是靜滑動(dòng)摩擦定律。式中fs稱為靜滑

18、動(dòng)摩擦系數(shù)。5.2靜摩擦定律（庫(kù)侖摩擦定律）靜摩擦系數(shù)的大小需由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關(guān)，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。5.3 考慮摩擦的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r，求解物體平衡問(wèn)題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)分析物體受力時(shí)，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數(shù)目；(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補(bǔ)充方程，即Fs fsFN，補(bǔ)充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相同；(3)由于物體平衡時(shí)摩擦力有一定的范圍(即0FsfsFN)，所以有摩擦?xí)r平衡問(wèn)題的解亦有一定的范圍，而不是一個(gè)確定的值。工程中有不少問(wèn)題只需要分析平衡的臨界狀

19、態(tài)，這時(shí)靜摩擦力等于其最大值，補(bǔ)充方程只取等號(hào)。有時(shí)為了計(jì)算方便，也先在臨界狀態(tài)下計(jì)算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。 解解:1)物塊在自重作用下即將下滑，受力圖為：物塊在自重作用下即將下滑，受力圖為： 建立如圖坐標(biāo)系，列平衡方程有建立如圖坐標(biāo)系，列平衡方程有 xyFN0 xF0sin1pF0yF0cos1pNNfF 解得解得ffarctantan11或 這個(gè)角度這個(gè)角度 稱為靜摩擦角稱為靜摩擦角11例例1 將重為將重為P的物塊放在斜面上，斜面傾角的物塊放在斜面上，斜面傾角 ，已知靜，已知靜摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為 f ,問(wèn)問(wèn)1)斜面的傾角斜面的傾角 增到多少時(shí)物塊將下滑？增到多少時(shí)物塊將

20、下滑？2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)若加一水平力時(shí)若加一水平力 使物塊平衡，求力使物塊平衡，求力 的范圍。的范圍。QQ1 PQ2)物塊上加一水平力如圖物塊上加一水平力如圖 以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下滑動(dòng)的臨界平以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。minQP1Nmax1Fxy0sincos:0max1minPFQX0cossin:01minPNQY1max1fNF聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：PffQsincoscossinminPxymaxQmax2F2N 當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)

21、，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。建立如圖坐標(biāo)。0sincos:0max2maxPFQX0cossin:02maxPNQY2max2fNF聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：PffQsincoscossinmax故力故力 應(yīng)滿足的條件為：應(yīng)滿足的條件為：QPffQPffsincoscossinsincoscossin 0sincos201N1，lFlWMBAF00NWFFAy00NBAxFFF 0sincos201N1，lFlWMBAF00NWFFAy00NBAxFFF11N2sincosWFBWNFFA1Ncot2WFFBA 0sincos20N，lFlWMBAF00NWFFAy00NBAxFFFAAFfFNs

22、N0cossin02FABlMWFl ，00NWFFAy00NBAxFFFAAFfFNss2arccotfs2arccotfWyW xWWyW x坡度很小時(shí)，剛性塊不滑動(dòng)WyW x坡度增加到一定數(shù)值以后，剛性塊滑動(dòng)WyW x坡度增加到一定數(shù)值時(shí)，剛性塊處于臨界狀態(tài) 對(duì)于力系中所有力的作用線都相交于一點(diǎn)的匯交于O點(diǎn)，上述平衡方程中三個(gè)力矩方程自然滿足，因此，平衡方程為 所有力的作用線相互平行（例如都平行于坐標(biāo)系中的軸）的力系，稱為。對(duì)于空間平行力系，6個(gè)平衡方程中，有2個(gè)力的平衡方程和1個(gè)力矩方程自然滿足，例如000 xyzMFFF于是, 空間平行力系的平衡方程為：CBAllFPFAFBCBAllFPFAFB0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例2 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA解解: : 1. 取取ABAB桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象2. 2. 畫畫ABAB的受力圖的受力圖3. 3. 列平衡方程列平衡方程由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0C